А сферична капачка и на геометрично тяло получава се, когато една сфера се пресече от равнина, разделяща я на две геометрични тела. Сферичната капачка се счита за кръгло тяло, тъй като, подобно на сферата, има заоблена форма. За да изчислим площта и обема на сферична шапка, използваме специфични формули.
Прочетете също: Ствол на конуса — геометричното тяло, образувано от дъното на конуса, когато се направи сечение, успоредно на основата
Резюме за сферичната капачка
- Сферичната шапка е геометрично тяло, получено, когато сферата се раздели от равнина.
- Основните елементи на сферичната шапка са радиусът на сферата, радиусът на сферичната шапка и височината на сферичната шапка.
- Сферичната капачка не е полиедър, а кръгло тяло.
- Ако равнината разделя сферата наполовина, сферичната капачка образува полусфера.
- Възможно е да се изчисли радиусът на сферичната капачка с помощта на Питагоровата теорема, организирана по следния начин:
\(\ляво (R-h\дясно)^2+r^2=R^2\)
- Площта на сферичната капачка може да се изчисли по формулата:
\(A=2\pi rh\ \)
- Обемът на сферичната капачка може да се изчисли по следната формула:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\наляво (3r-h\вдясно)\)
Какво е сферична капачка?
сферична капачка е геометричното тяло, получено, когато сечение на топка често срещани апартамент. Когато разрязваме сферата с равнина, разделяме тази сфера на две сферични шапки. Когато разделим сферата наполовина, сферичната капачка е известна като полукълбо.
Сферични капачни елементи
В сферична шапка основните елементи са радиусът на сферата, радиусът на сферичната шапка и височината на сферичната шапка.
- R → радиус на сферата.
- r → радиус на сферичната капачка.
- h → височина на сферичната капачка.
Сферичната капачка многостен ли е или кръгло тяло?
Можем да видим, че капачката е геометрично тяло. Тъй като има кръгла основа и заоблена повърхност, сферичната капачка се счита за a кръгло тяло, което е известно още като твърдото тяло на революцията. Струва си да се спомене, че полиедър има лица, образувани от полигони, което не е случаят със сферичната капачка, която има основа, образувана от a кръг.
Как да изчислим радиуса на сферичната капачка?
За да изчислите дължината на радиуса на сферичната капачка, необходимо е да се знае дължината на височината h на сферичната капачка и дължината на радиуса R на сферата, тъй като, както можем да видим на следващото изображение, има питагорова връзка.
Обърнете внимание, че имаме a правоъгълен триъгълник, триъгълникът OO’B, с хипотенуза, измерваща R и катети, измерващи R – h и r. Прилагане на Питагорова теорема, Ние трябва да:
\(\ляво (R-h\дясно)^2+r^2=R^2\)
Пример:
Какъв е радиусът на сферична шапка с височина 2 cm, като се има предвид, че радиусът на сферата е 5 cm?
Резолюция:
Прилагане на връзката на Питагор:
\(\ляво (R-h\дясно)^2+r^2=R^2\)
\(\ляво (5-2\дясно)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Как да изчислим площта на сферичната капачка?
За да изчислите площта на сферичната капачка, необходимо е да се знае измерването на дължината на радиуса R на сферата и височината h на капачката. Формулата, използвана за изчисляване на повърхността, е:
\(A=2\pi Rh\)
- R → радиус на сферата.
- h → височина на сферичната капачка.
Пример:
Сферична шапка се получава от сфера с радиус 6 cm и височина 4 cm. И така, каква е повърхността на тази сферична капачка?
Резолюция:
Изчислявайки площта на сферичната капачка, имаме:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Как да изчислим обема на сферичната капачка?
Обемът на сферичната капачка може да се изчисли по два начина. Първата формула зависи от радиуса R на сферата и височината h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\наляво (3 R-h\вдясно)\)
Пример:
Какъв е обемът на сферична шапка, получена от сфера с радиус 8 cm, чиято височина на сферичната шапка е 6 cm?
Резолюция:
Тъй като знаем стойността на R и h, ще използваме първата формула.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\наляво (3 R-h\вдясно)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\наляво (3\cdot8-6\вдясно)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\ляво (24-6\дясно)\)
\(V=12\pi\ляво (18\дясно)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Другата формула за обем на сферична капачка взема предвид радиуса на сферичната капачка r и височината на капачката h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\наляво (3r^2+h^2\вдясно)\)
Пример:
Какъв е обемът на сферична шапка с радиус 10 cm и височина 4 cm?
Резолюция:
В този случай имаме r = 10 cm и h = 4 cm. Тъй като знаем стойността на радиуса на сферичната капачка и височината, ще използваме втората формула:
\(V=\frac{\pi h}{6}\наляво (3r^2+h^2\вдясно)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\вляво (3{\cdot10}^2+4^2\вдясно)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\наляво (3\cdot100+16\вдясно)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\ляво (300+16\дясно)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\наляво (316\вдясно)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\приблизително 210,7\ \pi\ cm³\)
Вижте също: Стволът на пирамидата — геометричното тяло, образувано от дъното на пирамидата, когато се вземе напречно сечение
Решени упражнения върху сферична капачка
Въпрос 1
(Enem) За да украси детска парти маса, готвач ще използва сферичен пъпеш с диаметър 10 см, който ще служи като опора за набождане на различни сладкиши. Той ще премахне сферична капачка от пъпеша, както е показано на фигурата, и, за да гарантира стабилността на тази опора, което затруднява пъпеша да се търкаля по масата, главният готвач ще нареже така, че радиусът r на кръглата секция на рязане да е поне минус 3 см. От друга страна, шефът ще иска да има възможно най-голяма площ в района, където ще бъдат публикувани сладките.
За да постигне всичките си цели, готвачът трябва да отреже горната част на пъпеша на височина h, в сантиметри, равна на
а) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
Б)\( 10-\sqrt{91}\)
В) 1
Г) 4
Д) 5
Резолюция:
Алтернатива C
Знаем, че диаметърът на сферата е 10 cm, така че нейният радиус е 5 cm, така че OB = 5 cm.
Ако радиусът на сечението е точно 3 cm, имаме:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 см
Следователно:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
въпрос 2
Сферичната капачка има площ от 144π cm². Като знаем, че има радиус от 9 см, височината на тази сферична шапка е:
А) 8 см
Б) 10 см
В) 14 см
Г) 16 см
Д) 22 см
Резолюция:
Алтернатива А
Ние знаем, че:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Височината е 8см.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm