การเรียงสับเปลี่ยนเป็นส่วนหนึ่งของปัญหาการนับ เราใช้วิธีพีชคณิตเพื่อทราบจำนวนลำดับขององค์ประกอบในชุด ฝึกฝนความรู้ของคุณเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนและแก้ไขข้อสงสัยของคุณด้วยแบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว
แบบฝึกหัดที่ 1
เพื่อนสองคนกำลังเล่นลูกเต๋าหกด้าน เป็นที่รู้กันว่าเลข 4, 1, 2 และ 5 ออกมาไม่จำเป็นต้องเรียงตามลำดับนั้น มีผลลัพธ์ได้กี่ลำดับ?
คำตอบ: 24
การเรียงลำดับผลลัพธ์อาจเป็น:
1, 2, 4 และ 5 หรือ
5, 4, 5 และ 1 หรือ
4, 5, 1 และ 2
เพื่อกำหนดจำนวนการสั่งซื้อที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราจะคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนด้วยองค์ประกอบที่แตกต่างกันสี่องค์ประกอบ
แบบฝึกหัดที่ 2
กลุ่มเพื่อนหกคนไปดูหนังที่โรงหนังและซื้อตั๋วสำหรับที่นั่งแถวเดียวกัน เมื่อพิจารณาว่ามีคู่รักคู่หนึ่งนั่งอยู่บนเก้าอี้ข้างเคียง เพื่อนเหล่านี้จะนั่งเก้าอี้แถวได้กี่วิธี?
คำตอบ: 240
เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดของชุด "เพื่อน" ได้รับการพิจารณาในการคำนวณ จึงเป็นปัญหาการเรียงสับเปลี่ยน
ในการคำนวณจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราพิจารณาองค์ประกอบ 5 อย่าง เนื่องจากคู่รักจะต้องอยู่ด้วยกันเสมอ
นอกจากนี้ จากความเป็นไปได้ทั้ง 120 ประการนี้ เราต้องคูณด้วยสอง เนื่องจากทั้งคู่สามารถแลกเปลี่ยนสถานที่ซึ่งกันและกันได้
ดังนั้น จำนวนวิธีที่เป็นไปได้สำหรับเพื่อน ๆ ในการจัดตัวเองบนเก้าอี้เป็นแถวคือ:
120. 2 = 240
แบบฝึกหัดที่ 3
นักเรียนชั้นเรียนจำนวน 7 คนกำลังเล่นอยู่ในลานบ้านโดยใช้ประโยชน์จากเวลาพัก เมื่อได้ยินสัญญาณแจ้งการกลับห้องเรียน นักเรียนจึงแยกตัวเข้าแถว นักเรียนสามารถสร้างลำดับคิวได้ด้วยวิธีต่างๆ หลายวิธี
คำตอบ: 5040
จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการจัดการคิวคือการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบที่แตกต่างกัน 7 รายการ
แบบฝึกหัดที่ 4
ช่างภาพกำลังปรับกล้องเพื่อถ่ายภาพเด็ก 5 คนที่นั่งอยู่บนม้านั่ง ในกลุ่มนี้มีผู้หญิง 3 คนและผู้ชาย 2 คน การจัดเตรียมเด็ก ๆ ที่เป็นไปได้สำหรับภาพถ่ายคือ:
เมื่อพิจารณาถึงตำแหน่งที่เด็กๆ สามารถนั่งบนม้านั่งได้ ช่างภาพสามารถจัดเด็กชายและเด็กหญิงเพื่อให้ได้ภาพถ่ายที่แตกต่างกันได้กี่วิธี
คำตอบ: 10
นี่เป็นกรณีของการเรียงสับเปลี่ยนที่มีองค์ประกอบซ้ำกัน เราต้องหารจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดด้วยผลคูณระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบที่ทำซ้ำ
แบบฝึกหัดที่ 5
ตัวอักษรในคำว่า PREFEITURA สามารถสร้างแอนนาแกรมได้กี่ตัว?
คำตอบ: 907 200
คำว่า CITY HALL มีทั้งหมด 10 ตัวอักษร บางตัวอักษรซ้ำกัน ตัวอักษร E ปรากฏขึ้นสองครั้ง เช่นเดียวกับ R
เราคำนวณการหารระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 10 รายการและหารด้วยผลคูณของการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบที่ซ้ำกัน
แบบฝึกหัดที่ 6
(UEMG 2019) จากชุดการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรทั้งหมดในคำว่า PONTA จะมีการลบตัวอักษรหนึ่งออกโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะลบคำที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยสระเป็นเท่าใด
ก) 1/20
ข) 1/10
ค) 1/6
ง) 1/5
ขั้นตอนที่ 1: จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดด้วยตัวอักษรของคำว่า PONTA
เนื่องจากมีตัวอักษรที่แตกต่างกันห้าตัว เราจึงมี:
ขั้นตอนที่ 2: จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วยเสียงสระ
สำหรับอักษรตัวแรกจะมีสระให้เลือก 2 ตัว ส่วนอักษรตัวสุดท้ายจะมีเพียง 1 ตัวเท่านั้น
สำหรับพยัญชนะมี 3 ตัว! ความเป็นไปได้
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
ขั้นตอนที่ 3: กำหนดอัตราส่วนความน่าจะเป็น
แบบฝึกหัดที่ 7
(EsPCex 2012) ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลขที่หารด้วย 2 ลงตัว เมื่อสุ่มเลือกการเรียงสับเปลี่ยนตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 อย่างใดอย่างหนึ่งคือ
ก) 1/5
ข) 2/5
ค) 3/4
ง) 1/4
จ) 1/2
ขั้นตอนที่ 1: การเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด
เนื่องจากมีองค์ประกอบที่แตกต่างกันห้าตัว เราจึงได้ว่าจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 5 ตัวจะเท่ากับ 5 แฟคทอเรียล
ขั้นตอนที่ 2: การเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลขที่หารด้วยสองกับห้าหลักลงตัว
หากหารด้วย 2 ลงตัว เงื่อนไขคือเป็นเลขคู่ ดังนั้นจึงมีสองตัวเลือกสำหรับหลักสุดท้ายคือ 2 และ 4
ส่วนตำแหน่งอื่นๆ มี 4 คน! ความเป็นไปได้
ขั้นตอนที่ 3: การคำนวณความน่าจะเป็น
แบบฝึกหัดที่ 8
(EsFCEx 2022) ให้ P เป็นเซตของการเรียงสับเปลี่ยนของลำดับ 1, 3, 6, 9, 12 โดยที่เทอมแรกแตกต่างจาก 1 หากลำดับใดลำดับหนึ่งถูกวาดแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่เทอมที่สองคือ 3 จะเท่ากับ p/q โดยมี p, q ∈ IN* และ gcd (p, q) = 1 ดังนั้น q – p เท่ากับ
ก) 13.
ข) 15.
ค) 12.
ง) 14.
จ) 11.
ขั้นตอนที่ 1: กำหนดจำนวนกรณีทั้งหมดที่เป็นไปได้ในพื้นที่ตัวอย่าง
จากขวาไปซ้าย ตัวเลขแรกไม่สามารถเป็น 1 ได้ จึงมีความเป็นไปได้ 4 ทางที่จะครองตำแหน่งแรก
มีอีก 4 ตำแหน่งที่จะครองตำแหน่งอื่น! ความเป็นไปได้
การเรียงสับเปลี่ยนคือ:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
ขั้นตอนที่ 2: กำหนดความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ประการที่สองคือสาม ประการแรกแตกต่างจากเหตุการณ์หนึ่ง
การเรียงสับเปลี่ยนคือ:
3.1.3.2.1 = 18
ขั้นตอนที่ 3: อัตราส่วนความน่าจะเป็น
อัตราส่วนความน่าจะเป็นคือ:
ด้วย p = 18 และ q = 96
อย่างไรก็ตาม ยังมีเงื่อนไขว่าตัวหารร่วมมากระหว่าง p และ q คือ 1 ซึ่งไม่เกิดขึ้นกับ 18 และ 96
เราต้องลดความซับซ้อนและทดสอบเศษส่วนที่เทียบเท่ากับ 18/96
ขั้นตอนที่ 4: การทำให้เศษส่วนความน่าจะเป็นง่ายขึ้นและการหาค่า p และ q
โดยที่ gcd (3, 16) = 1, p = 3 และ q = 16
ขั้นตอนที่ 5: บทสรุป.
คิว - พี = 16 - 3 = 13
เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับ การเรียงสับเปลี่ยน.
สำหรับการออกกำลังกายเพิ่มเติม โปรดดู:
แบบฝึกหัดการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน
แอสท์, ราฟาเอล. แบบฝึกหัดการเรียงสับเปลี่ยนแก้ไขและอธิบายแล้วทุกเรื่อง, [n.d.]. มีจำหน่ายใน: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. เข้าถึงได้ที่:
ดูด้วย
- การวิเคราะห์เชิงผสมผสาน
- แบบฝึกหัดการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน
- การเรียงสับเปลี่ยน: ง่ายและมีการทำซ้ำ
- การจัดเรียงทางคณิตศาสตร์: คืออะไร วิธีคำนวณ ตัวอย่าง
- แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์พื้นฐาน 27 แบบ
- การรวมกันทางคณิตศาสตร์: วิธีการคำนวณและตัวอย่าง
- แบบฝึกหัดความน่าจะเป็น
- ความน่าจะเป็น