พหุนาม: มันคืออะไร, วิธีแก้ปัญหา, ตัวอย่าง

เรารู้วิธี พหุนาม นิพจน์ที่บ่งชี้ผลรวมเชิงพีชคณิตของโมโนเมียลที่ไม่เหมือนกัน นั่นคือ พหุนาม is that หนึ่ง นิพจน์พีชคณิต ระหว่างโมโนเมียล. โมโนเมียมเป็นศัพท์เกี่ยวกับพีชคณิตที่มีค่าสัมประสิทธิ์และส่วนตามตัวอักษร

เมื่อมีคำที่คล้ายคลึงกันระหว่างพหุนาม สามารถดำเนินการ การลดเงื่อนไข การบวกและ/หรือการลบของพหุนามสองพหุนาม นอกจากนี้ยังสามารถคูณพหุนามสองพหุนามด้วยคุณสมบัติการกระจาย การแบ่งจะดำเนินการโดยใช้วิธีคีย์

อ่านด้วย: สมการพหุนาม - สมการที่มีพหุนามเท่ากับ 0

พหุนามคือนิพจน์พีชคณิตที่มีโมโนเมียลคั่นด้วยการบวกหรือการลบ

โมโนเมียลคืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจว่าพหุนามคืออะไร อันดับแรกต้องเข้าใจความหมายของโมโนเมียล นิพจน์พีชคณิตเรียกว่าโมโนเมียมเมื่อมี ตัวเลขและตัวอักษรและเลขชี้กำลัง แยกจากการคูณเท่านั้น ตัวเลขเรียกว่าสัมประสิทธิ์และตัวอักษรและเลขชี้กำลังเรียกว่าส่วนตามตัวอักษร

ตัวอย่าง:

• 2x² → 2 คือสัมประสิทธิ์; x² คือส่วนตามตัวอักษร

• √5ax → √5 คือสัมประสิทธิ์; ขวานเป็นส่วนตัวอักษร

• b³yz² → 1 คือสัมประสิทธิ์; b³yz² เป็นส่วนตัวอักษร

พหุนามคืออะไร?

พหุนามไม่ได้เป็นอะไรนอกจาก ผลรวมเชิงพีชคณิตของโมโนเมียลกล่าวคือ พวกมันเป็นโมโนเมียลมากกว่าที่แยกจากกันด้วยการบวกหรือการลบออกจากกัน

ตัวอย่าง:

• ax² + โดย + 3

• 5c³d – 4ab + 3c²

• -2ab + b – 3xa

โดยทั่วไป พหุนามสามารถมีได้หลายพจน์ ซึ่งแสดงพีชคณิตโดย:

_ไม่x^ไม่ + ที่_(n-1) x^(n-1) + … + ที่₂x² + a₁x + เป็

ดูด้วย: คลาสของพหุนามคืออะไร?

ดีกรีของพหุนาม

ในการหาดีกรีของพหุนาม ให้แยกมันออกเป็นสองกรณี เมื่อมีตัวแปรเดียวและเมื่อมีตัวแปรมากกว่า ดีกรีของพหุนามถูกกำหนดโดย ดีกรีของโมโนเมียลที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในทั้งสองกรณี.

เป็นเรื่องปกติธรรมดาที่จะทำงานกับพหุนามที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว เมื่อสิ่งนั้นเกิดขึ้น โอ โมโนเมียมมากขึ้น ระดับ ซึ่งบ่งบอกถึงระดับ ของพหุนาม เท่ากับเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร:

ตัวอย่าง:

พหุนามตัวแปรเดียว

a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → สังเกตว่าตัวแปรคือ x และเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดคือ 3 ดังนั้นนี่คือพหุนามดีกรี 3

ข) 2 ปี⁵ + 4y² – 2y + 8 → ตัวแปรคือ y และเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดคือ 5 ดังนั้นนี่คือพหุนามของดีกรี 5

เมื่อพหุนามมีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวในโมโนเมียล ในการหาดีกรีของพจน์นี้ จำเป็น เพิ่ม-ถ้า องศาของเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัว ดังนั้น ดีกรีของพหุนามในกรณีนี้ ยังคงเท่ากับดีกรีของโมโนเมียลที่ใหญ่ที่สุด แต่จำเป็นต้องเพิ่มเลขชี้กำลังของตัวแปรของโมโนเมียลแต่ละตัวอย่างระมัดระวัง

ตัวอย่าง:

ก) 2xy + 4x²y³ – 5y⁴

การวิเคราะห์ส่วนตามตัวอักษรของแต่ละเทอม เราต้อง:

xy → เกรด 2 (1 + 1)

x²y³ → องศา 5 (2 + 3)

y³ → เกรด 3

โปรดทราบว่าเทอมที่ใหญ่ที่สุดมีดีกรี 5 ดังนั้นนี่คือพหุนามดีกรี 5

b) 8a²b - ab + 2a²b²

การวิเคราะห์ส่วนตามตัวอักษรของโมโนเมียมแต่ละตัว:

a²b → เกรด 3 (2 + 1)

ab² → องศา 2 (1 + 1)

a²b² → เกรด 4 (2 + 2)

ดังนั้นพหุนามจึงมีดีกรี 4

การบวกพหุนาม

สู่ การบวกระหว่างพหุนามสองตัว, มาดำเนินการ การลด monomials ที่คล้ายกัน. โมโนเมียลสองตัวจะคล้ายกันหากมีส่วนตามตัวอักษรเท่ากัน เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น เป็นไปได้ที่จะทำให้พหุนามง่ายขึ้น

ตัวอย่าง:

ให้ P(x) = 2x² + 4x + 3 และ Q(x) = 4x² – 2x + 4 หาค่าของ P(x) + Q(x)

2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4

ค้นหาคำที่คล้ายกัน (ซึ่งมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน):

2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4

ทีนี้มาเพิ่มโมโนเมียลที่คล้ายกันกัน:

(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4

6x² + 2x +7

การลบพหุนาม

การลบไม่ต่างจากการบวกมากนัก รายละเอียดที่สำคัญคือ ก่อนอื่นเราต้องเขียนพหุนามตรงข้าม ก่อนที่เราจะทำการย่อคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน

ตัวอย่าง:

ข้อมูล: P(x) = 2x² + 4x + 3 และ Q(x) = 4x² - 2x + 4 คำนวณ P(x) – Q(x)

พหุนาม -Q(x) อยู่ตรงข้ามกับ Q(x) เพื่อค้นหาสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ Q(x) เพียงแค่กลับเครื่องหมายของแต่ละเทอม ดังนั้นเราต้อง:

-Q(x) = -4x² +2x – 4

จากนั้นเราจะคำนวณ:

P(x) + (-Q(x))

2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4

ทำให้คำที่คล้ายกันง่ายขึ้น เรามี:

(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)

-2x² + 6x + (-1)

-2x² + 6x – 1

การคูณพหุนาม

ในการคูณพหุนามสองพหุนาม เราใช้ฟังก์ชันที่รู้จัก ทรัพย์สินกระจาย ระหว่างพหุนามทั้งสอง ดำเนินการคูณของโมโนเมียลของพหุนามที่หนึ่งกับพหุนามที่สอง

ตัวอย่าง:

ให้ P(x) = 2a² + b และ Q(x) = a³ + 3ab + 4b² คำนวณ P(x) · Q(x)

พี(x) · คิว(x)

(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)

การใช้คุณสมบัติการกระจายเราจะมี:

2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²

ครั้งที่ 2⁵ + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³

ทีนี้ ถ้าพวกมันมีอยู่ เราสามารถทำให้คำที่คล้ายกันง่ายขึ้นได้:

ครั้งที่ 2⁵ + 6a³b + 8a²b² + อะบี + 3ab² + 4b³

โปรดทราบว่าโมโนเมียลที่คล้ายคลึงกันเท่านั้นจะถูกเน้นด้วยสีส้ม ทำให้ง่ายขึ้นระหว่างพวกเขา เราจะมีพหุนามต่อไปนี้เป็นคำตอบ:

ครั้งที่ 2⁵ + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

ครั้งที่ 2⁵ + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

เข้าถึงด้วย: วิธีการคูณเศษส่วนพีชคณิต?

การหารพหุนาม

ดำเนินการ การแบ่งพหุนาม ค่อนข้างลำบากเราใช้สิ่งที่เรียกว่า วิธีคีย์แต่มีหลายวิธีสำหรับสิ่งนี้ การหารของพหุนามสองตัว เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อดีกรีของตัวหารน้อยกว่า. โดยการหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม D(x) เรากำลังมองหาพหุนาม Q(x) ในลักษณะที่ว่า:

ดังนั้น โดยอัลกอริทึมการหาร เราได้: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)

P(x) → เงินปันผล

D(x) → ตัวแบ่ง

Q(x) → ผลหาร

R(x) → ส่วนที่เหลือ

เมื่อทำการหาร พหุนาม P(x) จะถูกหารด้วยพหุนาม D(x) ถ้าเศษเหลือเป็นศูนย์

ตัวอย่าง:

ลองทำโดยการหารพหุนาม P(x) = 15x² +11x + 2 ด้วยพหุนาม D(x) = 3x + 1

เราต้องการแบ่งปัน:

(15x² + 11x + 2): (3x + 1)

ขั้นตอนที่ 1: เราแยกโมโนเมียมแรกของเงินปันผลกับตัวหารแรก:

15x²: 3x = 5x

ขั้นตอนที่ 2: เราคูณ 5x · (3x+1) = 15x² + 5x และลบผลลัพธ์ของ P(x) ในการทำการลบ จำเป็นต้องกลับเครื่องหมายของผลการคูณ โดยหาพหุนาม:

ขั้นตอนที่ 3: เราทำการหารเทอมแรกของผลลัพธ์การลบด้วยเทอมแรกของตัวหาร:

6x: 3x = 2

ขั้นตอนที่ 4: ดังนั้นเราจึงมี (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2

ดังนั้น เราต้อง:

Q(x) = 5x + 2

R(x) = 0

อ่านด้วย: อุปกรณ์ที่ใช้งานได้จริงของ Briot-Ruffini – การแบ่งพหุนาม

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - ค่าของ m ควรเป็นเท่าใดเพื่อให้พหุนาม P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m มีดีกรีเป็น 2?

ก) 3

ข) -3

ค) ±3

ง) 9

จ) -9

ความละเอียด

ทางเลือก A

เพื่อให้ P(x) มีดีกรี 2 สัมประสิทธิ์ของ x³ ต้องเท่ากับศูนย์ และสัมประสิทธิ์ของ x² ต้องแตกต่างจากศูนย์

ดังนั้นเราจะทำ:

m² - 9 = 0

m² = 9

ม. = ± 9

ม. = ±3

ในทางกลับกัน เรามี m + 3 ≠ 0 นั้น

ดังนั้น m ≠ -3

ดังนั้น เรามีคำตอบของสมการแรกที่ m = 3 หรือ m = -3 แต่สำหรับข้อที่สอง เรามี m ≠ -3 ดังนั้นคำตอบเดียวที่ทำให้ P(x) มีดีกรี 2 คือ m = 3.

คำถามที่ 2 - (IFMA 2017) เส้นรอบวงของรูปสามารถเขียนได้ด้วยพหุนาม:

ก) 8x + 5

ข) 8x + 3

ค) 12 + 5

ง) 12x + 10

จ) 12x + 8

ความละเอียด

ทางเลือก D

จากภาพ เมื่อเราวิเคราะห์ความยาวและความกว้างที่กำหนด เรารู้ว่าปริมณฑลเป็นผลรวมของทุกด้าน เนื่องจากความยาวและความสูงเท่ากัน เราก็แค่คูณผลรวมของพหุนามที่กำหนดด้วย 2

2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต