Polyhedra: มันคืออะไรองค์ประกอบคุณสมบัติ

รูปทรงหลายเหลี่ยม (จากภาษาละติน โพลี — มากมาย — และ เฮดรอน — ใบหน้า) เป็น ตัวเลขสามมิติ เกิดขึ้นจากการรวมตัวของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งมุมหลายเหลี่ยมมีความสอดคล้องกันทั้งหมด การรวมกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ก่อให้เกิดองค์ประกอบที่ประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม ได้แก่: จุดยอด, ขอบ และ ใบหน้า. อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกรูปสามมิติที่เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น รูปที่มีใบหน้าโค้งเรียกว่า ตัวกลม.

มีสูตรทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรียกว่า ความสัมพันธ์ของออยเลอร์. นอกจากนี้ รูปทรงหลายเหลี่ยมยังแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรียกว่า นูน และ ไม่นูน. รูปทรงหลายเหลี่ยมบางตัวสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษเรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมของเพลโต: จัตุรมุข, รูปหกเหลี่ยม, แปดด้าน, สิบสองหน้า และ icosahedron.

อ่านด้วย: ความแตกต่างระหว่างตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

รูปทรงหลายเหลี่ยมจะนูนเมื่อสร้างโดย รูปหลายเหลี่ยม นูน เพื่อให้ยอมรับเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. สองรูปหลายเหลี่ยม ไม่เคย พวกมันเป็นระนาบเดียวกันนั่นคือพวกมันไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน
2. แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีรูปหลายเหลี่ยมเพียงสองรูปเท่านั้น
3. ระนาบที่มีรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้รูปใดรูปหนึ่งจะทิ้งรูปหลายเหลี่ยมอื่นไว้ในพื้นที่ครึ่งหนึ่งเดียวกัน

อ่านด้วย:ผลรวมของมุมภายในและภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน

องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนนี้:

คุณ รูปสี่เหลี่ยม ในรูปเรียกว่า ใบหน้า ของรูปทรงหลายเหลี่ยม

คุณ รูปห้าเหลี่ยม คือ หน้าและฐานของทรงหลายหน้าชื่อว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมฐานห้าเหลี่ยม

ส่วนที่ประกอบเป็นใบหน้าแต่ละส่วนเรียกว่า ขอบ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม

จุดที่ขอบมาบรรจบกันเรียกว่า จุดยอด.

ส่วนเส้น JC จะถูกเรียกว่า เส้นทแยงมุม ของรูปทรงหลายเหลี่ยม แสดงโดย:

JC เป็นหนึ่งในเส้นทแยงมุมเราเข้าใจ เส้นทแยงมุม ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นอยู่ ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดสองจุดที่ไม่ใช่ใบหน้าเดียวกัน.

นอกจากนี้เรายังมีมุมรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นระหว่างขอบซึ่งแสดงโดย:

มุมหลายหน้าเรียกว่า a ไตรภาค เมื่อไหร่ สาม ขอบมาจากจุดยอด เรียกอีกอย่างว่า จัตุรมุข กรณี สี่ ขอบเกิดจากจุดยอดเป็นต้น

จากนี้ไป เราจะสร้างสัญกรณ์บางอย่าง พวกเขาคือ:

เรียนรู้เพิ่มเติม: การวางแผนของแข็งเรขาคณิต

คุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

• ทรัพย์สิน 1

ผลรวมของขอบของใบหน้าทั้งหมดเท่ากับสองเท่าของจำนวนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ตัวอย่าง

รูปทรงหลายเหลี่ยมมี 6 เหลี่ยม มากำหนดจำนวนขอบกัน

ตามคุณสมบัตินี้ แค่คูณจำนวนขอบของใบหน้าด้วยจำนวนใบหน้า และนี่จะเท่ากับสองเท่าของจำนวนขอบ ดังนั้น:

• ทรัพย์สิน2

ผลรวมของจุดยอดของใบหน้าทั้งหมด เท่ากับผลรวมของขอบของใบหน้าทั้งหมด ซึ่งเท่ากับสองเท่าของจำนวนขอบ

ตัวอย่าง

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีมุมจัตุรมุข 5 มุม และมุมหกเหลี่ยม 4 มุม มากำหนดจำนวนขอบกัน

คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ คุณสมบัติที่สองกล่าวว่าผลรวมของขอบของใบหน้าทั้งหมดเท่ากับสองเท่าของจำนวนขอบ จำนวนขอบถูกกำหนดโดยผลคูณของ 5 คูณ 4 และ 4 คูณ 6 เนื่องจากเป็นมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 เหลี่ยมและมุมหกเหลี่ยม 4 เหลี่ยม ดังนั้น:

เว้า (ไม่นูน) รูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมไม่นูนหรือเว้าเมื่อเราเอาจุดสองจุดบนใบหน้าและทางตรง r ที่มีจุดเหล่านี้ไม่ได้มีอยู่ในรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด

โปรดทราบว่าเส้นตรง (สีน้ำเงิน) ไม่สมบูรณ์ในรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยม (สีชมพู) จึงเว้าหรือไม่นูน

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

เราว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นปกติเมื่อ ใบหน้าของคุณเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ เท่ากันและมีมุมหลายหน้าเหมือนกันหมด

ดูตัวอย่างบางส่วน:

สังเกตว่าใบหน้าทั้งหมดของคุณเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ใบหน้าของมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและขอบทั้งหมดเท่ากันนั่นคือมีขนาดเท่ากัน

อ่านยัง: รูปหลายเหลี่ยมปกติและรูปหลายเหลี่ยมนูนคืออะไร

ความสัมพันธ์ของออยเลอร์

ยังเป็นที่รู้จักกันในนาม ทฤษฎีบทออยเลอร์ ผลลัพธ์ได้รับการพิสูจน์โดย Leonhard Euler (1707 - 1783) และรับประกันว่าใน รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปิดทั้งหมด ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกต้อง:

รูปทรงหลายเหลี่ยมของเพลโต

รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ เรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมของเพลโต:

1. ความสัมพันธ์ออยเลอร์ถูกต้อง

2. ใบหน้าทั้งหมดมีจำนวนขอบเท่ากัน

3. มุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีจำนวนขอบเท่ากัน

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีเพียงห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและรูปทรงนูนหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมของเพลโต พวกมันคือ:

• จัตุรมุขปกติ

จัตุรมุขมี 4 ใบหน้ารูปสามเหลี่ยม สอดคล้องและ 4 มุมสามเหลี่ยม สอดคล้อง

• ทรงหกเหลี่ยมปกติ

ทรงหกเหลี่ยมมี 6 เหลี่ยม หน้า สอดคล้องและ 8 มุมสามเหลี่ยม สอดคล้อง

• ทรงแปดด้านปกติ

ทรงแปดด้านมี 8 หน้าสามเหลี่ยม สอดคล้องและ 6 มุมจัตุรมุข สอดคล้อง

• สิบสองหน้าปกติ

สิบสองหน้ามี 12 ใบหน้าห้าเหลี่ยม สอดคล้องและ 20 มุมไตรภาค สอดคล้อง

• icosahedron ปกติ

icosahedron มี 20 หน้าสามเหลี่ยม สอดคล้องและ 12 มุมห้าเหลี่ยม สอดคล้อง

แก้ไขแบบฝึกหัด

1) (ศัตรู) อัญมณีถูกตัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน 32 หน้า โดย 20 อันเป็นรูปหกเหลี่ยมและที่เหลือเป็นรูปห้าเหลี่ยม อัญมณีชิ้นนี้จะเป็นของขวัญสำหรับผู้หญิงที่กำลังฉลองวันเกิดของเธอ โดยมีอายุครบตามจำนวนที่มีจำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ ผู้หญิงคนนี้กำลังจะเสร็จสิ้น:

ก) 90 ปี

ข) อายุ 72 ปี

ค) อายุ 60 ปี

ง) อายุ 56 ปี

จ) อายุ 52 ปี

สารละลาย:

ให้ ทรัพย์สิน 1 ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรารู้ว่า:

ตอนนี้ยังไง เรารู้จำนวนขอบ มันเป็น จำนวนใบหน้า เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ออยเลอร์ได้

เนื่องจากอายุที่คุณเรียนจบนั้นเท่ากับจำนวนจุดยอด ดังนั้นนี่คือ 60 ปี ทางเลือก ค.

2) (PUC-SP) รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีใบหน้ารูปสามเหลี่ยมมีขอบกี่ขอบ โดยที่จำนวนจุดยอดเป็นสามในห้าของจำนวนใบหน้า

ก) 60

ข) 30

ค) 25

ง) 20

จ) 15

สารละลาย:

จากคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนและคำสั่งฝึกหัด เรามี:

แทนค่าเหล่านี้ในความสัมพันธ์ออยเลอร์ เรามีดังต่อไปนี้:

การจัดระเบียบสมการก่อนหน้าและแก้สมการใน F ได้ดังนี้:

แทนค่าจำนวนใบหน้าที่พบในสมการขอบ จะได้:

ทางเลือก b

โดย Robson Luiz
ครูคณิต