Плоската площ на фигурата представлява степента на удължаване на фигурата в равнината. Като плоски фигури можем да споменем триъгълника, правоъгълника, ромба, трапеца, кръга и др.
Използвайте въпросите по-долу, за да проверите знанията си по този важен предмет на геометрията.
Разрешени проблеми с конкурса
Въпрос 1
(Cefet / MG - 2016) Квадратната площ на даден обект трябва да бъде разделена на четири равни части, също квадратни, и, в един от тях трябва да се поддържа местен горски резерват (излюпена площ), както е показано на фигура а последвам.
Знаейки, че B е средната точка на сегмент AE и C е средната точка на сегмент EF, излюпената площ, в m2, дай ми
а) 625,0.
б) 925,5.
в) 1562,5.
г) 2500,0.
Правилна алтернатива: в) 1562.5.
Наблюдавайки фигурата, забелязваме, че излюпената площ съответства на площта на квадрата със страна 50 m минус площта на триъгълниците BEC и CFD.
Измерването на страна BE, на триъгълник BEC, е равно на 25 m, тъй като точка B разделя страната на два конгруентни сегмента (средна точка на сегмента).
Същото се случва и със страни EC и CF, т.е. техните измервания също са равни на 25 m, тъй като точка C е средната точка на сегмента EF.
По този начин можем да изчислим площта на триъгълниците BEC и CFD. Разглеждайки две страни, известни като основа, другата страна ще бъде равна на височината, тъй като триъгълниците са правоъгълници.
Изчислявайки площта на квадрата и триъгълниците BEC и CFD, имаме:
Следователно, излюпената площ, в m2, измерва 1562,5.
въпрос 2
(Cefet / RJ - 2017) Квадрат със страна x и равностранен триъгълник със страна y имат области със същата мярка. По този начин може да се каже, че съотношението x / y е равно на:
Правилна алтернатива: .
Информацията, дадена в проблема, е, че областите са еднакви, тоест:
Площта на триъгълника се намира чрез умножаване на основното измерване по измерването на височината и разделяне на резултата по 2. Тъй като триъгълникът е равностранен и страната е равна на y, стойността на височината му се дава от:
Следователно може да се каже, че съотношението x / y е равно на .
въпрос 3
(IFSP - 2016) Публичен квадрат във формата на кръг има радиус 18 метра. В светлината на горното, маркирайте алтернативата, която представя вашия район.
а) 1017,36 m2
б) 1 254,98 m2
в) 1 589,77 m2
г) 1 698,44 m2
д) 1710,34 m2
Правилна алтернатива: а) 1 017, 36 m2.
За да намерим площта на квадрата, трябва да използваме формулата за площта на кръга:
A = π.R2
Замествайки стойността на радиуса и разглеждайки π = 3.14, намираме:
A = 3.14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
Следователно квадратната площ е 1 017, 36 m2.
въпрос 4
(МСФО - 2016) Правоъгълникът има размери x и y, които се изразяват чрез уравненията x2 = 12 и (y - 1)2 = 3.
Периметърът и площта на този правоъгълник са съответно
а) 6√3 + 2 и 2 + 6√3
б) 6√3 и 1 + 2√3
в) 6√3 + 2 и 12
г) 6 и 2√3
д) 6√3 + 2 и 2√3 + 6
Правилна алтернатива: д) 6√3 + 2 и 2√3 + 6.
Първо нека решим уравненията, за да намерим стойностите на x и y:
х2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Периметърът на правоъгълника ще бъде равен на сумата от всички страни:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
За да намерите площта, просто умножете x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Следователно периметърът и площта на правоъгълника са съответно 6√3 + 2 и 2√3 + 6.
въпрос 5
(Apprentice Sailor - 2016) Анализирайте следната фигура:
Знаейки, че EP е радиусът на централния полукръг в E, както е показано на фигурата по-горе, определете стойността на най-тъмната зона и проверете правилната опция. Данни: число π = 3
а) 10 см2
б) 12 см2
в) 18 см2
г) 10 см2
д) 24 см2
Правилна алтернатива: б) 12 см2.
Най-тъмната област се открива чрез добавяне на площта на полукръжността към площта на триъгълника ABD. Нека започнем с изчисляване на площта на триъгълника, за това имайте предвид, че триъгълникът е правоъгълник.
Нека извикаме AD страницата на x и да изчислим нейната мярка, използвайки теоремата на Питагор, както е показано по-долу:
52= х2 + 32
х2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Познавайки страничната мярка на AD, можем да изчислим площта на триъгълника:
Все още трябва да изчислим площта на полукръжността. Имайте предвид, че радиусът му ще бъде равен на половината от измерването от страната на AD, така че r = 2 cm. Площта на полукръг ще бъде равна на:
Най-тъмната зона ще бъде намерена чрез: AT = 6 + 6 = 12 см2
Следователно стойността на най-тъмната площ е 12 cm2.
въпрос 6
(Enem - 2016) Мъж, баща на две деца, иска да купи два парцела земя с площи със същата мярка, по един за всяко дете. Една от посетените земи вече е демаркирана и макар да няма конвенционален формат (както е показано на фигура Б), тя зарадва първородния син и следователно беше закупена. Най-малкият син има архитектурен проект за къща, която иска да построи, но за това има нужда на терен с правоъгълна форма (както е показано на фигура А), чиято дължина е 7 м по-дълга от ширина.
За да задоволи най-малкия син, този господин трябва да намери правоъгълно парче земя, чиито размери в метри, дължина и ширина са съответно равни на
а) 7,5 и 14,5
б) 9,0 и 16,0
в) 9.3 и 16.3
г) 10,0 и 17,0
д) 13,5 и 20,5
Правилна алтернатива: б) 9.0 и 16.0.
Тъй като площта на фигура A е равна на площта на фигура B, нека първо изчислим тази площ. За това нека разделим фигура Б, както е показано по-долу:
Имайте предвид, че когато разделяме фигурата, имаме два правоъгълни триъгълника. Следователно площта от фигура В ще бъде равна на сумата от площите на тези триъгълници. Изчислявайки тези области, имаме:
Тъй като фигура А е правоъгълник, нейната площ се намира, като се направи:
НАНА = х. (x + 7) = x2 + 7x
Приравнявайки площта на фигура А с намерената стойност за площта на фигура Б, намираме:
х2 + 7x = 144
х2 + 7x - 144 = 0
Нека решим уравнението на 2-ра степен, използвайки формулата на Bhaskara:
Тъй като мярката не може да бъде отрицателна, нека просто разгледаме стойността, равна на 9. Следователно ширината на сушата на фигура А ще бъде равна на 9 м, а дължината ще бъде равна на 16 м (9 + 7).
Следователно измерванията на дължината и ширината трябва да бъдат равни съответно на 9,0 и 16,0.
въпрос 7
(Enem - 2015) Компанията за мобилни телефони разполага с две антени, които ще бъдат заменени с нова, по-мощна. Зоните на покритие на антените, които ще бъдат заменени, са кръгове с радиус 2 km, чиято обиколка е допирателна до точка O, както е показано на фигурата.
Точка O показва позицията на новата антена, а нейната зона на покритие ще бъде кръг, чиято обиколка ще допира външно обиколките на по-малките зони на покритие. С инсталирането на новата антена измерването на площта на покритие в квадратни километри беше разширено с
а) 8 π
б) 12 π
в) 16 π
г) 32 π
д) 64 π
Правилна алтернатива: а) 8 π.
Увеличението на измерването на зоната на покритие ще бъде намерено чрез намаляване на площите на по-малките кръгове на по-големия кръг (позовавайки се на новата антена).
Тъй като обиколката на новия регион на покритие докосва външно по-малките обиколки, радиусът му ще бъде равен на 4 км, както е показано на фигурата по-долу:
Нека изчислим площите A1 и2 от по-малките кръгове и площ А3 от по-големия кръг:
НА1 = A2 = 22. π = 4 π
НА3 = 42.π = 16 π
Измерването на увеличената площ ще бъде намерено чрез:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Следователно, с инсталирането на новата антена, мярката на площта на покритие, в квадратни километри, беше увеличена с 8 π.
въпрос 8
(Enem - 2015) Диаграма I показва конфигурацията на баскетболно игрище. Сивите трапеци, наречени карбои, съответстват на зони с ограничен достъп.
С цел постигане на съответствие с насоките на Централния комитет на Международната федерация по баскетбол (Fiba) през 2010 г., които унифицираха маркировката на различните сплави е предвидена модификация в карбоните на кортите, които ще станат правоъгълници, както е показано в схемата II.
След извършване на планираните промени, имаше промяна в площта, заета от всеки въглен, което съответства на a (a)
а) увеличение от 5800 cm2.
б) 75 400 см увеличение2.
в) увеличение от 214 600 cm2.
г) намаление от 63 800 cm2.
д) намаление от 272 600 cm2.
Правилна алтернатива: а) увеличение с 5800 cm².
За да разберем каква е била промяната в заетата зона, нека изчислим площта преди и след промяната.
При изчисляването на схема I ще използваме формулата за площта на трапеца. На диаграма II ще използваме формулата за площта на правоъгълника.
Тогава промяната на площта ще бъде:
A = AII - ААз
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Следователно, след извършване на планираните модификации, имаше промяна в площта, заета от всеки въглен, което съответства на увеличение от 5800 cm².
Предложени упражнения (с резолюция)
въпрос 9
Ана реши да построи правоъгълен басейн в къщата си с размери 8 м основа с височина 5 м. Навсякъде около него, оформен като трапец, беше изпълнен с трева.
Знаейки, че височината на трапеца е 11 м, а основите му са 20 м и 14 м, каква е площта на частта, която е била запълнена с трева?
а) 294 m2
б) 153 m2
в) 147 m2
г) 216 m2
Правилна алтернатива: в) 147 m2.
Тъй като правоъгълникът, който представлява басейна, се вмъква вътре в по-голяма фигура, трапецът, нека започнем с изчисляване на площта на външната фигура.
Площта на трапеца се изчислява по формулата:
Където,
B е мярката на най-голямата основа;
b е мярката на най-малката основа;
h е височината.
Замествайки данните от изявлението във формулата, имаме:
Сега, нека изчислим площта на правоъгълника. За това просто трябва да умножим основата по височината.
За да намерим площта, покрита с трева, трябва да извадим пространството, заемано от басейна, от зоната на трапеца.
Следователно площта, запълнена с трева, е била 147 m2.
Вижте също: Зона трапец
въпрос 10
За да обнови покрива на склада си, Карлос реши да купи колониални керемиди. Използвайки този тип покрив, са необходими 20 броя за всеки квадратен метър покрив.
Ако покривът на мястото е оформен от две правоъгълни плочи, както на фигурата по-горе, колко керемиди трябва да купи Карлос?
а) 12000 плочки
б) 16000 плочки
в) 18000 плочки
г) 9600 плочки
Правилна алтернатива: б) 16000 плочки.
Покривът на склада е направен от две правоъгълни плочи. Следователно трябва да изчислим площта на правоъгълник и да го умножим по 2.
Следователно общата площ на покрива е 800 m.2. Ако всеки квадратен метър се нуждае от 20 плочки, използвайки просто правило от три, ние изчисляваме колко плочки запълват покрива на всеки склад.
Следователно ще е необходимо да закупите 16 хиляди плочки.
Вижте също: Площ на правоъгълник
въпрос 11
Марсия би искала две еднакви дървени вази, за да украсят входа на къщата си. Тъй като можеше да купи само една от любимите си, тя реши да наеме майстор на шкаф, за да построи друга ваза със същите размери. Вазата трябва да има четири страни в равнобедрена трапецовидна форма, а основата е квадрат.
Без да се взема предвид дебелината на дървото, колко квадратни метра дърво ще са необходими за възпроизвеждане на парчето?
а) 0,2131 m2
б) 0,1311 m2
в) 0,2113 m2
г) 0,3121 m2
Правилна алтернатива: г) 0,3121 m2.
Равнобедрен трапец е типът, който има равни страни и основи с различен размер. От изображението имаме следните измервания на трапеца от всяка страна на съда:
По-малка основа (b): 19 см;
По-голяма основа (B): 27 см;
Височина (h): 30 cm.
Със стойностите в ръка изчисляваме площта на трапеца:
Тъй като съдът е оформен от четири трапеца, трябва да умножим намерената площ по четири.
Сега трябва да изчислим основата на вазата, която е оформена от 19 см квадрат.
Като добавим изчислените площи, стигаме до общата площ на дървесината, която ще бъде използвана за изграждане.
Въпреки това, площта трябва да бъде представена в квадратни метри.
Следователно, без да се взема предвид дебелината на дървесината, бяха необходими 0,3121 m2 от материал за производство на вазата.
Вижте също: Квадратна площ
въпрос 12
За да се улесни изчисляването на броя на хората, които участват в публични събития, обикновено се счита, че един квадратен метър е зает от четирима души.
За да отпразнува годишнината на даден град, градското правителство нае група, която да свири на площада, разположен в центъра, който е с площ от 4000 м2. Знаейки, че площадът е препълнен, приблизително колко души присъстваха на събитието?
а) 16 хиляди души.
б) 32 хиляди души.
в) 12 хиляди души.
г) 40 хиляди души.
Правилна алтернатива: а) 16 хиляди души.
Квадратът има четири равни страни и площта му се изчислява по формулата: A = L x L.
ако в 1 m2 той е зает от четирима души, така че 4 пъти общата площ на площада ни дава приблизителна оценка на хората, които са присъствали на събитието.
По този начин 16 хиляди души участваха в събитието, популяризирано от кметството.
За да научите повече, вижте също:
- Плоски фигури
- Геометрични фигури
- Теорема на Питагор - Упражнения
