Едно аритметична прогресия (PA) е a последователност числово, при което всеки член е сумата от предишния с константа, наречена съотношение. Те съществуват математически изрази да се определи срокът на PA и да се изчисли сумата от него не първи условия.
Формулата, използвана за изчисляване на сбор от термини на краен PA или сумата от не Първият член на PA е както следва:
сне = в1 + нане)
2
* n е броят на термините за BP; The1 е първият мандат, ане е последният.
Произход на сумата от условията на PA
Твърди се, че германският математик Карл Фридерих Гаус, на около 10-годишна възраст, е наказан с класа си в училище. Учителят каза на учениците да съберат всички числа, които се появяват в последователност от 1 до 100.
Гаус не само първият завърши за много кратък период от време, но и единственият, който получи точния резултат (5050). Освен това не показа никакви изчисления. Той направи ремонт на следния имот:
Сборът от два члена на равно разстояние от крайностите на краен PA е равен на сумата на крайностите.
Нямаше знание за ПАН по това време, но Гаус разглежда списъка с числа и осъзнава, че добавянето на първото към последното ще доведе до 101; добавяйки втория към предпоследния, резултатът също ще бъде 101 и т.н. Като сбор от всички двойки термини равноотдалечен от крайностите стигнаха до 101, Гаус трябваше само да умножи това число наполовина от наличните условия, за да намери резултата от 5050.
Имайте предвид, че от число 1 до число 100 има точно 100 числа. Гаус осъзна, че ако ги събере две по две, ще получи 50 резултата, равни на 101. Следователно това умножение е направено с половината от общите членове.
Демонстрация на сумата от термини на PA
Този подвиг породи израза, използван за изчисляване на сбор не първи условия на PA. Тактиката, използвана за получаване на този израз, е следната:
дадено едно ПАН всеки, ще добавим първите n условия от него. Математически ще имаме:
сне =1 + на2 + на3 +... + наn - 2 + наn - 1 + нане
Точно под това сбор от термини, ще напишем още една, със същите термини като предишната, но в намаляващ смисъл. Обърнете внимание, че сборът от термини в първия е равен на сумата на термините във втория. Следователно и двете бяха приравнени на Sне.
сне =1 + на2 + на3 +... + наn - 2 + наn - 1 + нане
сне =не + наn - 1 + наn - 2 +... + на3 + на2 + на1
Имайте предвид, че тези два израза са получени от един единствен ПАН и че еквидистантните членове са подравнени вертикално. Следователно можем да добавим изразите, за да получим:
сне =1 + на2 + на3 +... + наn - 2 + наn - 1 + нане
+ сне =не + наn - 1 + наn - 2 +... + на3 + на2 + на1
2Sне = (1 + нане) + (а2 + наn - 1) +... + (аn - 1 + на2) + (ане + на1)
Не забравяйте, че сумата на термините, равноотдалечени от крайностите, е равна на сумата от крайностите. Следователно всяка скоба може да бъде заменена от сумата на крайностите, както ще направим по-нататък:
2Sне = (1 + нане) + (а1 + нане) +... + (1 + нане) + (а1 + нане)
Идеята на Гаус беше да добави равнопоставените членове на една последователност. Така той получи половината от термините от ПАН в резултатите 101. Направихме така, че всеки член от първоначалния BP да се добави към равностойната си стойност, запазвайки своята брой термини. По този начин, тъй като PA има n членове, можем да променим сумата, в израза по-горе, чрез умножение и да решим уравнение да намеря:
2Sне = (1 + нане) + (а1 + нане) +... + (1 + нане) + (а1 + нане)
2Sне = n (a1 + нане)
сне = в1 + нане)
2
Това е точно формулата, използвана за добавяне на не първи условия на PA.
Пример
Като се има предвид P.A (1, 2, 3, 4), определете сумата от първите 100 членове.
Решение:
Ще трябва да намерим термина а100. За това ще използваме общ термин формула на PA:
Theне =1 + (n - 1) r
The100 = 1 + (100 – 1)1
The100 = 1 + 99
The100 = 100
Сега формулата за сумиране на първите n термина:
сне = в1 + нане)
2
с100 = 100(1 + 100)
2
с100 = 100(101)
2
с100 = 10100
2
с100 = 5050
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
