Матрици: Коментирани и решени упражнения

Матрицата е таблица, образувана от реални числа, подредени в редове и колони. Числата, които се появяват в матрицата, се наричат ​​елементи.

Възползвайте се от разрешените и коментирани въпроси за кандидатстудентски изпит, за да изчистите всичките си съмнения относно това съдържание.

Решени проблеми с приемния изпит

1) Unicamp - 2018

Нека a и b са реални числа, такива че матрицата A = удовлетворява уравнение A²= aA + bI, където I е матрицата за идентичност от ред 2. Така че продуктът ab е равен на

а) -2.
б) -1.
в) 1.
г) 2.

Вижте Отговор

За да разберем стойността на продукта a.b, първо трябва да знаем стойността на a и b. Така че нека разгледаме уравнението, дадено в задачата.

За да решим уравнението, нека изчислим стойността на A², което се извършва чрез умножаване на матрица А по себе си, което е:

Тази операция се извършва чрез умножаване на редовете на първата матрица по колоните на втората матрица, както е показано по-долу:

По този начин матрицата A² това е същото като:

Като се има предвид стойността, която току-що намерихме и помним, че в матрицата за идентичност елементите на главния диагонал са равни на 1, а останалите елементи са равни на 0, уравнението ще бъде:

Сега трябва да умножим матрицата A по числото a и матрицата на идентичността по числото b.

Не забравяйте, че за да умножим число по масив, умножаваме числото по всеки елемент от масива.

По този начин нашето равенство ще бъде равно на:

Като добавим двете матрици, имаме:

Две матрици са равни, когато всички съответни елементи са равни. По този начин можем да напишем следната система:

Изолиране на а във второто уравнение:

Замествайки намерената стойност за a в първото уравнение, намираме стойността на b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

По този начин продуктът ще бъде даден от:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Алтернатива: а) -2.

2) Unesp - 2016

Точка P, от координати (x, y) на ортогоналната декартова равнина, е представена от матрицата на колоната. , както и матрицата на колоната представлява в ортогоналната декартова равнина точката P на координатите (x, y). По този начин резултатът от матричното умножение е колонна матрица, която в ортогоналната декартова равнина непременно представлява точка, която е

а) завъртане на P на 180º по посока на часовниковата стрелка и с център на (0, 0).
б) завъртане на P на 90 ° обратно на часовниковата стрелка, с център на (0, 0).
в) симетрично на P по отношение на хоризонталната ос x.
г) симетрично на P по отношение на вертикалната ос y.
д) завъртане на P на 90 ° по посока на часовниковата стрелка и с център на (0, 0).

Вижте Отговор

Точката P е представена с матрица, така че абсцисата (x) е обозначена с елемента a.₁₁ и ординатата (у) от елемент а₂₁ на матрицата.

За да намерим новото положение на точка Р, трябва да решим умножението на представените матрици и резултатът ще бъде:

Резултатът представлява новата координата на точка P, т.е. абсцисата е равна на -y, а ординатата е равна на x.

За да идентифицираме трансформацията, претърпяна от позицията на точка P, нека представим ситуацията в декартовата равнина, както е посочено по-долу:

Следователно точка P, която първоначално се намираше в 1-ви квадрант (положителна абсциса и ордината), се премести във 2-ри квадрант (отрицателна абсциса и положителна ордината).

Когато се премества в тази нова позиция, точката се завърта обратно на часовниковата стрелка, както е показано на изображението по-горе от червената стрелка.

Все още трябва да идентифицираме каква е била стойността на ъгъла на въртене.

Чрез свързване на първоначалното положение на точка P към центъра на декартовата ос и извършване на същото по отношение на новото й положение P ', имаме следната ситуация:

Обърнете внимание, че двата триъгълника, посочени на фигурата, са съвпадащи, тоест имат еднакви измервания. По този начин техните ъгли също са еднакви.

Освен това ъглите α и θ се допълват, тъй като сумата от вътрешните ъгли на триъгълниците е равна на 180º и тъй като триъгълникът е правоъгълен, сумата от тези два ъгъла ще бъде равна на 90º.

Следователно ъгълът на въртене на точката, посочен на фигурата с β, може да бъде равен само на 90 °.

Алтернатива: б) въртене на P на 90 ° обратно на часовниковата стрелка, с център на (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Тъй като a е реално число, разгледайте матрицата A = . Така че²⁰¹⁷ това е същото като
The)
Б)
° С)
д)

Вижте Отговор

Първо, нека се опитаме да намерим модел за степента, тъй като е много работа да се умножи матрицата А сама по себе си 2017 пъти.

Спомняйки си, че при матричното умножение всеки елемент се намира чрез добавяне на резултатите от умножаването на елементите в реда на единия по елементите в колоната на другия.

Нека започнем с изчисляване на A²:

Резултатът беше матрицата за идентичност и когато умножим която и да е матрица по матрицата за идентичност, резултатът ще бъде самата матрица.

Следователно стойността на A³ ще бъде равна на самата матрица A, тъй като A³ = A². НА.

Този резултат ще се повтори, т.е. когато експонентата е четна, резултатът е матрицата на идентичността и когато е нечетна, това ще бъде самата матрица А.

Тъй като 2017 г. е странна, тогава резултатът ще бъде равен на матрица А.

Алтернатива: б)

4) UFSM - 2011

Дадената диаграма представлява опростената хранителна верига на дадена екосистема. Стрелките показват вида, с който се хранят останалите видове. Приписвайки стойност 1, когато един вид се храни с друг и нула, когато се получи обратното, имаме следната таблица:

Матрицата A = (a_ij)_4х4, свързан с таблицата, има следния закон за обучение:

Вижте Отговор

Тъй като номерът на реда е посочен с i, а номерът на колоната - j, и като погледнем таблицата, забелязваме, че когато i е равно на j или i е по-голямо от j, резултатът е нула.

Позициите, заети от 1, са тези, при които номерът на колоната е по-голям от номера на реда.

Алтернатива: в)

5) Unesp - 2014

Да разгледаме матричното уравнение A + BX = X + 2C, чието неизвестно е матрицата X и всички матрици са квадратни от порядък n. Необходимото и достатъчно условие за това уравнение да има едно решение е:

а) B - I ≠ O, където I е матрицата за идентичност от ред n и O е нулевата матрица от ред n.
б) В е обратим.
в) B ≠ O, където O е нулевата матрица от порядъка n.
г) B - I е обратим, където I е матрицата за идентичност от порядъка n.
д) А и С са обратими.

Вижте Отговор

За да решим матричното уравнение, трябва да изолираме X от едната страна на знака за равенство. За целта нека първоначално извадим матрицата А от двете страни.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Сега, нека извадим X, също от двете страни. В този случай уравнението ще бъде:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Тъй като I е матрицата на идентичността, когато умножаваме матрица по идентичността, резултатът е самата матрица.

И така, за да изолираме X, сега трябва да умножим двете страни на знака за равенство по обратната матрица на (B-I), т.е.

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Спомняйки си, че когато една матрица е обратима, произведението на матрицата от обратното е равно на матрицата на идентичността.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

По този начин уравнението ще има решение, когато B - I е обратим.

Алтернатива: г) B - I е обратим, където I е матрицата за идентичност от порядъка n.

6) Енем - 2012

Един ученик записва двумесечните оценки на някои от предметите си в таблица. Той отбеляза, че числовите записи в таблицата образуват матрица 4х4 и че може да изчисли средните годишни стойности за тези дисциплини, като използва произведението на матриците. Всички тестове имаха еднакво тегло и таблицата, която той получи, е показана по-долу

За да получи тези средни стойности, той умножи матрицата, получена от таблицата, по

Вижте Отговор

Средната аритметична стойност се изчислява чрез добавяне на всички стойности и разделяне на броя на стойностите.

По този начин ученикът трябва да добави оценките на 4-те биместра и да раздели резултата на 4 или да умножи всяка оценка по 1/4 и да добави всички резултати.

Използвайки матрици, можем да постигнем същия резултат, като направим умножение на матрици.

Трябва обаче да помним, че е възможно да се умножават две матрици само когато броят на колоните в едната е равен на броя на редовете в другата.

Тъй като матрицата на бележките има 4 колони, матрицата, която ще умножаваме, трябва да има 4 реда. По този начин трябва да умножим по матрицата на колоната:

Алтернатива: и

7) Фувест - 2012

Помислете за матрицата , на какво The е реално число. Знаейки, че A допуска обратна A^-1 чиято първа колона е , сумата от елементите на главния диагонал на A^-1 това е същото като

а) 5
б) 6
в) 7
г) 8
д) 9

Вижте Отговор

Умножаването на матрица по нейната обратна стойност е равно на матрицата на идентичността, така че можем да представим ситуацията чрез следната операция:

Решавайки умножението на втория ред на първата матрица по първата колона на втората матрица, имаме следното уравнение:

(до 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2-ри² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2-ри² - 4-ти = 0
2-ро (а - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Замествайки стойността на a в матрицата, имаме:

Сега, след като познаваме матрицата, нека изчислим нейния детерминант:

Така сумата от главния диагонал ще бъде равна на 5.

Алтернатива: а) 5

За да научите повече, вижте също:

• Матрици
• Определители
• Правило на Сарус
• Теорема на Лаплас
• Транспонирана матрица