ตรีโกณมิติ เป็นคำที่มาจากภาษากรีกซึ่งหมายถึงการวัดสามมุม การศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้เน้นที่ สามเหลี่ยมซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านและส่งผลให้มีมุมสามมุม ตอนแรก ตรีโกณมิติ มันเกี่ยวข้องกับการศึกษาคุณสมบัติและความสัมพันธ์บางอย่างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อเชื่อมโยงการวัดด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับการวัดมุมในภายหลัง
คุณสมบัติและความสัมพันธ์เหล่านี้ขยายไปสู่รูปสามเหลี่ยมใดๆ ผ่านทฤษฎีบทที่เรียกว่า กฎหมายบาป และ กฎโคไซน์. ต่อมา ผลลัพธ์บางส่วนจะถูกสังเกตในรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นส่วนเด่นของวงกลม ซึ่งเรียกว่า "วงกลมตรีโกณมิติ"
THE ตรีโกณมิติ เสนอความแปลกใหม่ที่ยอดเยี่ยม ก่อนหน้านี้ เป็นเพียงการพิจารณาการคำนวณและคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับด้านเดียวหรือเฉพาะมุมของสามเหลี่ยมหรือความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างองค์ประกอบเหล่านี้เท่านั้น เมื่อมาถึง จะเชื่อมโยงการวัดด้านข้างของสามเหลี่ยมกับการวัดมุมด้านหนึ่งได้โดยตรง เป็นที่น่าสังเกตว่าความสัมพันธ์ระหว่างด้านที่โดดเด่นและส่วนต่างๆ ภายในรูปสามเหลี่ยมยังประกอบเป็น ตรีโกณมิติ.
ก่อนที่จะเจาะลึกแนวคิดของ ตรีโกณมิติ, สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าอะไรคือองค์ประกอบที่สำคัญที่สุดในสามเหลี่ยมมุมฉาก องค์ประกอบเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ด้านล่าง:
องค์ประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉาก
สามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสองรูป ดังแสดงในรูปด้านล่าง โดยลากตามความสูง "h" ที่สัมพันธ์กับฐาน "a"
ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากนี้สร้างมุม 90° สองมุมพร้อมฐาน
พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABD สี่เหลี่ยมใน B สังเกตองค์ประกอบต่อไปนี้:
1 – ด้าน AB และ BD เรียกว่าด้านและการวัดของพวกมันคือ c และ b ตามลำดับ
2 – ด้าน AD เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และการวัดของมันคือ a ด้านนี้จะตรงข้ามกับมุม 90° เสมอ
3 – BE คือความสูงของสามเหลี่ยม ABD ที่สัมพันธ์กับฐาน AD และการวัดของมันคือ h (โดยจำไว้ว่าความสูงจะสร้างมุม 90° โดยที่ฐานสัมพันธ์กับมันเสมอ)
4 – AE คือการฉายภาพมุมฉากของขา AB เหนือด้านตรงข้ามมุมฉาก ขนาดของมันคือ m;
5 – ED คือการฉายภาพมุมฉากของขา BD เหนือด้านตรงข้ามมุมฉาก การวัดของมันคือ n.
ต่อไป เราจะนำเสนอและอภิปรายคุณสมบัติบางอย่างที่เห็นในตรีโกณมิติ โดยพิจารณาจากองค์ประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉากที่แสดงด้านบน
ความสัมพันธ์ของเมตริกในสามเหลี่ยมมุมฉาก
คือความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับด้าน ความสูง และการฉายภาพมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก:
1) ค2 = เฉลี่ย
2) b·c = a·h
3) h2 =m·n
4) ข2 = ไม่
5)2 = ข2 + ค2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
อัตราส่วนตรีโกณมิติหรืออัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สัมพันธ์อัตราส่วนระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกับมุมแหลมมุมหนึ่งของมัน ในการทำเช่นนั้น จำเป็นต้องแก้ไขมุมหนึ่งในสองมุมและสังเกตคำจำกัดความของด้านตรงข้ามและด้านประชิดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:
สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมผืนผ้า เน้นมุม α
BD คือ ขาตรงข้าม ถึงมุม α;
AB คือ ขาข้างเคียง ถึงมุม α
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
เหล่านี้เป็นข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการกำหนดd อัตราส่วนตรีโกณมิติ. ที่พวกเขา:
→ ไซน์ของ α
บาป α = Cathetus ตรงข้ามα
ด้านตรงข้ามมุมฉาก
→ โคไซน์ของ α
cos α = Catheto ที่อยู่ติดกับ α
ด้านตรงข้ามมุมฉาก
→ แทนเจนต์ของ α
tg α = Cathetus ตรงข้ามα
Catheto ที่อยู่ติดกับ α
เหตุผลเหล่านี้ใช้ได้กับทุกกรณี สามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมแหลมเท่ากับ α ผลลัพธ์ของการหารเหล่านี้จะเหมือนกันเสมอโดยไม่คำนึงถึงความยาวของด้านของสามเหลี่ยม เนื่องจากสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมเท่ากันสองมุม เนื่องจาก รูปสามเหลี่ยม มุม-มุม มีด้านที่เป็นสัดส่วน ดังนั้นอัตราส่วนระหว่างด้านจึงเท่ากัน
วงกลมตรีโกณมิติ
เรียกอีกอย่างว่าวงกลมตรีโกณมิติหรือวงกลมตรีโกณมิติ (ชื่อที่ถูกต้องมากกว่าแต่ใช้น้อยกว่า) เป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 บนเส้นรอบวงนี้ a สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมุม α เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด ดังนั้นความสูงของสามเหลี่ยมนี้จะเปลี่ยนจากแกน abscissa ไปยังขอบของวงกลม
ความสูงนี้ตรงกับค่าของ ไซน์เพราะมันเป็นด้านตรงข้ามกับมุม α การวัดที่ไปจากจุดที่ความสูงมาบรรจบกับแกนของ abscissa ถึงจุดกำเนิดนั้นตรงกับด้านที่อยู่ติดกับมุม α นั่นคือ ด้วยค่าของ โคไซน์.
ความบังเอิญเหล่านี้เกิดขึ้นเพราะด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น 1 เสมอ เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลม สังเกตคุณสมบัติเหล่านี้ในภาพด้านล่าง:
วงกลมรัศมี 1 ซึ่งวางสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อประเมินคุณสมบัติของมัน
ไม่ว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างขึ้นบนวงกลมนั้นจะเป็นด้านที่ตรงกับส่วนใด ของแกน abscissa วัดค่าโคไซน์ของ α อย่างแม่นยำ และอีกด้านหนึ่ง วัดค่าไซน์ของ α.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การใช้วงกลมตรีโกณมิติ เป็นไปได้ที่จะกำหนด ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่เชื่อมโยงแต่ละองค์ประกอบของเซตของจำนวนจริงกับองค์ประกอบเดี่ยวของเซตของจำนวนจริงด้วย อย่างไรก็ตาม ตัวเลขเหล่านี้แสดงเป็นเรเดียน ซึ่งเป็นหน่วยวัดเป็นฟังก์ชันของ π ที่ใช้เพราะหลังจาก 360° ใน วงกลมตรีโกณมิติ, การนับองศาและด้วยเหตุนี้ โดเมนและองค์ประกอบที่ขัดแย้งกันของฟังก์ชันโดยอิงจากค่านี้สามารถเริ่มต้นใหม่ได้จากศูนย์
ความสัมพันธ์พื้นฐาน
ความสัมพันธ์พื้นฐานของตรีโกณมิติคือ:
1) ความสัมพันธ์ขั้นพื้นฐาน 1
เซน2α + cos2α = 1
2) แทนเจนต์ของ α
tg α = บาปα
cos α
3) โคแทนเจนต์ของ αซึ่งเป็นค่าผกผันของแทนเจนต์ของ α
cotg α = cos α
บาปα
4) ซีแคนต์ของ αซึ่งเป็นค่าผกผันของโคไซน์ของ α
วินาที α = 1
cos α
5) Cossecant ของ α ซึ่งเป็นค่าผกผันของไซน์ของ α
คอสเซก α = 1
บาปα
6) ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น 1
tg2α + 1 = วินาที2α
7) ความสัมพันธ์ 2
cotg2α + 1 = คอสเซก2α
8) ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ 3
cotg α = 1
tg α
โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ซิลวา, ลุยซ์ เปาโล โมเรร่า. "ตรีโกณมิติคืออะไร"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm. เข้าถึงเมื่อ 27 มิถุนายน 2021.
ฟังก์ชัน, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, แทนเจนต์, โคไซน์, ไซน์, โคซีแคนต์, โคแทนเจนต์, อาร์ค, มุม, ค่าของ อาร์ค ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ความสัมพันธ์ อนุพันธ์
เรเดียน, มุม, องศา, วงกลม, ส่วนโค้ง, ส่วนโค้งของวงกลม, การแปลงจากดีกรีเป็นเรเดียน, คำจำกัดความ ของเรเดียน, การวัดมุม, การวัดส่วนโค้ง, ความยาวเส้นรอบวงเป็นเรเดียน, ความยาวของ เส้นรอบวง.
