Вие естествени числа са първият цифров набор, който е бил взет предвид в исторически план. Те излязоха от трябва да се брои на човешкото същество. Множеството от естествени числа има като елементи положителни числа и цели числа, като 1, 2, 3, 4,... Този набор има операции по добавяне, изваждане, умножение, деление, потенциране и радикация.
Кои са естествените числа?
естествените числа са числа строго положително които нямат запетая, тоест представляват количества цяло. Наборът от естествени числа може да бъде представен по следния начин:
Множеството от естествени числа е a безкрайно множество, тоест, като се има предвид всяко естествено число, има поне едно число по-голямо от него. Вижте някои примери за елементи, които принадлежат и не принадлежат към този набор.
От примера по-горе имаме, че числата 10, 2 и 100 принадлежат на естественото множество, а числата 1.65, –2 и 0 не принадлежат на естественото множество.
Прочетете и вие: Забавни факти за разделяне на естествени числа
Наследник на естествено число
Както казахме по-горе, множеството от естествени числа е безкрайно множество, т.е.дадено на всяко число не естествено, винаги има n + 1, също естествено. Броя n + 1 се нарича наследник на н. За да определите наследника на всяко естествено число, просто добавете 1 към това число. Като пример, нека определим наследниците на числата 3, 1, 5 и 2p + 1.
Наследникът на числото 3 се дава от 3 + 1, т.е. числото 4. По същия начин наследниците на 1 и 5 са съответно 2 и 6. Следвайки определението за наследник, нека имаме, че наследникът на 2p + 1 е 2p + 1 + 1, тоест 2p + 2.
С определението за наследник идеята, че множеството от естествени числа е безкрайно, става по-ясна, тъй като винаги е възможно да се намери наследник на естествено число.
Предшественик на естествено число
Предшественик на естествено число не е този, който предшества това число не. Можем да напишем предшественик на не като n - 1. Като пример, нека определим предшествениците на числата 2, 5, 1000 и 2p + 1.
Предшественикът на 2 е даден с 2 - 1, така че е числото 1. По същия начин предшествениците на 5 и 1000 са съответно числата 4 и 999. Предшественикът на числото 2p + 1 е 2p + 1 - 1, тоест предшественикът на 2p +1 е числото 2p.
Важно е да се каже това не всяко естествено число има предшественик, е случаят с номер 1. Прилагайки дефиницията за предшественик, имаме, че предшественикът на числото 1 е 1 - 1 = 0, но броя нулата не принадлежи на естествените числа. Следователно, всяко естествено число има предшественик, с изключение на номер 1. По тази причина числото 1 се нарича минималният елемент на натуралите, тоест е най-малкото естествено число. Можем да напишем тази информация така:
Подмножество на естествените числа
Знаем, че множеството от естествени числа се състои от строго положителни числа, тоест числа, по-големи от нула. От теорията на комплекти, имаме това, като се имат предвид множествата A и B, казваме това B е подмножество на A, ако всеки елемент от B е елемент на A, тоест B се съдържа в A (B ⸦ A).
По този начин всеки набор, образуван от естествени числа, ще бъде подмножество на естествените числа. Вижте няколко примера:
Помислете за наборите:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Множествата A, B и C са подмножества на естествените числа, тъй като всички елементи на тези множества са и елементи на естествените, тоест можем да кажем, че:
Сега вижте набор D. Имайте предвид, че в този набор не всеки елемент принадлежи към набора от естествени числа. Такъв е случаят с числото 0. Следователно, D не е подмножество на естествени числа, тоест D не се съдържа в набора от естествени числа. Ние обозначаваме този факт по следния начин:
Прочетете също: Прости числа: какви са те и как да ги намерим?
дори естествени числа
Казваме, че числото е дори кратно на числото 2, което е еквивалентно на това, че това число се дели на 2. Виж:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Тъй като множеството от естествени числа е безкрайно множество, така и множеството от четни числа. Също така имайте предвид, че всеки елемент от множеството на четните числа е и елемент на естествените числа и следователно множеството от четните числа е подмножество на натуралите..
Виж това:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
Наборът от четни числа може да бъде получен чрез умножаване на всички естествени числа по числото 2. Така че като се има предвид естествено число не, можем да напишем четно число, използвайки израза 2n, така че множеството от четни числа може да се запише като цяло чрез:
Като пример, нека разберем дали числата 1000, 2098 и 55 са четни.
Тъй като 1000 = 2 · 500 и 2098 = 2 · 1049, те са дори, защото има естествено число, което, умножено по 2, ги дава. Сега 55 не е четно, тъй като няма естествено число, което, умножено по 2, да доведе до 55. Виж:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Както добре знаем, няма естествено число между 27 и 28, така че 55 не е четно.
Нечетни естествени числа
Числото е нечетно, ако не е четно, тоест когато не е нито кратно, нито делимо на 2. По този начин множеството от нечетните естествени числа са естествени числа, които не са кратни на 2. Този набор може да бъде написан по следния начин:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Аналогично на това, което направихме в набора от четни числа, имаме:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
Наборът от нечетни числа може да бъде получен чрез умножаване всички естествени числа с 2 и добавяне на 1. като се има предвид естествено число не всеки, можем да напишем произволно нечетно число, използвайки израза 2n + 1. Най-общо казано, ние представяме набора от нечетни числа чрез:
Имайте предвид, че множеството на нечетните числа също е безкрайно множество, тъй като за да получим нечетните числа, умножаваме естествените числа по 2 и след това добавяме 1. Поради тази причина набор от нечетни числа също е подмножество на натуралите., тъй като всеки елемент от този набор е и елемент от естествените.
Вижте също: Свойства на четните и нечетни числа
Решени упражнения
Въпрос 1 - Избройте само естествените числа на числата, изброени по-долу:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 и 98,765
Решение
Знаем, че множеството естествени числа се състои от строго положителни числа, които нямат запетая, така че естествените числа в списъка са: 1, 2 и 98 765.
въпрос 2 - Като се има предвид общата форма на четно число, вярно ли е, че добавяйки две четни числа, резултатът все пак е четен? Същото важи и за нечетните числа?
Решение
Знаем, че четно число може да се запише като цяло, като умножим всяко естествено число по 2. Помислете за две различни естествени числа, 2n и 2m, където м и не всякакви естествени числа, сумата от двете се определя от:
2n + 2m
Поставяйки числото 2 като доказателство, имаме:
2 · (n + m)
като не и м са две естествени числа, тяхната сума също е, така че n + m = k, където к естествено число.
2 · (n + m)
2 · k
Следователно сумата от две четни естествени числа също е четно число, тъй като сумата доведе до кратно на 2.
Сега знаем, че нечетно число се дава чрез умножаване на естествено число по 2, добавено към числото 1. Сега разгледайте две различни нечетни числа, 2n +1 и 2m + 1, с м и не естествен. Събирайки тези числа заедно, имаме:
2n + 1 + 2 м +1
2n + 2m +2
Отново поставяме числото 2 като доказателство, имаме:
2 (n + m + 1)
Обърнете внимание, че n + m + 1 е естествено число и можем да го представим с p, т.е. n + m + 1 = p, скоро:
2 ·(n + m + 1)
2 · P
Имайте предвид, че резултатът от добавянето на две нечетни числа доведе до кратно на 2, тоест четно. Следователно сумата от две нечетни числа е четно число.
Въпрос 3 - (Оферта / Предв. от Itaboraí) Съотношението между две естествени числа е 10. Чрез умножаване на дивидента по 5 и намаляване на делителя наполовина, коефициентът на новото деление ще бъде:
а) 2
б) 5
в) 25
г) 50
д) 100
Решение
Според изявлението коефициентът (делението) между две естествени числа е 10. Тъй като все още не знаем какви са тези числа, нека ги назовем по м и не, тогава:
Сега, умножавайки дивидента по 5 и намалявайки делителя наполовина, имаме:
Извършване на деление на фракции и заместване на стойността на м, ще имаме:
Отговор: Алтернатива д.
от Робсън Луиз
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm
