Обем на сфера: как да се изчисли?

О обем на сферата е пространството, заето от това геометрично тяло. Чрез лъча на топка — тоест от разстоянието между центъра и повърхността — е възможно да се изчисли неговият обем.

Прочетете също: Обем на геометрични тела

Обобщение за обема на сферата

Сферата е а кръгло тяло получен чрез завъртане на полукръг около ос, съдържаща диаметъра.
Всички точки на една сфера са на разстояние равно или по-малко от r от центъра на сферата.
Обемът на сферата зависи от мярката на радиуса.
Формулата за обема на сферата е \(V=\frac{4·π·r^3}3\)

Видео урок за обема на сферата

Какво е сфера?

Да разгледаме точка O в пространството и отсечка с мярка r. сферата е твърдо тяло, образувано от всички точки, които са на разстояние равно или по-малко от r от O. Наричаме O център на сферата, а r радиус на сферата.

сферата може също да се характеризира като твърдо тяло на революцията. Обърнете внимание, че въртенето на полукръг около ос, съдържаща неговия диаметър, образува сфера:

Представяне на въртенето на полукръг, за да се образува сфера.

Формула за обем на сфера

За да изчислим обема V на сфера, използваме формулата по-долу, където r е радиусът на сферата:

instagram story viewer

\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)

Важно е да се спазват мерна единица радиус за определяне на мерната единица за обем. Например, ако r е дадено в cm, тогава обемът трябва да бъде даден в cm³.

Как да изчислим обема на сферата?

Изчисляването на обема на сферата зависи само от измерването на радиуса. Нека разгледаме един пример.

Пример: Използвайки приближението π = 3, намерете обема на баскетболна топка с диаметър 24 сантиметра.

Тъй като диаметърът е два пъти радиуса, r = 12 cm. Прилагайки формулата за обема на сферата, имаме

\(V=\frac{4·π·12^3}3\)

\(V=\frac{4 · π·1728}3\)

\(V=6 912\ cm^3\)

сферични региони

Да разгледаме сфера с център O и радиус r. Като този, можем да разгледаме три региона от тази сфера:

Вътрешната област се формира от точки, чието разстояние от центъра е по-малко от радиуса. Ако P принадлежи към вътрешната област на сферата, тогава

\(D(P, O)

Областта на повърхността се формира от точки, чието разстояние от центъра е равно на радиуса. Ако P принадлежи към повърхностната област на сферата, тогава

\(D(P, O)=r\)

Външната област се формира от точки, чието разстояние от центъра е по-голямо от радиуса. Ако P принадлежи към вътрешната област на сферата, тогава

\(D(P, O)>r\)

Следователно точките от външната област на сферата не принадлежат на сферата.

Знам повече: Сферична шапка — твърдо тяло, получено, когато сфера е пресечена от равнина

Други сферични формули

А област на сферата — т.е. измерването на неговата повърхност — също има известна формула. Ако r е радиусът на сферата, нейната площ A се изчислява по

\(A=4·π·r^2\)

В този случай също е важно да се отбележи мерната единица за радиуса, за да се посочи мерната единица за площта. Например, ако r е в cm, тогава A трябва да бъде в cm².

Решени упражнения върху обема на кълбото

Въпрос 1

Какъв е радиусът на сфера с обем 108 кубични сантиметра? (Използвайте π = 3).

а) 2 см

б) 3 см

в) 4 см

г) 5 см

д) 6 см

Резолюция

Алтернатива Б.

Помислете за това r е радиусът на сферата. Знаейки, че V = 108, можем да използваме формулата за обема на сферата:

\(V=\frac{4·π·r^3}3\)

\(108=\frac{4·3·r^3}3\)

\(108=4·r^3\)

\(r^3=27\)

\(r = 3\ cm\)

въпрос 2

Древен сферичен резервоар е с диаметър 20 метра и обем V₁. Желателно е изграждането на втори резервоар, обем V₂, с двойно по-голям обем от стария резервоар. И така, В₂ същото е като

The) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)

б) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)

w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)

д) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)

То е) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)

Резолюция

Е алтернатива.

Тъй като диаметърът е два пъти радиуса, старият резервоар е с радиус r = 10 метра. Следователно

\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)

\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)

\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)

С изявлението, \(V_2=2·V_1\), т.е