Разстояние между две точки

Разстоянието между две точки е мярката на отсечката от линията, която ги свързва.

Можем да изчислим тази мярка, използвайки аналитична геометрия.

Разстояние между две точки в самолета

В равнината точка е напълно определена, познавайки подредена двойка (x, y), свързана с нея.

За да знаем разстоянието между две точки, първоначално ще ги представим в декартовата равнина и след това ще изчислим това разстояние.

Примери:

1) Какво е разстоянието между точка A (1.1) и точка B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Какво е разстоянието между точка A (4.1) и точка B (1,3)?

Обърнете внимание, че разстоянието между точка A и точка B е равно на хипотенузата на правоъгълния триъгълник с катети 2 и 3.

Така че, ние ще използваме Питагорова теорема за изчисляване на разстоянието между дадените точки.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Формула на разстоянието между две точки в равнината

За да намерим формулата за разстоянието, можем да обобщим изчислението, направено в пример 2.

За всякакви две точки, като A (x₁уу₁) и B (x₂у₂), ние имаме:

За да научите повече, прочетете също:

• равнинна геометрия
• Декартов план
• прав

Разстояние между две точки в пространството

Използваме триизмерна координатна система за представяне на точки в пространството.

Точка е напълно определена в пространството, когато има подредена тройка (x, y, z), свързана с нея.

За да намерим разстоянието между две точки в пространството, първоначално можем да ги представим в координатната система и оттам да извършим изчисленията.

Пример:

Какво е разстоянието между точка A (3,1,0) и точка B (1,2,0)?

В този пример виждаме, че точки A и B принадлежат на равнината xy.

Разстоянието ще бъде дадено от:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Формула на разстоянието между две точки в пространството

За да научите повече, прочетете също:

• Пространствена геометрия
• Линейно уравнение
• Математически формули

Решени упражнения

1) Точка A принадлежи на оста на абсцисата (оста x) и е на еднакво разстояние от точки B (3.2) и C (-3.4). Какви са координатите на точка А?

Вижте Отговор

Тъй като точка A принадлежи на оста на абсцисата, тогава нейната координата е (a, 0). Така че трябва да намерим стойността на a.

(0 - 3)² + (до - 2)² = (0 + 3)² + (до -4)²
9 + до² - 4a +4 = 9 + a² - 8-ми + 16-ти
4-ти = 12
a = 3
(3.0) са координатите на точка А.

2) Разстоянието от точка A (3, a) до точка B (0.2) е равно на 3. Изчислете стойността на ординатите a.

Вижте Отговор

3² = (0 - 3)² + (2 - а)²
9 = 9 + 4 - 4а + а²
The² - 4-ти +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

През последните години телевизията претърпя истинска революция по отношение на качеството на изображението, звука и интерактивността със зрителя. Тази трансформация се дължи на преобразуването на аналоговия сигнал в цифров сигнал. Въпреки това много градове все още нямат тази нова технология. В стремежа си да донесе тези предимства на три града, една телевизия възнамерява да изгради нова предавателна кула, която изпраща сигнал към антени A, B и C, които вече съществуват в тези градове. Местоположенията на антените са представени в декартовата равнина:

Кулата трябва да бъде разположена на равно разстояние от трите антени. Подходящото място за изграждане на тази кула съответства на координатната точка

а) (65; 35)
б) (53; 30)
в) (45; 35)
г) (50; 20)
д) (50; 30)

Вижте Отговор

Правилна алтернатива e: (50; 30)

Вижте също: разстояние между две точки упражнения

4) ENEM - 2011

Квартал на град беше планиран в равен район, с паралелни и перпендикулярни улици, ограничаващи блокове със същия размер. В следващата декартова координатна равнина този квартал се намира във втория квадрант, а разстоянията във
осите са дадени в километри.

Правата линия на уравнение y = x + 4 представлява планирането на маршрута на подземната линия на метрото, която ще пресича квартала и други райони на града.
В точка P = (-5,5) се намира държавна болница. Общността поиска от комитета за планиране да планира станция на метрото, така че разстоянието му до болницата, измерено по права линия, да не бъде повече от 5 км.
В отговор на искането на общността, комисията правилно аргументира, че това автоматично ще бъде изпълнено, тъй като изграждането на станция в пункта вече беше предвидено.

а) (-5,0)
б) (-3,1)
в) (-2,1)
г) (0,4)
д) (2.6)

Вижте Отговор

Правилна алтернатива b: (-3.1).

Вижте също: упражнения по аналитична геометрия