Полигони: елементи, класификация, номенклатура

Многоъгълници са снимки плоска геометрия и затворена образувана от прави сегменти. Полигоните са разделени на две групи, изпъкнал и не изпъкнали. Когато многоъгълникът има всичките си страни равни и, следователно, всички ъгли вътрешен равен, това е многоъгълник редовен. Редовните полигони могат да бъдат наречени според броя на страните им.

Вижте също: Изграждане на ограничени полигони

Елементи на многоъгълник

Полигонът е плоска, затворена фигура, образувана от обединението на краен брой отсечки с права линия. Така че, помислете за всеки многоъгълник:

Точките A, B, C, D, E, F, G и H са върхове на полигона и се образуват от срещата на сегменти AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH и HA, т.нар. страни на многоъгълника.

Сегментите AF, AE, AD и BG са диагонали на многоъгълника. (Имайте предвид, че това са някои примери за диагонали, в предишния полигон имаме повече от тях.) Диагоналите са сегменти от линии, които "свързват" върховете на многоъгълника.

Номенклатура на многоъгълник

Можем да назовем полигоните според техните брой страни. Вижте името на основните полигони в таблицата по-долу.

Брой страни (n)	Номенклатура
3	триъгълник
4	четириъгълник
5	Пентагонът
6	Шестоъгълник
7	Седмоъгълник
8	Октагон
9	Енеагон
10	Декагон
11	Недекагон
12	Додекагон
15	Пентадекагон
20	Икозагон

Имайте предвид, че не е необходимо да украсявате масата, а да я разберете. С изключение на триъгълника и четириъгълника, словообразуването е:

Брой страни + гоно

Например, когато имаме многоъгълника на пет страни, автоматично запомнете префикса пента плюс наставката gono: Пентагонът.

Пример

Определете името на следния многоъгълник:

Броят на страните на многоъгълника е седем, така че многоъгълникът е седмоъгълник.

класификация на многоъгълници

Полигоните се класифицират по мярка на вашите ъгли и страни. За многоъгълник се казва, че е равностранен, когато има конгруентни страни, т.е. всички страни са равни; и ще се нарича равноъгълник, когато има конгруентни ъгли, т.е. всички равни ъгли.

Ако многоъгълникът е равностранен и равноъгълник, тогава той ще бъде a правилен многоъгълник.

Във всеки правилен многоъгълник центърът е на същото разстояние от страните, тоест е на еднакво разстояние от страните. Центърът на многоъгълника е и центърът на кръга, вписан в многоъгълника, т.е. обиколка което е „вътре“ в обиколката.

Прочетете още: Прилика на многоъгълник: вижте какви са условията

Сума от вътрешните ъгли на многоъгълник

Бъди_i вътрешен ъгъл на правилен n-едностранен многоъгълник, ще представим сумата на тези вътрешни ъгли чрез S_i.

По този начин сумата от вътрешните ъгли се дава от:

с_i = (n - 2) · 180 °

За да изчислите стойността на всеки вътрешен ъгъл, просто вземете сумата от вътрешните ъгли и разделете на броя на страните, т.е.:

The_i = с_i
не

Пример 1

Определете сумата от вътрешните ъгли и след това мярката за всеки вътрешен ъгъл на икозагон.

Знаем, че икозагонът има двадесет страни, така че n = 20. Замествайки във връзките, имаме:

с_i = (n - 2) · 180 °

с_i = (20 - 2) · 180°

с_i = 18 · 180°

с_i = 3240°

Сега, за да определите стойността на всеки вътрешен ъгъл, просто разделете намерената стойност на броя на страните:

The_i = 3240°
20

The_i = 162°

Пример 2

Сумата от вътрешните ъгли на правилен многоъгълник е 720 °, намерете полигона.

Заменяйки информацията за изявление във формулата, имаме:

720 ° = (n - 2) · 180 °

720 ° = 180n - 360 °

180n = 720 ° + 360 °

180n = 1080 °

n = 1080°
180°

n = 6 страни

По този начин желаният многоъгълник е шестоъгълникът.

Сума от външни ъгли на многоъгълник

Сумата от външните ъгли на многоъгълник е винаги равна на 360 °.

с_и = 360°

The_и = с_и
не

The_и = 360°
не

Многоъгълни диагонали

Помислете за многостранен многоъгълник. За да определим броя на диагоналите (d), използваме следната връзка:

d = n · (n - 3)
2

Пример

Определете броя на диагоналите в петоъгълника и ги начертайте.

Знаем, че петоъгълникът има пет страни, така че n = 5. Замествайки израза, трябва да:

d = 5 · (5 - 3)
2

d = 5 · 2
2

d = 5

Площ и периметър на полигони

О периметър на полигони се дефинира от сума от всички страни. Площта на многоъгълник се изчислява чрез разделяне на многоъгълника на фигури, които са по-лесни за изчисляване на площта, като триъгълник и квадрат.

НА_Δ = основа · височина
2

НА_{квадрат} = основа · височина

Пример

Определете математически израз, който представлява площта на правилен шестоъгълник.

Решение:

Първоначално помислете за правилен шестоъгълник и всички отсечки с прави линии, които свързват центъра на многоъгълника с всеки връх. Поради това:

Имайте предвид, че поради факта, че шестоъгълникът е правилен, при разделянето му намираме шест триъгълници равностранен, така че площта на шестоъгълника е шест пъти площта на равностранен триъгълник, т.е.

НА_{шестоъгълник} = 6 · A_Δ

НА_{шестоъгълник} = 6 · л² · √3
4

НА_{шестоъгълник} = 3 · л² · √3
2

НА_{шестоъгълник} = 3 · л²·√3
2

Прочетете също:равностранен триъгълник площ

Решени упражнения

Въпрос 1 - (Enem) Басейнът е оформен като правилен многоъгълник, чийто вътрешен ъгъл е три и половина по-голям от външния ъгъл. Каква е сумата от вътрешните ъгли на многоъгълника, чиято форма е същата като този басейн?

а) 1800 °

б) 1620-ти

в) 1440 °

г) 1260 °

д) 1080 °

Решение

Тъй като не знаем броя на страните на многоъгълника, нека си представим само един от върховете на този многоъгълник.

От изображението можем да видим, че:

The_i + на_и = 180 ° (I)

От изявлението имаме, че:

The_i = 3,5 · a_и (II)

Заменяйки уравнение (II) в уравнение (I), ще трябва:

3,5 · а_и + на_и = 180°

4,5 · а_и = 180°

The_и = 180°
4,5

The_и = 40°

Знаем обаче, че вътрешен ъгъл е разделението на 360 ° на броя на страните на многоъгълника. Поради това:

The_и = 360°
не

40° = 360°
не

40n = 360 °

n = 360°
40°

n = 9

Следователно сумата от вътрешните ъгли на басейна е:

с_i = (n - 2) · 180 °

с_i = (9 - 2) · 180°

с_i = 7 · 180°

с_i = 1260°

от Робсън Луиз
Учител по математика