ชุด: สัญกรณ์ วิธีการแสดง การดำเนินการ

ความเข้าใจของ ชุด เป็นพื้นฐานหลักในการศึกษา พีชคณิต และแนวคิดที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ เช่น ฟังก์ชั่น และความไม่เท่าเทียมกัน สัญกรณ์ที่เราใช้สำหรับเซตมักจะเป็นตัวพิมพ์ใหญ่จากตัวอักษรของเราเสมอ (เช่น ชุด A หรือชุด B)

ในแง่ของ การแสดงชุด, ทำได้โดย แผนภาพเวนน์โดยเพียงแค่อธิบายลักษณะขององค์ประกอบ โดยการแจงนับองค์ประกอบ หรือโดยการอธิบายคุณสมบัติขององค์ประกอบ เมื่อทำงานกับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเซต มีสถานการณ์ที่ต้องการประสิทธิภาพของ performance การดำเนินการระหว่างเซตทั้งที่เป็นสหภาพ ทางแยก และความแตกต่าง เราจะศึกษารายละเอียดทั้งหมดนี้หรือไม่?

ดูด้วย: นิพจน์ตัวเลข – เรียนรู้ที่จะแก้มัน!

สัญกรณ์และการแสดงชุด

สำหรับการแทนเซต เราใช้ a always เสมอ ตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรและองค์ประกอบอยู่ระหว่าง .เสมอ กุญแจ และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เพื่อแสดงชุดของจำนวนคู่ที่มากกว่า 1 และน้อยกว่า 20 ตัวอย่างเช่น เราใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}

• รูปแบบของการแสดงชุด

1. การแสดงโดยการแจงนับ: เราสามารถแจกแจงองค์ประกอบ นั่นคือ ทำรายการ ระหว่างวงเล็บปีกกาเสมอ ดูตัวอย่าง:

เอ = {1,5,9,12,14,20}

1. อธิบายคุณสมบัติ

   : เราสามารถอธิบายลักษณะเฉพาะของชุดได้ ตัวอย่างเช่น ให้ X เป็นเซต เรามีว่า X = {x เป็นจำนวนบวกหลายเท่าของ 5}; Y: คือเซตของเดือนของปี

2. เวนไดอะแกรม: ชุดยังสามารถแสดงในรูปแบบของไดอะแกรมที่เรียกว่า a แผนภาพเวนน์ซึ่งเป็นตัวแทนที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการดำเนินการ

ตัวอย่าง:

ให้เซต A = {1,2,3,4,5} เราสามารถแสดงมันในแผนภาพเวนน์ต่อไปนี้:

แผนภาพชุด A

องค์ประกอบของชุดและความสัมพันธ์ของสมาชิก

ให้ธาตุใด ๆ เราสามารถพูดได้ว่าธาตุ เป็นของ ไปที่ชุดหรือ ไม่เป็น ไปที่ชุดนั้น เพื่อแสดงความสัมพันธ์ของสมาชิกภาพได้เร็วขึ้น เราใช้สัญลักษณ์(อ่านว่าเป็นเจ้าของ) และ ∉ (อ่านว่าไม่เกี่ยวข้อง) ตัวอย่างเช่น ให้ P เป็นเซตของ เลขคู่, เราสามารถพูดได้ว่า 7 ∉ P และ 12. นั้น  ป.

ความเท่าเทียมกันของเซต

การเปรียบเทียบระหว่างเซตเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าสองเซตเท่ากันหรือไม่ โดยตรวจสอบแต่ละองค์ประกอบของมัน ให้ A = { 0,1,3,4,8} และ B = { 8,4,3,1,0} แม้ว่าองค์ประกอบจะอยู่ในลำดับที่ต่างกัน เราสามารถพูดได้ว่าเซต A และ B เท่ากัน: เอ = บี

รวมความสัมพันธ์

เมื่อเปรียบเทียบสองชุด เราสามารถพบความสัมพันธ์หลายชุด และหนึ่งในนั้นคือความสัมพันธ์แบบรวม สำหรับความสัมพันธ์นี้ เราจำเป็นต้องรู้สัญลักษณ์บางอย่าง:

⊃ → ประกอบด้วย ⊂→ มีอยู่

⊅ → ไม่มี ⊄→ไม่มีอยู่

เคล็ดลับ: ด้านเปิดของสัญลักษณ์จะหันไปทางชุดที่ใหญ่กว่าเสมอ

เมื่อองค์ประกอบทั้งหมดของเซต A เป็นของเซต B เราบอกว่า A ⊂ B หรือที่ A มีอยู่ใน B ตัวอย่างเช่น A={1,2,3} และ B={1,2,3,4,5,6} นอกจากนี้ยังสามารถดำเนินการแทนโดย แผนภาพเวนน์, ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้:

• A มีอยู่ใน B:

เอ ⊂ บี

เซตย่อย

เมื่อ รวมความสัมพันธ์นั่นคือ เซต A อยู่ในเซต B เราสามารถพูดได้ว่า A เป็นสับเซตของ B เซตย่อยยังคงเป็นเซต และ a ชุดสามารถมีได้หลายชุดย่อยสร้างขึ้นจากองค์ประกอบที่เป็นของมัน

ตัวอย่างเช่น: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} มีเซตย่อยเป็นเซต B: {1,2,3}; ค: {1,3,5,7}; D: {1} และแม้แต่เซต A {1,2,3,4,5,6,7,8} นั่นคือ A เป็นสับเซตของตัวเอง

ชุดรวม

ตามชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าชุดนั้น มีธาตุเดียวเช่นเดียวกับชุด D:{1} ที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ จากเซต B: {1,2,3} เรามีเซตย่อย {1}, {2} และ {3} ซึ่งเป็นเซ็ตยูนิตทั้งหมด

ความสนใจ: ชุด E: {0} ยังเป็นชุดรวม เนื่องจากมีองค์ประกอบเดียว "0" และไม่ใช่ชุดว่าง

อ่านด้วย: ชุดจำนวนเต็ม - องค์ประกอบและลักษณะ

ชุดเปล่า

ด้วยชื่อที่ชี้นำมากยิ่งขึ้น ชุดว่างจึงไม่มีองค์ประกอบและเป็นเซตย่อยของชุดใดๆ ในการแทนเซตว่าง มีสองรูปแบบที่เป็นไปได้ คือ V: { } หรือสัญลักษณ์ Ø

ชุดอะไหล่

เรารู้ในฐานะเซตของชิ้นส่วน เซตย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซตที่กำหนด ให้ A: {1,2,3,4} เราสามารถแสดงรายการย่อยทั้งหมดของเซตนี้ A โดยเริ่มจากเซตที่ ไม่มีองค์ประกอบ (ว่าง) แล้วมีองค์ประกอบหนึ่งสองสามและสี่ ตามลำดับ

• ชุดเปล่า: { };

• ชุดหน่วย: {1}; {2};{3}; {4}.

• ชุดที่มีสององค์ประกอบ: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.

• ชุดที่มีสามองค์ประกอบ: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.

• ตั้งด้วยสี่องค์ประกอบ: {1,2,3,4}.

ดังนั้น เราสามารถอธิบายเซตของส่วนของ A ได้ดังนี้:

ป: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 } {3,4} {1,2,3} {1,3,4} {1,2,4} {2,3,4} {1,2,3,4} }

เพื่อหาจำนวนส่วนที่สามารถแบ่งเซตได้ เราใช้สูตร:

n[P(A)] = 2^ไม่

จำนวนส่วนของ A คำนวณโดย a ความแรง ฐาน 2 ยกเป็น ไม่, เกี่ยวกับอะไร ไม่ คือจำนวนองค์ประกอบในชุด

พิจารณาเซต A: {1,2,3,4} ซึ่งมีสี่องค์ประกอบ ผลรวมของเซตย่อยที่เป็นไปได้ของเซตนี้คือ 2⁴ =16.

อ่านด้วย: เซตของจำนวนอตรรกยะคืออะไร?

ชุดไฟไนต์และอนันต์

เมื่อทำงานกับเซต เราจะพบเซตที่ จำกัด (จำกัด) และผู้ที่เป็น ไม่จำกัด (อนันต์). ชุดของ เลขคู่หรือคี่ตัวอย่างเช่น ไม่มีที่สิ้นสุด และเพื่อแสดงถึงองค์ประกอบนั้น เราอธิบายองค์ประกอบบางอย่างตามลำดับ เพื่อให้สามารถคาดเดาได้ว่าองค์ประกอบต่อไปจะเป็นอย่างไร และเราใส่วงรีลงใน สุดท้าย.

ฉัน: {1,3,5,7,9,11...}

ป: {2,4,6,8,10, ...}

อย่างไรก็ตาม ในชุดจำกัด เราจะไม่ใส่จุดไข่ปลาที่จุดสิ้นสุด เนื่องจากมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่กำหนดไว้

ตอบ: {1,2,3,4}

ชุดจักรวาล

โอ ชุดจักรวาล, แสดงโดย ยูถูกกำหนดให้เป็นเซตที่เกิดจากองค์ประกอบทั้งหมดที่ต้องพิจารณาในปัญหา ทุกองค์ประกอบเป็นของชุดจักรวาลและทุกชุดมีอยู่ในชุดจักรวาล

การดำเนินการกับชุด

การดำเนินการกับเซต ได้แก่ ยูเนี่ยน ทางแยก และส่วนต่าง

• จุดตัดของเซต

ทางแยกเป็นหนึ่งในการดำเนินการระหว่างเซต

ทางแยกเกิดขึ้นเมื่อองค์ประกอบอยู่ในหนึ่งชุดขึ้นไปพร้อม ๆ กัน เมื่อเขียน A∩B เรากำลังมองหาองค์ประกอบที่เป็นของทั้งชุด A และชุด B

ตัวอย่าง:

พิจารณา A= {1,2,3,4,5,6} และ B = {2,4,6,7,8} องค์ประกอบที่เป็นของทั้งชุด A และชุด B คือ: A∩B = { 2 ,4,6}. การแสดงการดำเนินการนี้ทำได้ดังนี้:

­­ อาบี

เมื่อเซตไม่มีองค์ประกอบร่วมกันจะเรียกว่า ชุดไม่ปะติดปะต่อ

การเป็นตัวแทนของชุดที่ไม่ปะติดปะต่อ

A∩B = Ø

• ความแตกต่างระหว่างเซต

ความแตกต่างระหว่างเซต (A - B)

คำนวณ ความแตกต่างระหว่างสองชุด คือการมองหาองค์ประกอบที่เป็นของหนึ่งในสองชุดเท่านั้น ตัวอย่างเช่น A – B มีคำตอบเป็นชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของชุด A และไม่ได้อยู่ในชุด B

ตัวอย่าง: A: {1,2,3,4,5,6} และ B: {2,4,6,7,8} โปรดทราบว่า A ∩ B ={2,4,6} เราจึงมี:

ก) A - B = { 1,3,5 }

ข) B – A = {7,8}

• ความสามัคคี

การรวมกันของสองชุดขึ้นไปคือ เข้าร่วมเงื่อนไขของคุณ. หากมีองค์ประกอบที่ซ้ำกันในทั้งสองชุด พวกเขาจะถูกเขียนเพียงครั้งเดียว ตัวอย่างเช่น: A={1,2,3,4,5} และ B={4,5,6,7,10,14} เพื่อเป็นตัวแทนของสหภาพ เราใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่า: สหภาพกับ B)

UB = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการดำเนินการเหล่านี้และดูแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้หลายข้อ โปรดอ่าน: การดำเนินการกับชุด.

กฎของมอร์แกน

ให้ A และ B เป็นเซตสองเซต และให้ U เป็นเซตเอกภพ มีคุณสมบัติสองประการที่กำหนดโดยกฎของมอร์แกน ได้แก่

(เอ ยู บี)^ค = เอ^ค ∩B^ค

(เอ ∩ ข)^ค = เอ^ค ยู บี^ค

ตัวอย่าง:

รับชุด:

• ยู: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

• ตอบ: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

• ข: {5.10,15,20}

มาดูกันว่า (A U B)^ค = เอ^ค ∩B^ค. ดังนั้น เราต้อง:

UB = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

ดังนั้น (A U B)^ค={1,3,7,9,11,13,17,19}

เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน มาวิเคราะห์การดำเนินการ A^ค ∩B^ค:

THE^ค:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

บี^ค:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}

จากนั้น THE^ค ∩B^ค ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.

(เอ ยู บี)^ค = เอ^ค ∩B^ค

แก้ไขแบบฝึกหัด

01) พิจารณา U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} และ B: {4,5,6, 7,8,9}. แสดงว่า (A ∩ B)^ค = เอ^ค ยู บี^ค.

ความละเอียด:

• ก้าวแรก: หา (A ∩ B)^ค. สำหรับสิ่งนั้น เรามีว่า A ∩ B = {4,5,6} ดังนั้น (A ∩ B)^ค ={1,2,3,7,8,9,10}.

• ขั้นตอนที่ 2: หา A^ค ยู บี^ค. THE^ค:{7,8,9,10} และ B^ค:{1,2,3,10} ดังนั้น A^ค ยู บี^ค = {1,2,3,7,8,9,19}.

แสดงว่า (A ∩ B)^ค = เอ^ค ยู บี^ค.

02) เมื่อรู้ว่า A เป็นเซตของจำนวนคู่ตั้งแต่ 1 ถึง 20 แล้ว เราสามารถสร้างชุดย่อยทั้งหมดจากองค์ประกอบของเซตนั้นได้จำนวนเท่าใด

ความละเอียด:

ให้ P เป็นเซตที่อธิบายไว้ เรามีว่า P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} ดังนั้นจำนวนขององค์ประกอบของ P คือ 10

ตามทฤษฎีเซตของชิ้นส่วน จำนวนเซตย่อยที่เป็นไปได้ของ P คือ:

2¹⁰=1024

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์