Векторът е представянето, което определя големината, посоката и посоката на векторна величина. Векторите са прави сегменти, ориентирани от стрелка в единия край.
Назоваваме векторите с буква и малка стрелка.
Векторите характеризират векторните количества, които са количества, които се нуждаят от ориентация, тоест посока и посока. Някои примери са: сила, скорост, ускорение и преместване. Числовата стойност не е достатъчна, необходимо е да се опише къде действат тези количества.
модул на вектор
Модулът или интензитетът на вектора е неговата числова стойност, последвана от мерната единица на величината, която представлява, например:
Посочваме модула между лентите, запазвайки стрелката или, само буквата, без ленти и без стрелка.
Дължината на вектора е пропорционална на модула. По-голям вектор представлява по-голям модул.
векторния модул е 4 единици, докато вектор
е 2 единици.
Посока на вектор
Посоката на вектора е наклонът на опорната линия, върху която е определен. Има само една посока за всеки вектор.
усещане за вектор
Посоката на вектора е показана със стрелката. Една и съща посока може да съдържа две посоки, като нагоре или надолу и наляво или надясно.
Приемайки посоката като положителна, обратната посока, отрицателна, се представя със знак минус преди векторния символ.
Получен вектор
Полученият вектор е резултат от векторни операции и е еквивалентен на набор от вектори. Удобно е да се знае векторът, който представлява ефекта, произведен от повече от един вектор.
Например, едно тяло може да бъде подложено на набор от сили и ние искаме да знаем резултата, който те ще произведат, всички заедно, върху това тяло. Всяка сила е представена от вектор, но резултатът може да бъде представен само с един вектор: резултантният вектор.
Полученият вектор, , с хоризонтална посока и посока вдясно, е резултат от събирания и изваждане на векторите.
,
,
и
. Полученият вектор показва тенденция на тялото да се движи в тази ориентация.
Векторите с вертикална посока имат еднакъв размер, тоест един и същ модул. Тъй като имат противоположни значения, те се отменят взаимно. Това показва, че няма да има движение на щайгата във вертикална посока.
При анализ на векторите и
, които имат една и съща посока и противоположни посоки, разбираме, че част от силата "остава" вдясно, като вектор
е по-голям от
, тоест модулът на
по-голям е.
За да определим получения вектор, ние извършваме операции за събиране и изваждане на вектори.
Събиране и изваждане на вектори с една и съща посока
С равни сетива, добавяме модулите и запазваме посоката и посоката.
пример:
Графично поставяме векторите в последователност, без да сменяме модулите им. Началото на едното трябва да съвпада с края на другото.
Комутативното свойство на събирането е валидно, тъй като редът не променя резултата.
С противоположни сетива, изваждаме модулите и запазваме посоката. Посоката на получения вектор е тази на вектора с най-голям модул.
пример:
векторът е остатъчната част от
, след оттегляне
.
Изваждането на един вектор е еквивалентно на добавяне с противоположния на другия.
Събиране и изваждане на перпендикулярни вектори
За да добавим два вектора с перпендикулярни посоки, ние преместваме векторите, без да променяме модула им, така че началото на единия да съвпада с края на другия.
Полученият вектор свързва началото на първия с края на втория.
За да определим големината на получения вектор между два перпендикулярни вектора, ние съпоставяме началото на двата вектора.
Модулът на получения вектор се определя от Питагоровата теорема.
Събиране и изваждане на наклонени вектори
Два вектора са наклонени, когато образуват ъгъл между посоките си, различен от 0°, 90° и 180°. За добавяне или изваждане на наклонени вектори се използват методите на паралелограма и многоъгълна линия.
метод на паралелограма
За да изпълним метода или правилото на паралелограма между два вектора и да начертаем получения вектор, следваме следните стъпки:
Първата стъпка е да позиционирате началото им в една и съща точка и да начертаете линии, успоредни на векторите, за да образувате паралелограм.
Вторият е да се начертае диагонален вектор върху паралелограма, между обединението на векторите и обединението на успоредните прави.
Пунктираните линии са успоредни на векторите и образуваната геометрична фигура е паралелограм.
Полученият вектор е линията, свързваща началото на векторите с паралелите.
О модул на получения вектор се получава от закона на косинуса.
Където:
R е величината на получения вектор;
a е векторният модул ;
b е модулът на вектора ;
е ъгълът, образуван между посоките на векторите.
Методът на паралелограма се използва за добавяне на двойка вектори. Ако искате да добавите повече от два вектора, трябва да ги добавите два по два. Към вектора, получен от сбора на първите два, добавяме третия и т.н.
Друг начин да добавите повече от два вектора е да използвате метода на многоъгълна линия.
метод на многоъгълна линия
Методът на многоъгълната линия се използва за намиране на вектора, получен от добавянето на вектори. Този метод е особено полезен при добавяне на повече от два вектора, като следните вектори ,
,
и
.
За да използваме този метод, трябва да подредим векторите така, че краят на един (стрелката) да съвпада с началото на друг. Важно е да се запази модулът, посоката и посоката.
След като подредихме всички вектори под формата на многоъгълна линия, трябва да проследим получения вектор, който върви от началото на първия до края на последния.
Важно е полученият вектор да затваря многоъгълника, като стрелката му съвпада със стрелката в последния вектор.
Комутативното свойство е валидно, тъй като редът, в който поставяме графичните вектори, не променя резултантния вектор.
векторно разлагане
Разлагането на вектор означава да напишете компонентите, които съставляват този вектор. Тези компоненти са други вектори.
Всеки вектор може да бъде записан като композиция от други вектори чрез векторна сума. С други думи, можем да запишем вектор като сбор от два вектора, които наричаме компоненти.
Използвайки декартова координатна система, с перпендикулярни оси x и y, ние определяме компонентите на вектора.
векторът е резултат от векторната сума между компонентните вектори.
и
.
векторът наклон
образува правоъгълен триъгълник с оста x. По този начин определяме модулите на компонентните вектори с помощта на тригонометрия.
Компонентен модул акси.
Компонентен модул ay.
векторния модул се получава от Питагоровата теорема.
Пример
Изпълнява се сила чрез издърпване на блок от земята. Силата на модула от 50 N е наклонена на 30° от хоризонталата. Определете хоризонталните и вертикалните компоненти на тази сила.
Данни:
Умножение на реално число по вектор
Чрез умножаване на реално число по вектор, резултатът ще бъде нов вектор, който има следните характеристики:
- Същата посока, ако реалното число е различно от нула;
- Една и съща посока, ако реалното число е положително, и в обратна посока, ако е отрицателно;
- Модулът ще бъде произведението на модула на реалното число и модула на умножения вектор.
Продукт между реално число и вектор
Където: е векторът, получен от умножението;
е реалното число;
е векторът, който се умножава.
Пример
Нека реалното число n = 3 и вектора по модул 2, произведението между тях е равно на:
Изчисление на модула
Посоката и посоката ще бъдат еднакви.
Упражнение 1
(Enem 2011) Силата на триене е сила, която зависи от контакта между телата. Тя може да се определи като противоположна сила на тенденцията на изместване на телата и се генерира поради неравности между две повърхности в контакт. На фигурата стрелките представляват силите, действащи върху тялото, а увеличената точка представлява неравностите, които съществуват между двете повърхности.
На фигурата векторите, които представляват силите, които причиняват изместване и триене, са съответно:
на) 
б) 
° С) 
д) 
и) 
Правилен отговор: буква а) 
Стрелките представляват векторите на силите, които действат при движение в хоризонтална посока, като двойка действие-реакция, те имат противоположни посоки.
Вертикалните стрелки представляват действията на силата на тежестта и на нормалната сила и тъй като са равни, те се компенсират взаимно, без движение във вертикална посока.
Упражнение 2
(UEFS 2011) Векторната диаграма на фигурата очертава силите, упражнявани от две гумени ленти върху зъб на лице, подложено на ортодонтско лечение.
Ако приемем, че F = 10.0N, sen45° = 0.7 и cos45° = 0.7, интензивността на силата, приложена от ластиците върху зъба, в N, е равна на
а) 3√10
б) 2√30
в) 2√85
г) 3√35
д) 2√45
Правилен отговор: в) 2√85
Интензитетът на силата, приложена към зъба, се получава от закона на косинусите.
a и b са равни на 10 N.
Разлагането на квадратен корен ни дава:
Следователно, интензитетът на резултантната сила, приложена от гумените ленти върху зъба, е .
Упражнение 3
(PUC RJ 2016) Силите F1, F2, F3 и F4 на фигурата образуват прави ъгли една спрямо друга и техните модули са съответно 1 N, 2 N, 3 N и 4 N.
Изчислете модула на нетната сила в N.
а) 0
б) √2
в) 2
г) 2√ 2
д) 10
Правилен отговор: г) 2√ 2
Използваме метода на многоъгълна линия, за да определим получения вектор. За да направите това, пренареждаме векторите така, че краят на единия да съвпада с началото на другия, както следва:
Използвайки координатна система с начало в началото на получения вектор, можем да определим модулите на неговите компоненти, както следва:
По този начин трябва да:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Големината на получения вектор се определя от Питагоровата теорема.
Следователно модулът на нетната сила е равен на .
научете повече за
- Вектори: събиране, изваждане и разлагане.
- Векторни количества
✖
