เธ สำนักงานใหญ่ มักใช้สำหรับการจัดระเบียบข้อมูลแบบตารางเพื่ออำนวยความสะดวกในการแก้ไขปัญหา ข้อมูลเมทริกซ์ ไม่ว่าจะเป็นตัวเลขหรือไม่ก็ตาม ถูกจัดเรียงอย่างเป็นระเบียบในแถวและคอลัมน์
ชุดเมทริกซ์ที่ติดตั้งการดำเนินการของ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป, การลบ และ การคูณ และคุณสมบัติต่างๆ ที่เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางและผกผัน ทำให้เกิดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ ทำให้สามารถนำไปใช้ในด้านต่างๆ ได้ ของความรู้ขนาดใหญ่นี้
ดูด้วย: ความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์กับระบบเชิงเส้น
การแสดงเมทริกซ์
ก่อนเริ่มการศึกษาเกี่ยวกับเมทริกซ์ จำเป็นต้องสร้างสัญลักษณ์บางอย่างเกี่ยวกับการแทนค่าของพวกมัน ที่ เมทริกซ์มักใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่แทน (A, B, C…) ซึ่งมีดัชนีกำกับอยู่ด้วย โดยที่ ตัวเลขแรกระบุจำนวนแถวและวินาทีคือจำนวนคอลัมน์.
![](/f/47bbc3b683188daf3c2e524ace527177.jpg)
เธ จำนวนบรรทัด (แถวแนวนอน) และ คอลัมน์ (แถวแนวตั้ง) ของเมทริกซ์กำหนด ใบสั่ง. เมทริกซ์ A มีลำดับ m คูณ n ข้อมูลที่อยู่ในอาร์เรย์เรียกว่า องค์ประกอบ และจัดอยู่ในวงเล็บ วงเล็บเหลี่ยม หรือแท่งแนวตั้งสองแท่ง ดูตัวอย่าง:
![](/f/22070f9c0619dc312bd81c82e890340a.jpeg)
เมทริกซ์ A มีสองแถวและสามคอลัมน์ ดังนั้นลำดับของมันคือสองคูณสาม → A2x3.
เมทริกซ์ B มีหนึ่งแถวและสี่คอลัมน์ ดังนั้นลำดับของมันคือ หนึ่งต่อสี่ จึงเรียกว่า เส้นเมทริกซ์ → บี1x4.
เมทริกซ์ C มีสามแถวและหนึ่งคอลัมน์ จึงเรียกว่า เมทริกซ์คอลัมน์ และลำดับของมันคือสามต่อหนึ่ง → C3x1.
โดยทั่วไปเราสามารถแสดงองค์ประกอบของอาร์เรย์ นั่นคือ เราสามารถเขียนองค์ประกอบนี้โดยใช้การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ โอองค์ประกอบทั่วไปจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก (a, b, c…) และเช่นเดียวกับการแสดงอาร์เรย์ ก็ยังมีดัชนีที่ระบุตำแหน่งของมันด้วย ตัวเลขแรกระบุแถวที่มีองค์ประกอบ และหมายเลขที่สองระบุคอลัมน์ที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่
![](/f/f757d5a4e2dece631f9a81295e053469.jpg)
พิจารณาเมทริกซ์ A ต่อไปนี้ เราจะแสดงรายการองค์ประกอบ
![](/f/b8b526e3a3a0e0d466d38c7d46133c23.jpeg)
การสังเกตองค์ประกอบแรกที่อยู่ในแถวแรกและคอลัมน์แรก นั่นคือ ในแถวที่หนึ่งและคอลัมน์ที่หนึ่ง เรามีหมายเลข 4 เพื่อให้การเขียนง่ายขึ้น เราจะแสดงโดย:
ดิ11 → บรรทัดหนึ่งองค์ประกอบ คอลัมน์หนึ่ง
เรามีองค์ประกอบต่อไปนี้ของเมทริกซ์ A2x3:
ดิ11 = 4
ดิ12 =16
ดิ13 = 25
ดิ21 = 81
ดิ22 = 100
ดิ23 = 9
โดยทั่วไป เราสามารถเขียนอาร์เรย์เป็นฟังก์ชันขององค์ประกอบทั่วไปได้ นี่คือ เมทริกซ์ทั่วไป.
เมทริกซ์ของ m แถวและ n คอลัมน์แสดงโดย:
![](/f/f25217c20e404022d6f0d1c035a0f876.jpeg)
ตัวอย่าง
กำหนดเมทริกซ์ A = [aอิจ ]2x2, ซึ่งมีกฎหมายว่าด้วยการฝึกอบรมถึงอิจ = เจ2 – 2i. จากข้อมูลในข้อความสั่ง เรามีเมทริกซ์ A ที่เรียงลำดับสองต่อสอง นั่นคือ มันมีสองบรรทัดและสองคอลัมน์ ดังนั้น:
![](/f/1fed0a4737cfc30acc97a0435064738c.jpeg)
นอกจากนี้ ยังได้กำหนดกฎการสร้างเมทริกซ์ กล่าวคือ แต่ละองค์ประกอบมีความพึงพอใจกับความสัมพันธ์กับอิจ = เจ2 – 2i. แทนค่าของ i และ j ในสูตร เรามี:
ดิ11 = (1)2 - 2(1) = -1
ดิ12 = (2)2 - 2(1) = 2
ดิ21 = (1)2 - 2(2) = -3
ดิ22 = (2)2 - 2(2) = 0
ดังนั้นเมทริกซ์ A คือ:
![](/f/b8057ec2db13f744432d7e0e3678a418.jpeg)
ประเภทอาร์เรย์
เมทริกซ์บางตัวสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ ดูตอนนี้สิ ประเภทของอาร์เรย์ พร้อมตัวอย่าง
เมทริกซ์สี่เหลี่ยม
เมทริกซ์เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อ จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์. เราเป็นตัวแทนของเมทริกซ์ที่มี n แถวและ n คอลัมน์โดยAไม่ (อ่าน: เมทริกซ์กำลังสองของคำสั่ง n)
![](/f/e81c336c0524c1a52455e38c95d98f70.jpeg)
ในเมทริกซ์กำลังสอง เรามีสององค์ประกอบที่สำคัญมาก คือ เส้นทแยงมุม: หลักและรอง. เส้นทแยงมุมหลักเกิดจากธาตุที่มีดัชนีเท่ากัน กล่าวคือ เป็นธาตุทุกตัว aอิจ ด้วย i = j เส้นทแยงมุมรองเกิดจากองค์ประกอบ a isอิจ โดยที่ i + j = n +1 โดยที่ n คือลำดับเมทริกซ์
![](/f/af1ceb7a550253f2ad6956d5adee6a74.jpeg)
เมทริกซ์เอกลักษณ์
เอกลักษณ์เมทริกซ์คือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มี ทั้งหมดคุณองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ1 และ องค์ประกอบอื่น ๆ เท่ากับ 0, กฎการก่อตัวของมันคือ:
![](/f/4df9a45cc2634123e0e450f30229fd5d.jpeg)
เราแทนเมทริกซ์นี้ด้วย I โดยที่ n คือลำดับของเมทริกซ์กำลังสอง ดูตัวอย่างบางส่วน:
![](/f/c727e0b333eebc10b968b7da3767e05e.jpeg)
หน่วยเมทริกซ์
มันคือเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ 1 นั่นคือ มันมีแถวและคอลัมน์ ดังนั้น เพียงหนึ่งองค์ประกอบ.
เอ = [-1]1x1, B = ฉัน1 = (1)1x1 และ C = || 5||1x1
นี่คือตัวอย่างของเมทริกซ์รวม โดยเน้นเมทริกซ์ B ซึ่งก็คือ a เมทริกซ์เอกลักษณ์ของหน่วย.
เมทริกซ์โมฆะ
กล่าวกันว่าอาร์เรย์เป็นโมฆะหากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เราแทนเมทริกซ์โมฆะของคำสั่ง m คูณ n โดย Omxn.
![](/f/1297f6acb72db424d6b1437f08d14d11.jpeg)
เมทริกซ์ O เป็นโมฆะของคำสั่ง 4
เมทริกซ์ตรงข้าม
พิจารณาเมทริกซ์ที่มีลำดับเท่ากันสองเมทริกซ์: A = [aอิจ]mxn และ B = [bอิจ]mxn. เมทริกซ์เหล่านี้จะเรียกว่าตรงกันข้ามก็ต่อเมื่ออิจ = -bอิจ. ดังนั้น องค์ประกอบที่สอดคล้องกันจะต้อง ตัวเลขตรงข้าม.
เราสามารถแทนเมทริกซ์ B = -A
![](/f/3ece08c58ef916ba6a6ce00643a1d14a.jpeg)
ย้ายเมทริกซ์
สองเมทริกซ์ A = [aอิจ]mxn และ B = [bอิจ]nxm พวกเขาเป็น ขนย้าย ถ้าและเฉพาะในกรณีที่อิจ = ขจิ นั่นคือ เมื่อให้เมทริกซ์ A ในการหาทรานสโพส แค่หาเส้นตรงเป็นคอลัมน์
ทรานสโพสของเมทริกซ์ A แทนด้วย Aตู่. ดูตัวอย่าง:
![](/f/351aa12a803f3eaa5906fc3c825d659d.jpeg)
ดูเพิ่มเติม: เมทริกซ์ผกผัน: มันคืออะไรและจะตรวจสอบได้อย่างไร
การดำเนินงานเมทริกซ์
![การแสดงทั่วไปของเมทริกซ์ขนาด n x m](/f/398e84f23d483dc3ec6f3bf8a301eae4.jpg)
เซตของเมทริกซ์มีการดำเนินการของ aการบวกและการคูณที่กำหนดไว้อย่างดีนั่นคือ เมื่อใดก็ตามที่เราดำเนินการเมทริกซ์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ผลลัพธ์ของการดำเนินการยังคงเป็นของเซตของเมทริกซ์ อย่างไรก็ตาม สิ่งที่เกี่ยวกับการดำเนินการลบ? เราเข้าใจว่าการดำเนินการนี้เป็นการผกผันของการบวก (เมทริกซ์ตรงข้าม) ซึ่งกำหนดไว้เป็นอย่างดี
ก่อนกำหนดการดำเนินการ มาทำความเข้าใจแนวคิดของ กันก่อน องค์ประกอบที่สอดคล้องกัน และ ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์. องค์ประกอบที่สอดคล้องกันคือองค์ประกอบที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันในเมทริกซ์ที่ต่างกัน กล่าวคือ พวกมันอยู่ในแถวและคอลัมน์เดียวกัน เห็นได้ชัดว่าอาร์เรย์ต้องอยู่ในลำดับเดียวกันเพื่อให้องค์ประกอบที่ตรงกันมีอยู่ ดู:
![](/f/afd9b2c361994ac6060a194b7cd24b66.jpeg)
องค์ประกอบ 14 และ -14 เป็นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A และ B ตรงข้ามกัน เนื่องจากพวกมันอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน (แถวและคอลัมน์เดียวกัน)
เมทริกซ์สองตัวจะเรียกว่าเท่ากันก็ต่อเมื่อองค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่ากัน ดังนั้น เมื่อให้เมทริกซ์ A = [aอิจ]mxn และ B = [bอิจ]mxn, สิ่งเหล่านี้จะเหมือนกันก็ต่อเมื่อ,อิจ = ขอิจ สำหรับใด ๆ ฉันเจ
ตัวอย่าง
เมื่อรู้ว่าเมทริกซ์ A และ B เท่ากัน ให้กำหนดค่าของ x และ t
![](/f/d0b904e6982f502921ae95ea57c6c5a9.jpeg)
เนื่องจากเมทริกซ์ A และ B เท่ากัน ดังนั้นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันจึงต้องเท่ากัน ดังนั้น:
x = -1 และ t = 1
การบวกลบเมทริกซ์
การดำเนินงานของ การบวกและการลบระหว่างเมทริกซ์ มันค่อนข้างเข้าใจง่าย แต่ก่อนอื่นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ในการดำเนินการเหล่านี้ ก่อนอื่นจำเป็นต้องตรวจสอบว่า คำสั่งอาร์เรย์มีค่าเท่ากัน
เมื่อเงื่อนไขนี้ได้รับการยืนยัน การบวกและการลบของเมทริกซ์จะเกิดขึ้นโดยการเพิ่มหรือลบองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของเมทริกซ์ พิจารณาเมทริกซ์ A = [aอิจ]mxn และ B = [bอิจ]mxnแล้ว:
A + B = [aอิจ + ขอิจ] mxn
A - B = [aอิจ - บีอิจ] mxn
ตัวอย่าง
พิจารณาเมทริกซ์ A และ B ด้านล่าง หา A + B และ A – B
![](/f/801449f546f302f353d5eef852645cf0.jpeg)
อ่านด้วยนะ: การดำเนินการจำนวนเต็ม
การคูณจำนวนจริงด้วยเมทริกซ์
การคูณจำนวนจริงในเมทริกซ์ (เรียกอีกอย่างว่าการคูณเมทริกซ์) ด้วยสเกลาร์ ถูกกำหนดโดยการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์
ให้ A = [aอิจ]mxn เมทริกซ์และ t จำนวนจริง ดังนั้น:
t · A = [t · aอิจ]mxn
ดูตัวอย่าง:
![](/f/2658ff0088f76d0afb7b9e849de4978e.jpeg)
การคูณเมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์นั้นไม่สำคัญเท่ากับการบวกและการลบของเมทริกซ์ ก่อนทำการคูณ เงื่อนไขจะต้องเป็นไปตามลำดับของเมทริกซ์ด้วย พิจารณาเมทริกซ์ Amxn และ Bน.
เพื่อทำการคูณ จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกต้องเท่ากับจำนวนแถวในวินาที. เมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ (ซึ่งมาจากการคูณ) มีลำดับตามจำนวนแถวในคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง
![](/f/7cfd61d01fb91d478631baf9d34ea05c.jpg)
ในการคูณระหว่างเมทริกซ์ A และ B เราต้องคูณแต่ละแถวด้วยคอลัมน์ทั้งหมดดังนี้: องค์ประกอบแรก ของ A คูณด้วยองค์ประกอบแรกของ B แล้วบวกกับองค์ประกอบที่สองของ A และคูณด้วยองค์ประกอบที่สองของ B เป็นต้น ตามลำดับ ดูตัวอย่าง:
![](/f/0e09cd4f741e4adbb7d95e8b8f289e5c.jpeg)
อ่านด้วยนะ: Laplace's Theorem: รู้วิธีใช้และเมื่อไร
แบบฝึกหัดแก้ไข
คำถามที่ 1 - (ยู. และ. Londrina – PR) ให้เมทริกซ์ A และ B เป็น ตามลำดับ 3 x 4 และ p x q และถ้าเมทริกซ์ A · B มีลำดับ 3 x 5 แสดงว่าจริง:
ก) p = 5 และ q = 5
b) p = 4 และ q = 5
c) p = 3 และ q = 5
d) p = 3 และ q = 4
e) p = 3 และ q = 3
สารละลาย
เรามีข้อความว่า:
เธ3x4 · Bpxq = C3x5
จากเงื่อนไขในการคูณเมทริกซ์สองตัว เราได้ผลลัพธ์ที่ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนแถวในวินาที ดังนั้น p = 4 และเราทราบด้วยว่าเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวในแถวแรกด้วยจำนวนคอลัมน์ในหน่วยที่สอง ดังนั้น q = 5
ดังนั้น p = 4 และ q = 5
A: ทางเลือก b
คำถามที่ 2 - (Vunesp) กำหนดค่าของ x, y และ z บนความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์จริง 2 x 2
![](/f/026cbfaff54da4f6718c576648b4b419.jpeg)
สารละลาย
มาดำเนินการระหว่างอาร์เรย์กับความเท่าเทียมกันระหว่างกัน
![](/f/f51a2cc3f0df38991bdbeba14a77ca3c.jpeg)
ในการกำหนดค่าของ x, y และ z เราจะแก้ระบบเชิงเส้นตรง เริ่มแรก มาบวกสมการ (1) และ (2) กัน
2x – 4= 0
2x = 4
x = 2
แทนค่าของ x ที่พบในสมการ (3) เรามี:
22 = 2z
2z = 4
z = 2
และสุดท้ายแทนค่าของ x และ z ที่พบในสมการ (1) หรือ (2) เราได้:
x + y - z = 0
2 +y – 2 = 0
y=0
ดังนั้น การแก้ปัญหาจึงถูกกำหนดโดย S = {(2, 0, 2)}
โดย Robson Luiz
ครูคณิต