การแก้สมการเป็นกิจกรรมประจำวัน โดยสังหรณ์ใจเราแก้สมการในชีวิตประจำวันของเราและเราไม่รู้ด้วยซ้ำ โดยถามคำถามดังนี้ “ต้องตื่นไปโรงเรียนกี่โมงถึงจะไม่ ไม่ทันเวลา?" และเราได้คำตอบแล้ว เราก็แค่แก้สมการโดยที่ค่าที่ไม่ทราบคือ เวลา. คำถามในชีวิตประจำวันเหล่านี้มักจะกระตุ้นนักคณิตศาสตร์ตลอดเวลาในการค้นหาคำตอบและวิธีการแก้สมการ
สูตรของ Baskara เป็นหนึ่งในวิธีการแก้สมการที่มีชื่อเสียงที่สุด มันคือ "สูตร" ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ให้รากของสมการดีกรีที่ 2 เกือบจะในทันที ที่น่าสนใจคือไม่มีสูตรในการแก้สมการมากมายอย่างที่คุณคิด สมการดีกรีที่สามและสี่นั้นยากต่อการแก้ และมีสูตรการแก้สำหรับกรณีที่ง่ายที่สุดของสมการประเภทนี้
น่าสนใจที่จะรู้ว่าระดับของสมการเป็นตัวกำหนดจำนวนรากของมัน เรารู้ว่าสมการดีกรีที่ 2 มีสองราก ดังนั้น สมการดีกรีที่ 3 จะมีสามรากเป็นต้น ทีนี้ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับสมการบางตัว
ตัวอย่าง. แก้สมการ:
ก) x2 + 3x – 4 = 0
วิธีแก้ปัญหา: การใช้สูตรของ Baskara ในการแก้สมการดีกรีที่ 2 เราได้รับ:
เรารู้ว่า a = 1, b= 3 และ c = – 4 ดังนั้น
เนื่องจากเราแก้สมการดีกรีที่ 2 เราจึงมีรากสองราก
ข) x3 – 8 = 0
วิธีแก้ไข: ในกรณีนี้ เรามีสมการดีกรีที่สามที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งมีความละเอียดอย่างง่าย
วิธีแก้ไข: ในกรณีนี้ เรามีสมการดีกรีที่ 4 ที่ไม่สมบูรณ์ เรียกอีกอย่างว่าสมการสองกำลังสอง คำตอบของสมการประเภทนี้ก็ง่ายเช่นกัน ดู:
สมการ x4 + 3x2 – 4 = 0 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
(x2)2 + 3x2 – 4 =0
ทำ x2 = t และแทนที่ในสมการข้างต้นที่เราได้รับ:
t2 + 3t – 4 = 0 → ซึ่งเป็นสมการดีกรีที่ 2
เราสามารถแก้สมการนี้ได้โดยใช้สูตรของบาสคารา
ค่าเหล่านี้ไม่ใช่รากของสมการ เนื่องจากค่าที่ไม่ทราบคือ x ไม่ใช่ t แต่เราต้อง:
x2 = t
จากนั้น
x2 = 1 หรือ x2 = – 4
ของ x2 = 1 เราได้ว่า x = 1 หรือ x = – 1
ของ x2 = – 4 เราพบว่าไม่มีจำนวนจริงที่ตรงตามสมการ
ดังนั้น S = {– 1, 1}
โปรดทราบว่าในทางเลือก เรามีสมการดีกรีที่ 2 และเราพบรากที่สอง ในทางเลือก บี เราแก้สมการดีกรีที่ 3 และหารากได้เพียงรากเดียว และสมการรายการ item คมันเป็นสมการของดีกรีที่ 4 และเราพบเพียงสองราก
ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ระดับของสมการกำหนดจำนวนรากที่มี:
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 → สองราก
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 → สามราก
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 → สี่ราก
แต่เกิดอะไรขึ้นกับสมการทางเลือก บี และ ค?
ปรากฎว่าสมการระดับ n ≥ 2 สามารถมีรากจริงและรากเชิงซ้อนได้ ในกรณีของสมการดีกรีที่สามของข้อ b เราพบรูตจริงเพียงตัวเดียว รูทอีกสองตัวที่เหลือเป็นจำนวนเชิงซ้อน เช่นเดียวกับสมการในรายการ c: เราพบรากที่แท้จริงสองอัน อีกสองรากนั้นซับซ้อน
เกี่ยวกับรากที่ซับซ้อน เรามีทฤษฎีบทต่อไปนี้
ถ้าจำนวนเชิงซ้อน a + bi, b ≠ 0 เป็นรากของสมการ a0xไม่ + ที่1xn-1+... + ที่n-1x + เป็ไม่ = 0 ของสัมประสิทธิ์จริง ดังนั้นคอนจูเกต a – bi จึงเป็นรากของสมการด้วย
ผลของทฤษฎีบทคือ:
• สมการดีกรีที่ 2 ที่มีสัมประสิทธิ์จริง → มีเพียงรากจริงหรือรากเชิงซ้อนคอนจูเกตสองตัว
• สมการดีกรีที่ 3 ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนจริง → มีเพียงรากจริงหรือรากจริง 1 ราก และรากเชิงซ้อนสองอันที่มีคอนจูเกต
• สมการของดีกรีที่ 4 ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนจริง → มีเพียงรากที่แท้จริงหรือรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองราก และรากคอนจูเกตเชิงซ้อนที่มีจำนวนจริงหรือเพียงสี่ตัวเท่านั้น แบบสองต่อสอง
• สมการดีกรีที่ 5 ที่มีสัมประสิทธิ์จริง → มีรากจริงหรือรากเชิงซ้อนสองอันเท่านั้น คอนจูเกตและรากจริงอีกอันหนึ่งหรืออย่างน้อยหนึ่งรูตจริงและรูตเชิงซ้อนอื่น ๆ สองต่อสอง ผัน
เช่นเดียวกับสมการองศาที่มากกว่า 5
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
โดย มาร์เซโล ริโกนาตโต
ผู้เชี่ยวชาญด้านสถิติและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ทีมโรงเรียนบราซิล
ตัวเลขที่ซับซ้อน - คณิตศาสตร์ - โรงเรียนบราซิล
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ริโกแนตโต, มาร์เซโล. "จำนวนรากของสมการ"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm. เข้าถึงเมื่อ 29 มิถุนายน 2021.
