комплектът от прости числа е обект на изследване в математика от Древна Гърция. Евклид, в своето голямо произведение „Елементите“, вече обсъждаше темата, успявайки да демонстрира, че това комплект е безкраен. Както знаем, простите числа са тези, които имат числото 1 като делител и самите те, по този начин, намирането на много големи прости числа не е лесна задача, а ситото на Ератостен го прави лесно. среща.
Как да разберете кога едно число е просто?
Знаем, че простото число е акойто има като разделител номерът 1 и себе си, така че число, което в своя списък с делители има числа, различни от 1 и само по себе си няма да е просто, вижте:
Като изброим 11 и 30 разделители, имаме:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Обърнете внимание, че числото 11 има само числото 1 и себе си като делители, така че число 11 е просто число. Сега вижте делителите на числото 30, то освен числото 1 и себе си има числата 2, 3, 5, 6 и 10 с делители. Следователно, числото 30 не е просто.
→ Пример: Избройте простите числа по-малко от 15.
За това ще изброим делителите на всички числа между 2 и 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
По този начин, прости числа по-малки от 15 са:
2, 3, 5, 7, 11 и 13
Нека си го кажем, тази задача не би била много приятна, например, ако трябва да запишем всички прости числа между 2 и 100. За да го избегнем, ще се научим да използваме в следващата тема ситото на Ератостен.
Сито на Ератостен
Ситото на Ератостен е a инструмент, който има за цел да улесни определянето на прости числа. Ситото се състои от четири стъпки и е необходимо, за да ги разберете, да имате предвид критерии за делимост. Преди да започнем стъпка по стъпка, трябва да създадем таблица от числото 2 до желаното число, тъй като числото 1 не е просто. Тогава:
→ Етап 1: От критерия за делимост на 2 имаме, че всички четни числа се делят на него, т.е. номер 2 ще се появи в списъка с делители, така че тези числа няма да са прости и трябва да ги изключим от маса. те ли са:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Стъпка 2: От критерия за делимост на 3 знаем, че числото се дели на 3, ако сума от цифрите си също е. По този начин трябва да изключим тези числа от таблицата, тъй като те не са прости, защото има число различно от 1 и самото себе си в списъка с делители. И така, трябва да изключим числата:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Стъпка 3: От критерия за делимост на 5 знаем, че всички числа, завършващи на 0 или 5, се делят на 5, така че трябва да ги изключим от таблицата.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Стъпка 4: По същия начин трябва да изключим от таблицата числа, кратни на 7.
14, 21, 28, …, 546, …
– Като знаем ситото на Ератостен, нека определим простите числа между 2 и 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ не са братовчеди
→ прости числа
И така, простите числа между 2 и 100 са:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Прочетете също: Изчисляване на MMC и MDC: как да го направя?
Разлагане на основния фактор
THE разлагане на основния фактор е официално известен като основна теорема на аритметиката. Тази теорема гласи, че всяко цяло число различни от 0 и по-големи от 1 могат да бъдат представени чрез произведението на прости числа. За да определим разложената на множители форма на цяло число, трябва да извършим последователни деления, докато достигнем резултата, равен на 1. Вижте примера:
→ Определете разложената на множители форма на числата 8, 20 и 350.
За да разбием числото 8, трябва да го разделим на първото възможно просто число, в този случай на 2. След това извършваме друго деление също с възможното просто число, този процес се повтаря, докато достигнем числото 1 като отговор на делението. Виж:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Следователно разложената на множители форма на числото 8 е 2 · 2 · 2 = 23. За да улесним този процес, ще приемем следния метод:
Следователно числото 8 може да се запише като: 23.
→ За да размножим числото 20, ще използваме същия метод, тоест: разделим го на прости числа.
Така числото 20, в неговата разложена на множители форма, е: 2 · 2 · 5 или 22 · 5.
→ По същия начин ще направим и с числото 350.
Следователно числото 350 в неговата разложена на множители форма е: 2 · 5 · 5 · 7 или 2 · 52 · 7.
Вижте също: Научна нотация: за какво е?
решени упражнения
Въпрос 1 – Опростете израза:
Решение
Първо, нека разложим израза, за да го улесним.
Така 1024 = 210, и следователно можем да заменим едното с другото в израза за упражнение. Поради това:
от Робсън Луис
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm
