Упражнения със сложни лихви

Съставената лихва представлява корекцията, приложена към сума, която е взета в заем или приложена. Този тип корекция се нарича още лихва върху лихва.

Като съдържание с голяма приложимост се появява често на състезания, приемни изпити и на Enem. Затова използвайте въпросите по-долу, за да проверите знанията си за това съдържание.

Коментирани въпроси

1) Enem - 2018

Договорът за заем предвижда, че когато вноска е платена предварително, ще бъде предоставено намаление на лихвите в съответствие с авансовия период. В този случай плащате настоящата стойност, която е стойността към този момент, на сума, която трябва да бъде платена на бъдеща дата. Настояща стойност P, подадена към сложна лихва при лихва i, за период от време n, създава бъдеща стойност V, определена от формулата

В договор за заем с шестдесет месечни фиксирани вноски от 820,00 R $, при лихва от 1,32% на месец, заедно с тридесетата вноска, друга вноска ще бъде платена предварително, при условие че отстъпката е по-голяма от 25% от стойността на част.

Използвайте 0,2877 като приблизително за и 0,0131 като приближение до ln (1,0132).
Първата от вноските, която може да се очаква заедно с 30-та, е

а) 56-ти
б) 55-ти
в) 52-ра
г) 51-ва
д) 45-ти

Вижте Отговор

В предложения въпрос искаме да разберем коя вноска, прилагайки намалението на лихвата при авансово плащане, платената сума има отстъпка по-голяма от 25%, тоест:

Опростяване на фракцията (разделяне на горната и долната част на 25), откривайки, че сумата, която трябва да бъде платена за авансовата вноска, трябва да бъде:

Очакваната вноска съответства на бъдещата стойност, коригирана към настоящата стойност, т.е. намалена лихва от 1,32% при плащане на тази вноска преди срока, т.е.:

Където n е равно на периода, който се очаква. Заменяйки този израз в предишния, имаме:

Тъй като 820 се появява от двете страни на неравенството, можем да опростим, „изрязвайки“ тази стойност:

Можем да обърнем фракциите, като внимаваме да обърнем и знака на неравенството. И така, нашият израз е:

Обърнете внимание, че стойността, която искаме да намерим, е в степента (n). Следователно, за да разрешим неравенството, ще приложим естествения логаритъм (ln) от двете страни на неравенството, т.е.

Сега можем да заместим стойностите, посочени в изявлението, и да намерим стойността на n:

Тъй като n трябва да е по-голяма от намерената стойност, тогава ще трябва да предвидим 22 вноски, тоест ще платим 30-тата вноска заедно с 52-рата (30 + 22 = 52).

Алтернатива: в) 52-ра

2) Енем - 2011

Младият инвеститор трябва да избере коя инвестиция ще му донесе най-голяма финансова възвръщаемост при инвестиция от 500,00 R $. За целта той изследва дохода и данъка, които трябва да бъдат платени за две инвестиции: спестявания и CDB (сертификат за банков депозит). Получената информация е обобщена в таблицата:

За младия инвеститор в края на месец най-изгодното приложение е

а) спестявания, тъй като общата сума е 502,80 R $.
б) спестявания, тъй като общата сума е 500,56 R $.
в) CDB, тъй като общата сума ще бъде 504,38 R $.
г) CDB, тъй като общата сума ще бъде 504,21 R $.
д) CDB, тъй като общата сума ще бъде 500,87 R $.

Вижте Отговор

За да разберем какъв е най-добрият добив, нека изчислим колко ще даде всеки в края на месеца. И така, нека започнем с изчисляване на дохода от спестявания.

Имайки предвид данните за проблема, имаме:

c = 500,00 BRL
i = 0,560% = 0,0056 сутринта
t = 1 месец
М =?

Заменяйки тези стойности във формулата на сложния лихвен процент, имаме:

M = C (1 + i)^T
М_{спестявания} = 500 (1 + 0,0056)¹
М_{спестявания} = 500.1,0056
М_{спестявания} = 502,80 BRL

Тъй като в този тип заявление няма приспадане на данъка върху дохода, така че това ще бъде сумата, която е осребрена.

Сега нека изчислим стойностите за CDB. За това приложение лихвеният процент е равен на 0,876% (0,00876). Заменяйки тези стойности, имаме:

М_CBD = 500 (1+0,00876)¹
М_CBD = 500.1,00876
М_CBD = 504,38 BRL

Тази сума няма да бъде сумата, получена от инвеститора, тъй като в това приложение има 4% отстъпка, отнасящи се до данък върху дохода, който следва да се прилага върху получените лихви, както е посочено по-долу:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Трябва да изчислим 4% от тази стойност, просто направете:

4,38.0,04 = 0,1752

Прилагайки тази отстъпка към стойността, откриваме:

504,38 - 0,1752 = 504,21 BRL

Алтернатива: г) CDB, тъй като общата сума ще бъде 504,21 R $.

3) UERJ - 2017

Капитал от C реали е инвестиран при сложна лихва от 10% на месец и генерира за три месеца сума от 53 240 R R $. Изчислете стойността, в реали, на първоначалния капитал C.

Вижте Отговор

Имаме следните данни в проблема:

M = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 на месец
t = 3 месеца
C =?

Заменяйки тези данни във формулата на сложната лихва, имаме:

M = C (1 + i)^T
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 ° С

4) Fuvest - 2018

Мария иска да купи телевизор, който се продава за 1500,00 R $ в брой или на 3 месечни безлихвени вноски от 500,00 R $. Парите, които Мария заделя за тази покупка, не са достатъчни за плащане в брой, но тя установява, че банката предлага финансова инвестиция, която печели 1% на месец. След като направи изчисленията, Мария стигна до заключението, че ако плати първата вноска и в същия ден приложи оставаща сума, ще можете да платите двете останали вноски, без да се налага да поставяте или вземате и цент дори не. Колко Мария задели за тази покупка, в реали?

а) 1450,20
б) 1480,20
в) 1 485,20
г) 1 495,20
д) 1490,20

Вижте Отговор

В този проблем трябва да направим еквивалентността на стойностите, т.е. знаем бъдещата стойност, която трябва да бъде платена на всяка вноска, и искаме да знаем настоящата стойност (капитал, който ще бъде приложен).

За тази ситуация използваме следната формула:

Като се има предвид, че приложението трябва да донесе 500,00 BRL по време на плащането на втората вноска, което ще бъде 1 месец след плащането на първата вноска, имаме:

За да платите третата вноска от 500,00 R $, сумата ще се прилага за 2 месеца, така че приложената сума ще бъде равна на:

По този начин сумата, която Мария заделя за покупката, е равна на сумата от приложените суми със сумата на първата вноска, т.е.

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1 485,20

Алтернатива: в) 1 485,20 BRL

5) ЮНЕСП - 2005

Mário взе заем от 8 000,00 R $ при 5% лихва на месец. Два месеца по-късно Mário плати 5000 000 R $ от заема и един месец след това плащане изплати целия си дълг. Стойността на последното плащане беше:

а) 3,015 BRL.
б) 3 820,00 BRL.
в) 4011,00 BRL.
г) 5011,00 BRL.
д) 5 250,00 BRL.

Вижте Отговор

Знаем, че заемът е платен на две вноски и че разполагаме със следните данни:

V_P = 8000
i = 5% = 0,05 м
V_F1 = 5000
V_F2 = х

Като се вземат предвид данните и се прави еквивалентността на капиталите, имаме:

Алтернатива: в) 4.011,00 R $.

6) PUC / RJ - 2000 г.

Банката начислява лихва от 11% на месец за услугата си за овърдрафт. За всеки 100 реала на овърдрафт банката начислява 111 през първия месец, 123.21 през втория и т.н. В размер на 100 реала в края на една година банката ще начисли приблизително:

а) 150 реала.
б) 200 реала
в) 250 реала.
г) 300 реала.
д) 350 реала.

Вижте Отговор

От информацията, дадена в проблема, установихме, че корекцията на сумата, начислена от овърдрафта, е чрез сложна лихва.

Имайте предвид, че сумата, начислена за втория месец, е изчислена, като се вземе предвид вече коригираната сума за първия месец, т.е.

J = 111. 0,11 = 12,21 BRL

M = 111 + 12,21 = BRL 123,21

Следователно, за да намерим сумата, която банката ще начисли в края на една година, нека приложим формулата на сложната лихва, която е:

M = C (1 + i)^T

Същество:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 на месец
t = 1 година = 12 месеца
М = 100 (1 + 0,11)¹²
М = 100.1.11¹²
М = 100,3498

Алтернатива: д) 350 реала

За да научите повече за тази тема, прочетете също:

• Процент
• Как да изчислим процента?
• Процентни упражнения
• Математически формули
• Математика в Енем