Шестоъгълникът е шестстранен многоъгълник с шест върха, така че има шест ъгъла. Шестоъгълникът е плоска фигура, има две измерения, образувана от затворена и проста многоъгълна линия, която не се пресича.
Шестте страни на шестоъгълника са прави линии, съединени последователно от върховете, които ограничават вътрешната област.
Шестоъгълникът се появява в много образувания в природата, като кошери, ледени кристали или дори органична химия в структури на въглеродни и други атоми.
В архитектурата и инженерството шестоъгълниците се използват като структурни и декоративни елементи, в винтове и ключове, за настилка на пътища и други комунални услуги.
Думата шестоъгълник идва от гръцкия език, където hex се отнася до числото шест, а gonia се отнася до ъгъла. Така че фигура с шест ъгъла.
Елементи на шестоъгълници
A, B, C, D, E и F са върховете на шестоъгълника.
сегментите са страните на шестоъгълника.
са вътрешните ъгли.
са външните ъгли.
d са диагоналите.
Видове шестоъгълници
Шестоъгълниците се класифицират на правилни и неправилни, изпъкнали и неизпъкнали, според измерванията на техните страни и ъгли.
Неправилни шестоъгълници
Неправилните шестоъгълници имат различни по размер страни и ъгли. Те са разделени на две групи: изпъкнали и неизпъкнали.
Изпъкнали неправилни
При изпъкналите шестоъгълници диагоналите имат всичките си точки в областта на многоъгълника и нито един ъгъл не е по-голям от 180°.
Не-изпъкнали неправилни
В неизпъкналите шестоъгълници има диагонали, които имат точки извън областта на многоъгълника и имат ъгли по-големи от 180°.
правилни шестоъгълници
Правилните шестоъгълници имат шест страни и ъгли с еднаква мярка, така че те са равностранни и равноъгълни.
Всички правилни шестоъгълници са изпъкнали, тъй като няма диагонали извън многоъгълника.
Правилният шестоъгълник е композиция от шест равностранни триъгълника.
Равностранните триъгълници са тези, които имат и трите страни и ъгли на едно и също измерване.
правилен шестоъгълник
Площта на шестоъгълника се изчислява по формулата:
Тъй като L е мярката на страната на шестоъгълника, площта зависи само от L.
Прочетете повече на област на шестоъгълник.
Периметър на правилния шестоъгълник
Периметърът на шестоъгълника е мярката на страната, умножена по шест.
Шестоъгълен апотем
Шестоъгълната апотема е отсечка, която свързва средата на едната страна с централната точка на шестоъгълника.
Апотемата на правилния шестоъгълник се изчислява по:
Вътрешни ъгли на правилните шестоъгълници
Измерването на вътрешните ъгли на правилния шестоъгълник е 120°.
Сборът от вътрешните им ъгли е 720°.
120° x 6 = 720°
Външни ъгли на правилните шестоъгълници
Измерването на външните ъгли на правилния шестоъгълник е 60°.
Формулата за измерване на външните ъгли на правилния многоъгълник е:
Където е мярката на външните ъгли, а n е броят на страните.
Ако n=6 в шестоъгълниците, имаме:
Друг начин да разберете мярката на външните ъгли е чрез двойката вътрешни и външни ъгли, тъй като те се равняват на 180°, като са допълнителни.
Тъй като вътрешният ъгъл е 120°, просто извадете, за да определите колко градуса остават до 180°.
180° - 120° = 60°
брой диагонали
Шестоъгълникът има 9 диагонала.
Има два начина за определяне на броя на диагоналите:
1-ви начин - броене.
2-ри начин - чрез формулата за диагоналите на многоъгълник.
Където n е броят на страните на многоъгълника. Ако n=6 в шестоъгълника, имаме:
Шестоъгълник, вписан в кръг
В окръжността е вписан шестоъгълник, а върховете му са върху окръжността.
Тъй като триъгълникът AOB на фигурата е равностранен, измерванията на радиуса на окръжността и страната на шестоъгълника са равни.
Шестоъгълник, описан в кръг
Шестоъгълник е описан в кръг, когато кръгът е вътре в шестоъгълника.
Обиколката се допира до страните на шестоъгълника.
Радиусът на окръжността е равен на апотемата на шестоъгълника. Заменяйки, имаме:
Тогава
облицовка
Полагането на плочки или теселацията е практиката за покриване на повърхност с геометрични фигури.
Правилните шестоъгълници са сред малкото многоъгълници, които напълно запълват повърхност.
За да може един правилен многоъгълник да плочки, тоест да запълни повърхност, без да оставя празнини, трябва да е изпълнено следното геометрично условие:
Вътрешните ъгли на правилния шестоъгълник са 120°. В шестоъгълните плочки забелязваме, че три шестоъгълника се срещат във връх. Така имаме:
120° + 120° + 120° = 360°
Упражнение 1
(Enem 2021) Студент, жител на град Контагем, чу, че в този град има улици, които образуват правилен шестоъгълник. При търсене в сайта на картата той установи, че фактът е верен, както е показано на фигурата.
Достъпно на: www.google.com. Достъп на: 7 декември. 2017 г. (адаптиран).
Той отбеляза, че картата, показана на екрана на компютъра, е в мащаб 1:20 000. В този момент той измерва дължината на един от сегментите, които образуват страните на този шестоъгълник, намирайки 5 cm.
Ако този ученик реши да обиколи напълно улиците, които образуват този шестоъгълник, той ще пътува на километър,
до 1.
б) 4.
в) 6.
г) 20.
д) 24.
Правилен отговор: в) 6.
Периметърът на шестоъгълника е:
P = 6.L
Тъй като страната е 5 см, имаме P = 6,5 = 30 см
Според мащаба всеки 1 см на картата е еквивалентен на 20 000 см в реалното измерване.
Тъй като курсът ще бъде 30 см, имаме:
30 х 20 000 = 600 000 см
за да го преобразуваме в км, разделяме на 100 000.
600 000 / 100 000 = 6
Следователно ученикът ще измине 6 км.
Упражнение 2
(EEAR 2013) Нека е правилен шестоъгълник и равностранен триъгълник, и двете от страни l. Съотношението между апотемите на шестоъгълника и триъгълника е
а) 4.
б) 3.
в) 2.
г) 1.
Правилен отговор: б) 3.
Апотемата на шестоъгълника е:
Апотемата на триъгълника е:
Съотношението между апотемите на шестоъгълника и триъгълника е:
Съотношението е равно на 3.
Упражнение 3
(CBM-PR 2010) Помислете за пътен знак във формата на правилен шестоъгълник със страни от 1 сантиметър. Известно е, че правилен l-страничен шестоъгълник е образуван от шест l-странни равностранни триъгълника. Тъй като четенето на този знак (плоча) зависи от площта A на знака, имаме, че A, като функция на дължина l, се дава от:
на)
б)
° С)
д)
и)
Правилен отговор: б)
Площта на равностранен триъгълник е равна на
В случая на шестоъгълника основата е равна на страната, така че нека заменим b с L.
Височината на триъгълника е равна на апотема на шестоъгълника и може да бъде определена от Питагоровата теорема.
Връщайки се към формулата на триъгълника.
Тъй като площта на шестоъгълника е равна на шест триъгълника, умножаваме изчислената от нас площ по шест.
Тъй като мярката на плочата е в сантиметри, площта ще се измерва в cm².
По този начин имаме:
може да се интересувате
- Многоъгълници
- Упражнения върху многоъгълници
