เมทริกซ์: มันคืออะไร, ประเภท, การดำเนินการ, ตัวอย่าง

เธ สำนักงานใหญ่ มักใช้สำหรับการจัดระเบียบข้อมูลแบบตารางเพื่ออำนวยความสะดวกในการแก้ไขปัญหา ข้อมูลเมทริกซ์ ไม่ว่าจะเป็นตัวเลขหรือไม่ก็ตาม ถูกจัดเรียงอย่างเป็นระเบียบในแถวและคอลัมน์

ชุดเมทริกซ์ที่ติดตั้งการดำเนินการของ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป, การลบ และ การคูณ และคุณสมบัติต่างๆ ที่เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางและผกผัน ทำให้เกิดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ ทำให้สามารถนำไปใช้ในด้านต่างๆ ได้ ของความรู้ขนาดใหญ่นี้

ดูด้วย: ความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์กับระบบเชิงเส้น

การแสดงเมทริกซ์

ก่อนเริ่มการศึกษาเกี่ยวกับเมทริกซ์ จำเป็นต้องสร้างสัญลักษณ์บางอย่างเกี่ยวกับการแทนค่าของพวกมัน ที่ เมทริกซ์มักใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่แทน (A, B, C…) ซึ่งมีดัชนีกำกับอยู่ด้วย โดยที่ ตัวเลขแรกระบุจำนวนแถวและวินาทีคือจำนวนคอลัมน์.

เธ จำนวนบรรทัด (แถวแนวนอน) และ คอลัมน์ (แถวแนวตั้ง) ของเมทริกซ์กำหนด ใบสั่ง. เมทริกซ์ A มีลำดับ m คูณ n ข้อมูลที่อยู่ในอาร์เรย์เรียกว่า องค์ประกอบ และจัดอยู่ในวงเล็บ วงเล็บเหลี่ยม หรือแท่งแนวตั้งสองแท่ง ดูตัวอย่าง:

เมทริกซ์ A มีสองแถวและสามคอลัมน์ ดังนั้นลำดับของมันคือสองคูณสาม → A_2x3.

เมทริกซ์ B มีหนึ่งแถวและสี่คอลัมน์ ดังนั้นลำดับของมันคือ หนึ่งต่อสี่ จึงเรียกว่า เส้นเมทริกซ์ → บี_1x4.

เมทริกซ์ C มีสามแถวและหนึ่งคอลัมน์ จึงเรียกว่า เมทริกซ์คอลัมน์ และลำดับของมันคือสามต่อหนึ่ง → C_3x1.

โดยทั่วไปเราสามารถแสดงองค์ประกอบของอาร์เรย์ นั่นคือ เราสามารถเขียนองค์ประกอบนี้โดยใช้การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ โอองค์ประกอบทั่วไปจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก (a, b, c…) และเช่นเดียวกับการแสดงอาร์เรย์ ก็ยังมีดัชนีที่ระบุตำแหน่งของมันด้วย ตัวเลขแรกระบุแถวที่มีองค์ประกอบ และหมายเลขที่สองระบุคอลัมน์ที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่

พิจารณาเมทริกซ์ A ต่อไปนี้ เราจะแสดงรายการองค์ประกอบ

การสังเกตองค์ประกอบแรกที่อยู่ในแถวแรกและคอลัมน์แรก นั่นคือ ในแถวที่หนึ่งและคอลัมน์ที่หนึ่ง เรามีหมายเลข 4 เพื่อให้การเขียนง่ายขึ้น เราจะแสดงโดย:

ดิ₁₁ → บรรทัดหนึ่งองค์ประกอบ คอลัมน์หนึ่ง

เรามีองค์ประกอบต่อไปนี้ของเมทริกซ์ A_2x3:

ดิ₁₁ = 4

ดิ₁₂ =16

ดิ₁₃ = 25

ดิ₂₁ = 81

ดิ₂₂ = 100

ดิ₂₃ = 9

โดยทั่วไป เราสามารถเขียนอาร์เรย์เป็นฟังก์ชันขององค์ประกอบทั่วไปได้ นี่คือ เมทริกซ์ทั่วไป.

เมทริกซ์ของ m แถวและ n คอลัมน์แสดงโดย:

• ตัวอย่าง

กำหนดเมทริกซ์ A = [a_อิจ ]_2x2, ซึ่งมีกฎหมายว่าด้วยการฝึกอบรมถึง_อิจ = เจ² – 2i. จากข้อมูลในข้อความสั่ง เรามีเมทริกซ์ A ที่เรียงลำดับสองต่อสอง นั่นคือ มันมีสองบรรทัดและสองคอลัมน์ ดังนั้น:

นอกจากนี้ ยังได้กำหนดกฎการสร้างเมทริกซ์ กล่าวคือ แต่ละองค์ประกอบมีความพึงพอใจกับความสัมพันธ์กับ_อิจ = เจ² – 2i. แทนค่าของ i และ j ในสูตร เรามี:

ดิ₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

ดิ₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

ดิ₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

ดิ₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

ดังนั้นเมทริกซ์ A คือ:

ประเภทอาร์เรย์

เมทริกซ์บางตัวสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ ดูตอนนี้สิ ประเภทของอาร์เรย์ พร้อมตัวอย่าง

• เมทริกซ์สี่เหลี่ยม

เมทริกซ์เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อ จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์. เราเป็นตัวแทนของเมทริกซ์ที่มี n แถวและ n คอลัมน์โดยA_ไม่ (อ่าน: เมทริกซ์กำลังสองของคำสั่ง n)

ในเมทริกซ์กำลังสอง เรามีสององค์ประกอบที่สำคัญมาก คือ เส้นทแยงมุม: หลักและรอง. เส้นทแยงมุมหลักเกิดจากธาตุที่มีดัชนีเท่ากัน กล่าวคือ เป็นธาตุทุกตัว a_อิจ ด้วย i = j เส้นทแยงมุมรองเกิดจากองค์ประกอบ a is_อิจ โดยที่ i + j = n +1 โดยที่ n คือลำดับเมทริกซ์

• เมทริกซ์เอกลักษณ์

เอกลักษณ์เมทริกซ์คือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มี ทั้งหมดคุณองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ1 และ องค์ประกอบอื่น ๆ เท่ากับ 0, กฎการก่อตัวของมันคือ:

เราแทนเมทริกซ์นี้ด้วย I โดยที่ n คือลำดับของเมทริกซ์กำลังสอง ดูตัวอย่างบางส่วน:

• หน่วยเมทริกซ์

มันคือเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ 1 นั่นคือ มันมีแถวและคอลัมน์ ดังนั้น เพียงหนึ่งองค์ประกอบ.

เอ = [-1]_1x1, B = ฉัน₁ = (1)_1x1 และ C = || 5||_1x1

นี่คือตัวอย่างของเมทริกซ์รวม โดยเน้นเมทริกซ์ B ซึ่งก็คือ a เมทริกซ์เอกลักษณ์ของหน่วย.

• เมทริกซ์โมฆะ

กล่าวกันว่าอาร์เรย์เป็นโมฆะหากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เราแทนเมทริกซ์โมฆะของคำสั่ง m คูณ n โดย O_mxn.

เมทริกซ์ O เป็นโมฆะของคำสั่ง 4

• เมทริกซ์ตรงข้าม

พิจารณาเมทริกซ์ที่มีลำดับเท่ากันสองเมทริกซ์: A = [a_อิจ]_mxn และ B = [b_อิจ]_mxn. เมทริกซ์เหล่านี้จะเรียกว่าตรงกันข้ามก็ต่อเมื่อ_อิจ = -b_อิจ. ดังนั้น องค์ประกอบที่สอดคล้องกันจะต้อง ตัวเลขตรงข้าม.

เราสามารถแทนเมทริกซ์ B = -A

• ย้ายเมทริกซ์

สองเมทริกซ์ A = [a_อิจ]_mxn และ B = [b_อิจ]_nxm พวกเขาเป็น ขนย้าย ถ้าและเฉพาะในกรณีที่_อิจ = ข_จิ นั่นคือ เมื่อให้เมทริกซ์ A ในการหาทรานสโพส แค่หาเส้นตรงเป็นคอลัมน์

ทรานสโพสของเมทริกซ์ A แทนด้วย A^ตู่. ดูตัวอย่าง:

ดูเพิ่มเติม: เมทริกซ์ผกผัน: มันคืออะไรและจะตรวจสอบได้อย่างไร

การดำเนินงานเมทริกซ์

การแสดงทั่วไปของเมทริกซ์ขนาด n x m

เซตของเมทริกซ์มีการดำเนินการของ aการบวกและการคูณที่กำหนดไว้อย่างดีนั่นคือ เมื่อใดก็ตามที่เราดำเนินการเมทริกซ์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ผลลัพธ์ของการดำเนินการยังคงเป็นของเซตของเมทริกซ์ อย่างไรก็ตาม สิ่งที่เกี่ยวกับการดำเนินการลบ? เราเข้าใจว่าการดำเนินการนี้เป็นการผกผันของการบวก (เมทริกซ์ตรงข้าม) ซึ่งกำหนดไว้เป็นอย่างดี

ก่อนกำหนดการดำเนินการ มาทำความเข้าใจแนวคิดของ กันก่อน องค์ประกอบที่สอดคล้องกัน และ ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์. องค์ประกอบที่สอดคล้องกันคือองค์ประกอบที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันในเมทริกซ์ที่ต่างกัน กล่าวคือ พวกมันอยู่ในแถวและคอลัมน์เดียวกัน เห็นได้ชัดว่าอาร์เรย์ต้องอยู่ในลำดับเดียวกันเพื่อให้องค์ประกอบที่ตรงกันมีอยู่ ดู:

องค์ประกอบ 14 และ -14 เป็นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A และ B ตรงข้ามกัน เนื่องจากพวกมันอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน (แถวและคอลัมน์เดียวกัน)

เมทริกซ์สองตัวจะเรียกว่าเท่ากันก็ต่อเมื่อองค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่ากัน ดังนั้น เมื่อให้เมทริกซ์ A = [a_อิจ]_mxn และ B = [b_อิจ]_mxn, สิ่งเหล่านี้จะเหมือนกันก็ต่อเมื่อ,_อิจ = ข_อิจ สำหรับใด ๆ ฉันเจ

• ตัวอย่าง

เมื่อรู้ว่าเมทริกซ์ A และ B เท่ากัน ให้กำหนดค่าของ x และ t

เนื่องจากเมทริกซ์ A และ B เท่ากัน ดังนั้นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันจึงต้องเท่ากัน ดังนั้น:

x = -1 และ t = 1

• การบวกลบเมทริกซ์

การดำเนินงานของ การบวกและการลบระหว่างเมทริกซ์ มันค่อนข้างเข้าใจง่าย แต่ก่อนอื่นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ในการดำเนินการเหล่านี้ ก่อนอื่นจำเป็นต้องตรวจสอบว่า คำสั่งอาร์เรย์มีค่าเท่ากัน

เมื่อเงื่อนไขนี้ได้รับการยืนยัน การบวกและการลบของเมทริกซ์จะเกิดขึ้นโดยการเพิ่มหรือลบองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของเมทริกซ์ พิจารณาเมทริกซ์ A = [a_อิจ]_mxn และ B = [b_อิจ]_mxnแล้ว:

A + B = [a_อิจ + ข_อิจ] _mxn

A - B = [a_อิจ - บี_อิจ] _mxn

• ตัวอย่าง

พิจารณาเมทริกซ์ A และ B ด้านล่าง หา A + B และ A – B

อ่านด้วยนะ: การดำเนินการจำนวนเต็ม

• การคูณจำนวนจริงด้วยเมทริกซ์

การคูณจำนวนจริงในเมทริกซ์ (เรียกอีกอย่างว่าการคูณเมทริกซ์) ด้วยสเกลาร์ ถูกกำหนดโดยการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์

ให้ A = [a_อิจ]_mxn เมทริกซ์และ t จำนวนจริง ดังนั้น:

t · A = [t · a_อิจ]_mxn

ดูตัวอย่าง:

• การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์นั้นไม่สำคัญเท่ากับการบวกและการลบของเมทริกซ์ ก่อนทำการคูณ เงื่อนไขจะต้องเป็นไปตามลำดับของเมทริกซ์ด้วย พิจารณาเมทริกซ์ A_mxn และ B_น.

เพื่อทำการคูณ จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกต้องเท่ากับจำนวนแถวในวินาที. เมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ (ซึ่งมาจากการคูณ) มีลำดับตามจำนวนแถวในคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง

ในการคูณระหว่างเมทริกซ์ A และ B เราต้องคูณแต่ละแถวด้วยคอลัมน์ทั้งหมดดังนี้: องค์ประกอบแรก ของ A คูณด้วยองค์ประกอบแรกของ B แล้วบวกกับองค์ประกอบที่สองของ A และคูณด้วยองค์ประกอบที่สองของ B เป็นต้น ตามลำดับ ดูตัวอย่าง:

อ่านด้วยนะ: Laplace's Theorem: รู้วิธีใช้และเมื่อไร

แบบฝึกหัดแก้ไข

คำถามที่ 1 - (ยู. และ. Londrina – PR) ให้เมทริกซ์ A และ B เป็น ตามลำดับ 3 x 4 และ p x q และถ้าเมทริกซ์ A · B มีลำดับ 3 x 5 แสดงว่าจริง:

ก) p = 5 และ q = 5

b) p = 4 และ q = 5

c) p = 3 และ q = 5

d) p = 3 และ q = 4

e) p = 3 และ q = 3

สารละลาย

เรามีข้อความว่า:

เธ_3x4 · B_pxq = C_3x5

จากเงื่อนไขในการคูณเมทริกซ์สองตัว เราได้ผลลัพธ์ที่ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนแถวในวินาที ดังนั้น p = 4 และเราทราบด้วยว่าเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวในแถวแรกด้วยจำนวนคอลัมน์ในหน่วยที่สอง ดังนั้น q = 5

ดังนั้น p = 4 และ q = 5

A: ทางเลือก b

คำถามที่ 2 - (Vunesp) กำหนดค่าของ x, y และ z บนความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์จริง 2 x 2

สารละลาย

มาดำเนินการระหว่างอาร์เรย์กับความเท่าเทียมกันระหว่างกัน

ในการกำหนดค่าของ x, y และ z เราจะแก้ระบบเชิงเส้นตรง เริ่มแรก มาบวกสมการ (1) และ (2) กัน

2x – 4= 0

2x = 4

x = 2

แทนค่าของ x ที่พบในสมการ (3) เรามี:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

และสุดท้ายแทนค่าของ x และ z ที่พบในสมการ (1) หรือ (2) เราได้:

x + y - z = 0

2 +y – 2 = 0

y=0

ดังนั้น การแก้ปัญหาจึงถูกกำหนดโดย S = {(2, 0, 2)}

โดย Robson Luiz
ครูคณิต