ความเข้าใจของ ชุด เป็นพื้นฐานหลักในการศึกษา พีชคณิต และแนวคิดที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ เช่น ฟังก์ชั่น และความไม่เท่าเทียมกัน สัญกรณ์ที่เราใช้สำหรับเซตมักจะเป็นตัวพิมพ์ใหญ่จากตัวอักษรของเราเสมอ (เช่น ชุด A หรือชุด B)
ในแง่ของ การแสดงชุด, ทำได้โดย แผนภาพเวนน์โดยเพียงแค่อธิบายลักษณะขององค์ประกอบ โดยการแจงนับองค์ประกอบ หรือโดยการอธิบายคุณสมบัติขององค์ประกอบ เมื่อทำงานกับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเซต มีสถานการณ์ที่ต้องการประสิทธิภาพของ performance การดำเนินการระหว่างเซตทั้งที่เป็นสหภาพ ทางแยก และความแตกต่าง เราจะศึกษารายละเอียดทั้งหมดนี้หรือไม่?
ดูด้วย: นิพจน์ตัวเลข – เรียนรู้ที่จะแก้มัน!
สัญกรณ์และการแสดงชุด
สำหรับการแทนเซต เราใช้ a always เสมอ ตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรและองค์ประกอบอยู่ระหว่าง .เสมอ กุญแจ และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เพื่อแสดงชุดของจำนวนคู่ที่มากกว่า 1 และน้อยกว่า 20 ตัวอย่างเช่น เราใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}
รูปแบบของการแสดงชุด
การแสดงโดยการแจงนับ: เราสามารถแจกแจงองค์ประกอบ นั่นคือ ทำรายการ ระหว่างวงเล็บปีกกาเสมอ ดูตัวอย่าง:
เอ = {1,5,9,12,14,20}
อธิบายคุณสมบัติ
: เราสามารถอธิบายลักษณะเฉพาะของชุดได้ ตัวอย่างเช่น ให้ X เป็นเซต เรามีว่า X = {x เป็นจำนวนบวกหลายเท่าของ 5}; Y: คือเซตของเดือนของปีเวนไดอะแกรม: ชุดยังสามารถแสดงในรูปแบบของไดอะแกรมที่เรียกว่า a แผนภาพเวนน์ซึ่งเป็นตัวแทนที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการดำเนินการ
ตัวอย่าง:
ให้เซต A = {1,2,3,4,5} เราสามารถแสดงมันในแผนภาพเวนน์ต่อไปนี้:
![แผนภาพชุด A](/f/15137e7b1c1296ab76a0183cc401d1f5.jpg)
องค์ประกอบของชุดและความสัมพันธ์ของสมาชิก
ให้ธาตุใด ๆ เราสามารถพูดได้ว่าธาตุ เป็นของ ไปที่ชุดหรือ ไม่เป็น ไปที่ชุดนั้น เพื่อแสดงความสัมพันธ์ของสมาชิกภาพได้เร็วขึ้น เราใช้สัญลักษณ์(อ่านว่าเป็นเจ้าของ) และ ∉ (อ่านว่าไม่เกี่ยวข้อง) ตัวอย่างเช่น ให้ P เป็นเซตของ เลขคู่, เราสามารถพูดได้ว่า 7 ∉ P และ 12. นั้น
ป.
ความเท่าเทียมกันของเซต
การเปรียบเทียบระหว่างเซตเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าสองเซตเท่ากันหรือไม่ โดยตรวจสอบแต่ละองค์ประกอบของมัน ให้ A = { 0,1,3,4,8} และ B = { 8,4,3,1,0} แม้ว่าองค์ประกอบจะอยู่ในลำดับที่ต่างกัน เราสามารถพูดได้ว่าเซต A และ B เท่ากัน: เอ = บี
รวมความสัมพันธ์
เมื่อเปรียบเทียบสองชุด เราสามารถพบความสัมพันธ์หลายชุด และหนึ่งในนั้นคือความสัมพันธ์แบบรวม สำหรับความสัมพันธ์นี้ เราจำเป็นต้องรู้สัญลักษณ์บางอย่าง:
⊃ → ประกอบด้วย ⊂→ มีอยู่
⊅ → ไม่มี ⊄→ไม่มีอยู่
เคล็ดลับ: ด้านเปิดของสัญลักษณ์จะหันไปทางชุดที่ใหญ่กว่าเสมอ |
เมื่อองค์ประกอบทั้งหมดของเซต A เป็นของเซต B เราบอกว่า A ⊂ B หรือที่ A มีอยู่ใน B ตัวอย่างเช่น A={1,2,3} และ B={1,2,3,4,5,6} นอกจากนี้ยังสามารถดำเนินการแทนโดย แผนภาพเวนน์, ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้:
A มีอยู่ใน B:
![](/f/f8a639550f9785dd949af56dbed2eecb.jpg)
เอ ⊂ บี
เซตย่อย
เมื่อ รวมความสัมพันธ์นั่นคือ เซต A อยู่ในเซต B เราสามารถพูดได้ว่า A เป็นสับเซตของ B เซตย่อยยังคงเป็นเซต และ a ชุดสามารถมีได้หลายชุดย่อยสร้างขึ้นจากองค์ประกอบที่เป็นของมัน
ตัวอย่างเช่น: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} มีเซตย่อยเป็นเซต B: {1,2,3}; ค: {1,3,5,7}; D: {1} และแม้แต่เซต A {1,2,3,4,5,6,7,8} นั่นคือ A เป็นสับเซตของตัวเอง
ชุดรวม
ตามชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าชุดนั้น มีธาตุเดียวเช่นเดียวกับชุด D:{1} ที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ จากเซต B: {1,2,3} เรามีเซตย่อย {1}, {2} และ {3} ซึ่งเป็นเซ็ตยูนิตทั้งหมด
ความสนใจ: ชุด E: {0} ยังเป็นชุดรวม เนื่องจากมีองค์ประกอบเดียว "0" และไม่ใช่ชุดว่าง
อ่านด้วย: ชุดจำนวนเต็ม - องค์ประกอบและลักษณะ
ชุดเปล่า
ด้วยชื่อที่ชี้นำมากยิ่งขึ้น ชุดว่างจึงไม่มีองค์ประกอบและเป็นเซตย่อยของชุดใดๆ ในการแทนเซตว่าง มีสองรูปแบบที่เป็นไปได้ คือ V: { } หรือสัญลักษณ์ Ø
ชุดอะไหล่
เรารู้ในฐานะเซตของชิ้นส่วน เซตย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซตที่กำหนด ให้ A: {1,2,3,4} เราสามารถแสดงรายการย่อยทั้งหมดของเซตนี้ A โดยเริ่มจากเซตที่ ไม่มีองค์ประกอบ (ว่าง) แล้วมีองค์ประกอบหนึ่งสองสามและสี่ ตามลำดับ
ชุดเปล่า: { };
ชุดหน่วย: {1}; {2};{3}; {4}.
ชุดที่มีสององค์ประกอบ: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
ชุดที่มีสามองค์ประกอบ: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
ตั้งด้วยสี่องค์ประกอบ: {1,2,3,4}.
ดังนั้น เราสามารถอธิบายเซตของส่วนของ A ได้ดังนี้:
ป: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 } {3,4} {1,2,3} {1,3,4} {1,2,4} {2,3,4} {1,2,3,4} }
เพื่อหาจำนวนส่วนที่สามารถแบ่งเซตได้ เราใช้สูตร:
n[P(A)] = 2ไม่
จำนวนส่วนของ A คำนวณโดย a ความแรง ฐาน 2 ยกเป็น ไม่, เกี่ยวกับอะไร ไม่ คือจำนวนองค์ประกอบในชุด
พิจารณาเซต A: {1,2,3,4} ซึ่งมีสี่องค์ประกอบ ผลรวมของเซตย่อยที่เป็นไปได้ของเซตนี้คือ 24 =16.
อ่านด้วย: เซตของจำนวนอตรรกยะคืออะไร?
ชุดไฟไนต์และอนันต์
เมื่อทำงานกับเซต เราจะพบเซตที่ จำกัด (จำกัด) และผู้ที่เป็น ไม่จำกัด (อนันต์). ชุดของ เลขคู่หรือคี่ตัวอย่างเช่น ไม่มีที่สิ้นสุด และเพื่อแสดงถึงองค์ประกอบนั้น เราอธิบายองค์ประกอบบางอย่างตามลำดับ เพื่อให้สามารถคาดเดาได้ว่าองค์ประกอบต่อไปจะเป็นอย่างไร และเราใส่วงรีลงใน สุดท้าย.
ฉัน: {1,3,5,7,9,11...}
ป: {2,4,6,8,10, ...}
อย่างไรก็ตาม ในชุดจำกัด เราจะไม่ใส่จุดไข่ปลาที่จุดสิ้นสุด เนื่องจากมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่กำหนดไว้
ตอบ: {1,2,3,4}
ชุดจักรวาล
โอ ชุดจักรวาล, แสดงโดย ยูถูกกำหนดให้เป็นเซตที่เกิดจากองค์ประกอบทั้งหมดที่ต้องพิจารณาในปัญหา ทุกองค์ประกอบเป็นของชุดจักรวาลและทุกชุดมีอยู่ในชุดจักรวาล
การดำเนินการกับชุด
การดำเนินการกับเซต ได้แก่ ยูเนี่ยน ทางแยก และส่วนต่าง
จุดตัดของเซต
![ทางแยกเป็นหนึ่งในการดำเนินการระหว่างเซต](/f/58d6ed967d1e3807199e5cff6dace1e2.jpg)
ทางแยกเกิดขึ้นเมื่อองค์ประกอบอยู่ในหนึ่งชุดขึ้นไปพร้อม ๆ กัน เมื่อเขียน A∩B เรากำลังมองหาองค์ประกอบที่เป็นของทั้งชุด A และชุด B
ตัวอย่าง:
พิจารณา A= {1,2,3,4,5,6} และ B = {2,4,6,7,8} องค์ประกอบที่เป็นของทั้งชุด A และชุด B คือ: A∩B = { 2 ,4,6}. การแสดงการดำเนินการนี้ทำได้ดังนี้:
![](/f/26f3169a332741d1b74a8ac83b66b668.jpg)
อาบี
เมื่อเซตไม่มีองค์ประกอบร่วมกันจะเรียกว่า ชุดไม่ปะติดปะต่อ
![การเป็นตัวแทนของชุดที่ไม่ปะติดปะต่อ](/f/c9fd1127bb35dba2abc9f21cafc5a5be.jpg)
A∩B = Ø
ความแตกต่างระหว่างเซต
![ความแตกต่างระหว่างเซต (A - B)](/f/ea4bfaee50a7d723f33efd1b052ab5d7.jpg)
คำนวณ ความแตกต่างระหว่างสองชุด คือการมองหาองค์ประกอบที่เป็นของหนึ่งในสองชุดเท่านั้น ตัวอย่างเช่น A – B มีคำตอบเป็นชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของชุด A และไม่ได้อยู่ในชุด B
ตัวอย่าง: A: {1,2,3,4,5,6} และ B: {2,4,6,7,8} โปรดทราบว่า A ∩ B ={2,4,6} เราจึงมี:
ก) A - B = { 1,3,5 }
ข) B – A = {7,8}
ความสามัคคี
การรวมกันของสองชุดขึ้นไปคือ เข้าร่วมเงื่อนไขของคุณ. หากมีองค์ประกอบที่ซ้ำกันในทั้งสองชุด พวกเขาจะถูกเขียนเพียงครั้งเดียว ตัวอย่างเช่น: A={1,2,3,4,5} และ B={4,5,6,7,10,14} เพื่อเป็นตัวแทนของสหภาพ เราใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่า: สหภาพกับ B)
UB = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการดำเนินการเหล่านี้และดูแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้หลายข้อ โปรดอ่าน: การดำเนินการกับชุด.
กฎของมอร์แกน
ให้ A และ B เป็นเซตสองเซต และให้ U เป็นเซตเอกภพ มีคุณสมบัติสองประการที่กำหนดโดยกฎของมอร์แกน ได้แก่
(เอ ยู บี)ค = เอค ∩Bค
(เอ ∩ ข)ค = เอค ยู บีค
ตัวอย่าง:
รับชุด:
ยู: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
ตอบ: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
ข: {5.10,15,20}
มาดูกันว่า (A U B)ค = เอค ∩Bค. ดังนั้น เราต้อง:
UB = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
ดังนั้น (A U B)ค={1,3,7,9,11,13,17,19}
เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน มาวิเคราะห์การดำเนินการ Aค ∩Bค:
THEค:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
บีค:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
จากนั้น THEค ∩Bค ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(เอ ยู บี)ค = เอค ∩Bค
แก้ไขแบบฝึกหัด
01) พิจารณา U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} และ B: {4,5,6, 7,8,9}. แสดงว่า (A ∩ B)ค = เอค ยู บีค.
ความละเอียด:
ก้าวแรก: หา (A ∩ B)ค. สำหรับสิ่งนั้น เรามีว่า A ∩ B = {4,5,6} ดังนั้น (A ∩ B)ค ={1,2,3,7,8,9,10}.
ขั้นตอนที่ 2: หา Aค ยู บีค. THEค:{7,8,9,10} และ Bค:{1,2,3,10} ดังนั้น Aค ยู บีค = {1,2,3,7,8,9,19}.
แสดงว่า (A ∩ B)ค = เอค ยู บีค.
02) เมื่อรู้ว่า A เป็นเซตของจำนวนคู่ตั้งแต่ 1 ถึง 20 แล้ว เราสามารถสร้างชุดย่อยทั้งหมดจากองค์ประกอบของเซตนั้นได้จำนวนเท่าใด
ความละเอียด:
ให้ P เป็นเซตที่อธิบายไว้ เรามีว่า P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} ดังนั้นจำนวนขององค์ประกอบของ P คือ 10
ตามทฤษฎีเซตของชิ้นส่วน จำนวนเซตย่อยที่เป็นไปได้ของ P คือ:
210=1024
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์