สมการ: มันคืออะไร แนวคิดพื้นฐาน ประเภท ตัวอย่าง

หนึ่ง สมการ เป็นประโยคทางคณิตศาสตร์ที่มีความเท่าเทียมกันและไม่ทราบอย่างน้อยหนึ่งประโยค นั่นคือ เมื่อเรามีส่วนร่วมของ นิพจน์พีชคณิตและความเท่าเทียมกัน. การศึกษาสมการต้องอาศัยความรู้ก่อน เช่น การศึกษา นิพจน์ตัวเลข. จุดประสงค์ของสมการคือ หาค่าที่ไม่รู้จัก ที่เปลี่ยนความเท่าเทียมให้กลายเป็นเอกลักษณ์ นั่นคือ ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

อ่านด้วย:การดำเนินการกับเศษส่วน – วิธีการคำนวณ?

แนวคิดพื้นฐานสำหรับการศึกษาสมการ

สมการคือประโยคทางคณิตศาสตร์ที่มี a ไม่รู้จักอย่างน้อย และ a ความเท่าเทียมกัน และเราสามารถจัดอันดับได้ด้วยจำนวนที่ไม่รู้จัก ดูตัวอย่างบางส่วน:

ก) 5t – 9 = 16

สมการไม่มีชื่อซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร t.

ข) 5x + 6y = 1

สมการมีสองสิ่งที่ไม่รู้จัก แทนด้วยตัวอักษร x และ ย.

ค) t⁴ – 8z = x

สมการมีสามสิ่งที่ไม่รู้ แทนด้วยตัวอักษร ตกลง,z และ x.

ไม่ว่าสมการใดเราต้องคำนึงถึง takeของคุณ ชุดจักรวาล,ประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เราสามารถกำหนดให้กับสิ่งที่ไม่รู้จักได้ชุดนี้เป็นตัวแทนของตัวอักษร ยู.

• ตัวอย่าง 1

พิจารณาสมการ x + 1 = 0 และคำตอบที่เป็นไปได้ x = –1 ตอนนี้ให้พิจารณาว่าเซตจักรวาลของสมการคือ ธรรมชาติ.

โปรดทราบว่าคำตอบที่คาดคะเนไม่ได้อยู่ในเซตของจักรวาล เนื่องจากองค์ประกอบของมันเป็นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ค่าที่ไม่รู้จักสามารถรับได้ ดังนั้น x = –1 จึงไม่ใช่คำตอบของสมการ

แน่นอนว่ายิ่งไม่ทราบจำนวนที่ไม่รู้จักมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งยากที่จะระบุวิธีแก้ปัญหาของคุณ THE สารละลาย หรือ แหล่งที่มา ของสมการคือชุดของค่าทั้งหมดที่เมื่อกำหนดให้กับสิ่งที่ไม่รู้จักทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

• ตัวอย่าง 2

พิจารณาสมการที่มีค่าไม่ทราบค่า 5x – 9 = 16 ตรวจสอบว่า x = 5 เป็นคำตอบหรือรากของสมการ

จนสามารถพูดได้ว่า x = 5 คือคำตอบของสมการ เราต้องแทนที่ค่านั้นในนิพจน์ หากเราพบความเท่าเทียมกันจริง ตัวเลขจะเป็นคำตอบที่ทดสอบแล้ว

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

เห็นว่าความเสมอภาคที่พบมีจริง เราจึงมีตัวตน และเลข 5 เป็นตัวแก้ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าชุดโซลูชันนั้นกำหนดโดย:

ส = {5}

• ตัวอย่างที่ 3

พิจารณาสมการ t² = 4 และตรวจสอบว่า t = 2 หรือ t = –2 เป็นคำตอบของสมการ

ในทำนองเดียวกัน เราควรแทนค่า t ลงในสมการ อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าเรามีค่าไม่ทราบสองค่า ดังนั้น เราควรดำเนินการตรวจสอบในสองขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 – สำหรับ t = 2

t²= 4

2² = 4

4 = 4

ขั้นตอนที่ 2 – สำหรับ t = –2

t² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

ดูสำหรับ t = 2 และ t = – 2 เราพบเอกลักษณ์ ดังนั้นค่าทั้งสองนี้เป็นคำตอบของสมการ ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าชุดโซลูชันคือ:

S = {2, –2}

ประเภทสมการ

เราสามารถจำแนกสมการตามตำแหน่งของนิรนามได้ ดูประเภทหลัก:

• สมการพหุนาม

ที่ สมการพหุนาม มีลักษณะเป็นพหุนามเท่ากับศูนย์ ดูตัวอย่างบางส่วน:

ก) 6t³+ 5t²–5เสื้อ = 0

ตัวเลข6, 5 และ –5 คือสัมประสิทธิ์ของสมการ

ข) 9x – 9= 0

ตัวเลข 9 และ – 9 คือสัมประสิทธิ์ของสมการ

ค) y²– y – 1 = 0

ตัวเลข 1, – 1 และ – 1 คือสัมประสิทธิ์ของสมการ

• องศาสมการ

สมการพหุนามสามารถจำแนกได้ตามระดับ เช่นเดียวกับ พหุนาม, ระดับของสมการพหุนามถูกกำหนดโดย is กำลังสูงสุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์.

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ a, b และ c เรามีองศาของสมการดังนี้:

ก) 6t³ + 5t² –5t = 0 → สมการพหุนามของ ระดับที่สาม

ข) 9x – 9 = 0 → สมการพหุนามของ ปริญญาแรก

ค) y² – y – 1 = 0 → สมการพหุนามของ มัธยม

อ่านด้วยนะ: สมการกำลังสองu: วิธีการคำนวณ ประเภท ตัวอย่าง

• สมการตรรกยะ

สมการตรรกยะมีลักษณะเฉพาะโดยมี สิ่งที่ไม่รู้จักในตัวส่วนของ a เศษส่วน. ดูตัวอย่างบางส่วน:

อ่านด้วยนะ: จำนวนตรรกยะคืออะไร?

• สมการอตรรกยะ

ที่ สมการอตรรกยะ มีลักษณะเฉพาะด้วยการมีของพวกเขา นิรนามภายในรูทที่ nนั่นคือภายในเครื่องหมายกรณฑ์ที่มีดัชนี n ดูตัวอย่างบางส่วน:

• สมการเลขชี้กำลัง

ที่ สมการเลขชี้กำลัง มี ไม่ทราบอยู่ในเลขชี้กำลัง ของ ความแรง. ดูตัวอย่างบางส่วน:

• สมการลอการิทึม

ที่ สมการลอการิทึม มีลักษณะเด่นคือมี สิ่งที่ไม่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งอย่างในบางส่วนของ ลอการิทึม. เราจะเห็นว่าเมื่อใช้คำจำกัดความของลอการิทึม สมการจะอยู่ในกรณีก่อนหน้าบางกรณี ดูตัวอย่างบางส่วน:

ดูด้วย: สมการดีกรีแรกกับค่าที่ไม่ทราบ

จะแก้สมการได้อย่างไร?

ในการแก้สมการเราต้องศึกษา study วิธีการที่ใช้ในแต่ละประเภทนั่นคือ สำหรับสมการแต่ละประเภท จะมีวิธีการที่แตกต่างกันในการกำหนดรากที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม วิธีการทั้งหมดเหล่านี้คือ มาจากหลักการสมมูลโดยสามารถแก้สมการประเภทหลักได้

• หลักการเทียบเท่า

หลักการประการที่สองของความเท่าเทียมกัน เราสามารถดำเนินการด้านใดด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกันได้อย่างอิสระตราบเท่าที่เราทำเช่นเดียวกันในอีกด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกัน เพื่อปรับปรุงความเข้าใจ เราจะตั้งชื่อด้านเหล่านี้

ดังนั้น หลักการสมมูลจึงระบุว่าเป็นไปได้ ทำงานบนแขนขาแรก ได้อย่างอิสระตราบเท่าที่ การดำเนินการเดียวกันจะทำกับสมาชิกคนที่สอง.

ในการตรวจสอบหลักการสมมูล ให้พิจารณาความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

5 = 5

ไปกันเถอะ เพื่อเพิ่ม ทั้งสองข้างมีเลข 7 และสังเกตว่าความเท่าเทียมกันยังคงเป็นจริง:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

ไปกันเถอะ ลบ 10 ทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน โปรดสังเกตว่า ความเสมอภาคยังคงเป็นจริง:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

เห็นว่าเราทำได้ คูณ หรือ แบ่งปัน และยกให้เป็น ความแรง หรือแม้แต่สกัด a แหล่งที่มาตราบใดที่ดำเนินการกับสมาชิกที่หนึ่งและที่สอง ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงเสมอ

ในการแก้สมการต้องใช้หลักการนี้ร่วมกับความรู้ของการดำเนินการดังกล่าว เพื่ออำนวยความสะดวกในการพัฒนาสมการ ให้ข้ามการดำเนินการที่ทำกับสมาชิกตัวแรก เท่ากับว่าเรากำลังส่งเลขไปให้สมาชิกอีกคนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

แนวคิดในการหาคำตอบของสมการอยู่เสมอ is แยกสิ่งที่ไม่รู้จักโดยใช้หลักการสมมูล, ดู:

• ตัวอย่างที่ 4

ใช้หลักการสมมูล หาเซตคำตอบของสมการ 2x – 4 = 8 โดยรู้ว่าเซตจักรวาลกำหนดโดย: U = ℝ

2x - 4 = 8

ในการแก้สมการพหุนามของดีกรีแรก เราต้องปล่อยให้ค่าที่ไม่รู้จักในสมาชิกตัวแรกแยกตัวออกมา สำหรับสิ่งนี้ เราจะนำตัวเลข -4 จากสมาชิกตัวแรกมาบวก 4 ทั้งสองข้าง เนื่องจาก –4 + 4 = 0

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

โปรดทราบว่าการดำเนินการตามขั้นตอนนี้เทียบเท่ากับการส่งหมายเลข 4 ที่มีเครื่องหมายตรงข้าม ในการแยก x ที่ไม่รู้จัก ลองส่งต่อเลข 2 ไปยังตัวที่สอง เพราะมันคือการคูณ x (โปรดจำไว้ว่า: การดำเนินการผกผันของการคูณคือการหาร) มันจะเหมือนกับหารทั้งสองข้างด้วย 2

ดังนั้นชุดโซลูชันจึงถูกกำหนดโดย:

ส = {6}

• ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ2^x+5 = 128 รู้ว่าชุดจักรวาลถูกกำหนดโดย U = ℝ

ในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ขั้นแรกให้ใช้ค่าต่อไปนี้ คุณสมบัติศักยภาพenti:

^{ม + น} = the^ม · แ^ไม่

เราจะใช้ความจริงที่ว่า 2² = 4 และ 2⁵ = 32.

2^x+5 = 128

2^x · 2⁵ = 128

2^x · 32 = 128

โปรดทราบว่ามันเป็นไปได้ที่จะหารทั้งสองข้างด้วย 32 นั่นคือส่งหมายเลข 32 ให้กับสมาชิกคนที่สองโดยการหาร

ดังนั้นเราต้อง:

2^x = 4

2^x = 2²

ค่าเดียวของ x ที่ตรงกับความเท่าเทียมกันคือตัวเลข 2 ดังนั้น x = 2 และชุดของคำตอบจะได้มาจาก:

ส = {2}

สมการมีอยู่ในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 – พิจารณาเอกภพเซต U = ℕ และหาคำตอบของสมการอตรรกยะต่อไปนี้:

ความละเอียด

ในการแก้สมการนี้ เราต้องคำนึงถึงการกำจัดรากของสมาชิกตัวแรก โปรดทราบว่าสำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องยกระดับสมาชิกตัวแรกให้เป็นดัชนีเดียวกันกับรูท นั่นคือ ไปที่คิวบ์ โดยหลักการของความเท่าเทียมกัน เรายังต้องเพิ่มสมาชิกที่สองของความเท่าเทียมกัน

สังเกตว่าตอนนี้เราต้องแก้สมการพหุนามของดีกรีที่สอง ส่งเลข 11 ให้ตัวที่สอง (ลบ 11 ทั้งสองข้างของความเท่ากัน) เพื่อแยก x ที่ไม่รู้จัก

x² = 27 – 11

x² = 16

ทีนี้มากำหนดค่าของ x ดูว่ามีสองค่าที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันคือ x’ = 4 หรือ x’’ = –4, ครั้งเดียว:

4² = 16

และ

(–4)² = 16

อย่างไรก็ตาม ให้สังเกตในคำแถลงของคำถามที่ว่าเซตจักรวาลที่กำหนดเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ และเลข –4 ไม่ได้อยู่ในนั้น ดังนั้น เซตของคำตอบถูกกำหนดโดย

ส = {4}

คำถาม2 – พิจารณาสมการพหุนาม x² + 1 = 0 รู้ว่าชุดจักรวาลถูกกำหนดโดย U = ℝ

ความละเอียด

สำหรับหลักการสมมูล ให้ลบ 1 ออกจากสมาชิกทั้งสอง

x² + 1 – 1= 0 – 1

x² = – 1

โปรดทราบว่าความเท่าเทียมกันไม่มีคำตอบ เนื่องจากเซตจักรวาลเป็นจำนวนจริง นั่นคือ. ทั้งหมด ค่าที่ความไม่รู้สามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นของจริง และไม่มีจำนวนจริงที่เมื่อยกกำลังสองแล้ว เท่ากับ เชิงลบ

1² = 1

และ

(–1)² = 1

ดังนั้น สมการจึงไม่มีคำตอบในเซตของจำนวนจริง และเราสามารถพูดได้ว่าเซตของคำตอบนั้นว่างเปล่า

ส = {}

โดย Robson Luiz
ครูคณิต