Ан полиномно уравнение се характеризира с това, че има a полином равно на нула. Може да се характеризира със степента на полинома и колкото по-голяма е тази степен, толкова по-голяма е степента на трудност при намирането на неговото решение или корен.
Също така е важно в този контекст да се разбере каква е основната теорема на алгебрата, която гласи това всяко полиномно уравнение има поне едно комплексно решение, с други думи: уравнение от първа степен ще има поне едно решение, уравнение от степен две ще има поне две решения и т.н.
Прочетете също: Какви са класовете полиноми?
Какво е полиномно уравнение
Полиномното уравнение се характеризира с това, че има полином, равен на нула, следователно, всеки израз от тип P(x) = 0 е полиномно уравнение, където P(x) е полином. По-долу е общият случай на полиномно уравнение и някои примери.
Помислете зане, аn -1, а n -2, …, The1, а0 и х реални числаи n е цяло положително число, следният израз е полиномно уравнение от степен n.
- Пример
Следните уравнения са полиноми.
а) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
б) 5x2 – 3 = 0
в) 6x – 1 = 0
г) 7x3 - х2 + 4x + 3 = 0
Подобно на полиномите, полиномните уравнения имат своята степен. За да определите степента на полиномно уравнение, просто намерете най-високата мощност, чийто коефициент е различен от нула. Следователно уравненията на предишните точки са съответно:
а) Уравнението е от четвърта степен:3х4+ 4x2 – 1 = 0.
б) Уравнението е от гимназия:5х2 – 3 = 0.
в) Уравнението е от първа степен:6х – 1 = 0.
г) Уравнението е на трета степен: 7х3- х2 + 4x + 3 = 0.
Как да решим полиномно уравнение?
Методът за решаване на полиномно уравнение зависи от неговата степен. Колкото по-голяма е степента на едно уравнение, толкова по-трудно е да се реши. В тази статия ще покажем метода за решаване на полиномни уравнения на първа степен, втора степен и биквадрат.
Полиномно уравнение от първа степен
Полиномно уравнение от първа степен се описва с a полином от степен 1. Така че можем да напишем уравнение от първа степен, най-общо, както следва.
Да разгледаме две реални числа В и Б с ≠ 0, следният израз е полиномно уравнение от първа степен:
ах + b = 0
За да решим това уравнение, трябва да използваме принцип на еквивалентност, тоест всичко, което се оперира от едната страна на равенството, трябва да се управлява и от другата страна. За да определим решението на уравнение от първа степен, трябва изолирайте неизвестното. За това първата стъпка е да премахнете Б от лявата страна на равенството и след това извадигребла b от двете страни на равенството.
брадва + b - Б = 0 - Б
ax = - b
Обърнете внимание, че стойността на неизвестното x не е изолирана, коефициентът a трябва да бъде елиминиран от лявата страна на равенството и за това нека разделим двете страни на В.
- Пример
Решете уравнението 5x + 25 = 0.
За да решим проблема, трябва да използваме принципа на еквивалентност. За да улесним процеса, ще пропуснем изписването на операцията от лявата страна на равенството, тъй като еквивалентно тогава да кажем, че ще „предадем“ числото на другата страна, променяйки знака (обратна операция).
Научете повече за решаването на този тип уравнение, като отворите нашия текст: Уравнение от първа степен с неизвестно.
Полиномно уравнение от втора степен
Полиномно уравнение от втора степен има характеристиката на a полином от втора степен. И така, разгледайте a, b и c реални числа с a ≠ 0. Уравнение от втора степен се дава от:
брадва2 + bx + c = 0
Вашето решение може да бъде определено с помощта на метода на бхаскара или чрез факторинг. Ако искате да научите повече за уравненията от този тип, прочетете: уравнениедействие на свторо жrau.
→ Метод Бхаскара
Използвайки метода на Bhaskara, неговите корени са дадени по следната формула:
- Пример
Намерете решението на уравнението x2 – 3x + 2 = 0.
Забележете, че коефициентите на уравнението са съответно a = 1, b = – 3 и c = 2. Заменяйки тези стойности във формулата, трябва да:
→ Факторизация
Вижте, че е възможно изразът x да се разлага на множители2 – 3x + 2 = 0, използвайки идеята за полиномна факторизация.
х2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Забележете сега, че имаме продукт, равен на нула, а продукт е равен на нула само ако един от факторите е равен на нула, така че трябва да:
х – 2 = 0
х = 2
или
х - 1 = 0
х = 1
Вижте, че намерихме решението на уравнението, използвайки два различни метода.
биквадратно уравнение
THE биквадратно уравнение това е частен случай на полиномно уравнение от четвърта степен, обикновено уравнение от четвърта степен ще бъде написано във формата:
брадва4 + bx3 + кутия2 + dx + e = 0
където са числата a B C D и и са реални с ≠ 0. Уравнение от четвърта степен се счита за биквадратно, когато коефициентите b = d = 0, тоест уравнението е във вида:
брадва4 + кутия2 + и = 0
Вижте в примера по-долу как да решите това уравнение.
- Пример
Решете x уравнението4 – 10х2 + 9 = 0.
За да решим уравнението, ще използваме следната неизвестна промяна и винаги, когато уравнението е биквадратно, ще направим тази промяна.
х2 =стр
От двуквадратното уравнение забележете, че x4 = (x2)2 и затова трябва:
х4 – 10х2 + 9 = 0
(х2)2 – 10х2 + 9 = 0
за2 – 10p + 9 = 0
Вижте, че сега имаме полиномно уравнение от втора степен и можем да използваме метода на Bhaskara, както следва:
Трябва обаче да помним, че в началото на упражнението е направена неизвестна промяна, така че трябва да приложим стойността, намерена в заместването.
х2 =стр
За p = 9 имаме, че:
х2 = 9
х’ = 3
или
x'' = – 3
За p = 1
х2 = 1
х’ = 1
или
x'' = – 1
Следователно наборът от решения на биквадратното уравнение е:
S = {3, –3, 1, –1}
Прочетете също: Практическото устройство на Briot-Ruffini – разделяне на полиноми
Основна теорема на алгебрата (TFA)
Основната теорема на алгебрата (TFA), доказана от Гаус през 1799 г., гласи, че всяко полиномно уравнение, както следва, има поне един комплексен корен.
Коренът на полиномното уравнение е неговото решение, тоест неизвестната стойност е това, което прави равенството вярно. Например, уравнение от първа степен има вече определен корен, както и уравнение от втора степен, което има поне два корена, и биквадрат, което има поне четири корена.
решени упражнения
Въпрос 1 – Определете стойността на x, която прави равенството вярно.
2x – 8 = 3x + 7
Резолюция
Имайте предвид, че за да решите уравнението, е необходимо да го организирате, тоест да оставите всички неизвестни от лявата страна на равенството.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
По принципа на еквивалентността можем да умножим двете страни на равенството по едно и също число и тъй като искаме да намерим стойността на x, ще умножим и двете страни по –1.
(–1)– x = 15(–1)
х = – 15
въпрос 2 – Маркос има 20 R$ повече от Жоао. Заедно те успяват да купят два чифта маратонки, струващи R$80 всеки чифт и без останали пари. Колко реала има Джон?
Резолюция
Да приемем, че Марк има х реала, тъй като Джон има 20 реала повече, така че той има х + 20.
Знаки → х реални
Жоао → (x + 20) реала
как са купили два чифта маратонки които струват 80 реала всеки, така че ако съберем частите на всеки един, ще трябва:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Следователно Марк имаше 70 реала, а Жоао – 90 реала.
от Робсън Луис
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
