О обем на сферата е пространството, заето от това геометрично тяло. Чрез лъча на топка — тоест от разстоянието между центъра и повърхността — е възможно да се изчисли неговият обем.
Прочетете също: Обем на геометрични тела
Обобщение за обема на сферата
Сферата е а кръгло тяло получен чрез завъртане на полукръг около ос, съдържаща диаметъра.
Всички точки на една сфера са на разстояние равно или по-малко от r от центъра на сферата.
Обемът на сферата зависи от мярката на радиуса.
Формулата за обема на сферата е \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Видео урок за обема на сферата
Какво е сфера?
Да разгледаме точка O в пространството и отсечка с мярка r. сферата е твърдо тяло, образувано от всички точки, които са на разстояние равно или по-малко от r от O. Наричаме O център на сферата, а r радиус на сферата.
сферата може също да се характеризира като твърдо тяло на революцията. Обърнете внимание, че въртенето на полукръг около ос, съдържаща неговия диаметър, образува сфера:
Формула за обем на сфера
За да изчислим обема V на сфера, използваме формулата по-долу, където r е радиусът на сферата:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Важно е да се спазват мерна единица радиус за определяне на мерната единица за обем. Например, ако r е дадено в cm, тогава обемът трябва да бъде даден в cm³.
Как да изчислим обема на сферата?
Изчисляването на обема на сферата зависи само от измерването на радиуса. Нека разгледаме един пример.
Пример: Използвайки приближението π = 3, намерете обема на баскетболна топка с диаметър 24 сантиметра.
Тъй като диаметърът е два пъти радиуса, r = 12 cm. Прилагайки формулата за обема на сферата, имаме
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
сферични региони
Да разгледаме сфера с център O и радиус r. Като този, можем да разгледаме три региона от тази сфера:
Вътрешната област се формира от точки, чието разстояние от центъра е по-малко от радиуса. Ако P принадлежи към вътрешната област на сферата, тогава
\(D(P, O)
Областта на повърхността се формира от точки, чието разстояние от центъра е равно на радиуса. Ако P принадлежи към повърхностната област на сферата, тогава
\(D(P, O)=r\)
Външната област се формира от точки, чието разстояние от центъра е по-голямо от радиуса. Ако P принадлежи към вътрешната област на сферата, тогава
\(D(P, O)>r\)
Следователно точките от външната област на сферата не принадлежат на сферата.
Знам повече: Сферична шапка — твърдо тяло, получено, когато сфера е пресечена от равнина
Други сферични формули
А област на сферата — т.е. измерването на неговата повърхност — също има известна формула. Ако r е радиусът на сферата, нейната площ A се изчислява по
\(A=4·π·r^2\)
В този случай също е важно да се отбележи мерната единица за радиуса, за да се посочи мерната единица за площта. Например, ако r е в cm, тогава A трябва да бъде в cm².
Решени упражнения върху обема на кълбото
Въпрос 1
Какъв е радиусът на сфера с обем 108 кубични сантиметра? (Използвайте π = 3).
а) 2 см
б) 3 см
в) 4 см
г) 5 см
д) 6 см
Резолюция
Алтернатива Б.
Помислете за това r е радиусът на сферата. Знаейки, че V = 108, можем да използваме формулата за обема на сферата:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
въпрос 2
Древен сферичен резервоар е с диаметър 20 метра и обем V1. Желателно е изграждането на втори резервоар, обем V2, с двойно по-голям обем от стария резервоар. И така, В2 същото е като
The) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
б) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
д) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
То е) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Резолюция
Е алтернатива.
Тъй като диаметърът е два пъти радиуса, старият резервоар е с радиус r = 10 метра. Следователно
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
С изявлението, \(V_2=2·V_1\), т.е
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика
източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm
