หมวกทรงกลม: มันคืออะไร, องค์ประกอบ, พื้นที่, ปริมาตร

ก หมวกทรงกลม และ ของแข็งทางเรขาคณิต ได้เมื่อระนาบตัดทรงกลม แบ่งเป็นทรงเรขาคณิตสองรูป หมวกทรงกลมถือเป็นทรงกลมเพราะมีรูปร่างโค้งมนเช่นเดียวกับทรงกลม ในการคำนวณพื้นที่และปริมาตรของทรงกลม เราใช้สูตรเฉพาะ

อ่านด้วย: ลำต้นของกรวย — ของแข็งรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากด้านล่างของกรวยเมื่อสร้างส่วนที่ขนานกับฐาน

สรุปเกี่ยวกับหมวกทรงกลม

• หมวกทรงกลมเป็นทรงเรขาคณิตที่ได้มาเมื่อทรงกลมถูกหารด้วยระนาบ
• องค์ประกอบหลักของหมวกทรงกลม ได้แก่ รัศมีของทรงกลม รัศมีของทรงกลม และความสูงของทรงกลม
• หมวกทรงกลมไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยม แต่เป็นทรงกลม
• ถ้าระนาบแบ่งครึ่งทรงกลม หมวกทรงกลมจะกลายเป็นซีกโลก
• เป็นไปได้ที่จะคำนวณรัศมีของทรงกลมโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งจัดได้ดังนี้:

\(\ซ้าย (R-h\ขวา)^2+r^2=R^2\)

• พื้นที่ของทรงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

\(A=2\pi rh\ \)

• ปริมาตรของทรงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)

หมวกทรงกลมคืออะไร?

หมวกทรงกลม คือรูปทรงเรขาคณิตที่ได้รับเมื่อเป็นส่วนหนึ่งของ ลูกบอล ทั่วไป แบน. เมื่อเราตัดทรงกลมด้วยระนาบ เราจะแบ่งทรงกลมนี้ออกเป็นสองฝาทรงกลม เมื่อเราแบ่งครึ่งทรงกลม ฝาครอบทรงกลมจะเรียกว่าซีกโลก

องค์ประกอบหมวกทรงกลม

ในหมวกทรงกลม องค์ประกอบหลักคือรัศมีของทรงกลม รัศมีของทรงกลม และความสูงของทรงกลม

• R → รัศมีของทรงกลม
• r → รัศมีของทรงกลม
• h → ความสูงของทรงกลม

หมวกทรงกลมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือทรงกลมหรือไม่?

เราจะเห็นว่าหมวกเป็นรูปทรงเรขาคณิตทึบ เนื่องจากมีฐานกลมและพื้นผิวโค้งมน หมวกทรงกลมถือเป็น ตัวกลมซึ่งเรียกอีกอย่างว่าของแข็งของการปฏิวัติ. เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่า รูปทรงหลายเหลี่ยม มีใบหน้าที่เกิดจาก รูปหลายเหลี่ยมซึ่งไม่ใช่กรณีของหมวกทรงกลมซึ่งมีฐานเกิดจากก วงกลม.

จะคำนวณรัศมีของทรงกลมได้อย่างไร?

ในการคำนวณความยาวรัศมีของทรงกลม จำเป็นต้องทราบความยาวของความสูง h ของทรงกลมและความยาวของรัศมี R ของทรงกลมเนื่องจาก ดังที่เราเห็นในภาพต่อไปนี้ มีความสัมพันธ์แบบปีทาโกรัส

โปรดทราบว่าเรามี สามเหลี่ยมมุมฉาก, สามเหลี่ยม OO'B โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉากวัด R และขาวัด R – h และ r การใช้ ทฤษฎีบทปีทาโกรัส, เราต้อง:

\(\ซ้าย (R-h\ขวา)^2+r^2=R^2\)

ตัวอย่าง:

รัศมีของทรงกลมที่มีความสูง 2 ซม. กำหนดให้รัศมีของทรงกลมคือ 5 ซม.

ปณิธาน:

การใช้ความสัมพันธ์แบบพีทาโกรัส:

\(\ซ้าย (R-h\ขวา)^2+r^2=R^2\)

\(\ซ้าย (5-2\ขวา)^2+r^2=5^2\)

\(3^2+r^2=25\)

\(9+r^2=25\)

\(r^2=25-9\)

\(r^2=16\)

\(r=\sqrt{16}\)

\(r=4\)

วิธีการคำนวณพื้นที่ของหมวกทรงกลม?

ในการคำนวณพื้นที่ของหมวกทรงกลม จำเป็นต้องทราบการวัดความยาวของรัศมี R ของทรงกลมและความสูง h ของฝาครอบ. สูตรที่ใช้ในการคำนวณพื้นที่ผิวคือ:

\(A=2\pi Rh\)

• R → รัศมีของทรงกลม
• h → ความสูงของทรงกลม

ตัวอย่าง:

หมวกทรงกลมได้มาจากทรงกลมที่มีรัศมี 6 ซม. และสูง 4 ซม. แล้วพื้นที่ผิวของหมวกทรงกลมนี้คือเท่าใด?

ปณิธาน:

การคำนวณพื้นที่ของทรงกลมเรามี:

\(A=2\pi Rh\)

\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)

\(A=48\pi\ ซม.^2\)

จะคำนวณปริมาตรของทรงกลมได้อย่างไร?

ปริมาตรของหมวกทรงกลม สามารถคำนวณได้สองวิธี. สูตรแรกขึ้นอยู่กับรัศมี R ของทรงกลมและความสูง h:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)

ตัวอย่าง:

ปริมาตรของทรงกลมทรงกลมที่ได้จากทรงกลมรัศมี 8 ซม. ซึ่งมีความสูงของทรงกลมเท่ากับ 6 ซม. คือเท่าใด

ปณิธาน:

เนื่องจากเราทราบค่าของ R และ h เราจะใช้สูตรแรก

ร = 8

ชั่วโมง = 6

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)

\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)

\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)

\(V=12\pi\ซ้าย (18\ขวา)\)

\(V=216\pi\ cm^3\)

สูตรปริมาตรของทรงกลมอื่นๆ คำนึงถึงรัศมีของทรงกลม r และความสูงของฝาปิด h:

\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)

ตัวอย่าง:

ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี 10 ซม. และสูง 4 ซม. เป็นเท่าใด

ปณิธาน:

ในกรณีนี้ เรามี r = 10 ซม. และ h = 4 ซม. เมื่อเราทราบค่าของรัศมีของทรงกลมและความสูงแล้ว เราจะใช้สูตรที่สอง:

\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)

\(V=\frac{1264\pi}{6}\)

\(V\ประมาณ210.7\ \pi\ cm³\)

ดูเพิ่มเติม: ลำต้นของพีระมิด — ของแข็งรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดขึ้นจากด้านล่างของพีระมิดเมื่อตัดขวาง

แบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้วบนหมวกทรงกลม

คำถามที่ 1

(ศัตรู) ในการตกแต่งโต๊ะงานเลี้ยงของเด็ก ๆ พ่อครัวจะใช้แตงโมทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. ซึ่งจะทำหน้าที่เป็นตัวรองรับในการเสียบขนมต่างๆ เขาจะถอดฝาทรงกลมออกจากผลเมลอน ดังแสดงในรูป และเพื่อรับประกันความมั่นคงของส่วนรองรับนี้ ทำให้เมล่อนกลิ้งข้ามโต๊ะได้ยาก เชฟจะหั่นโดยให้รัศมี r ของส่วนที่ตัดเป็นวงกลมเป็นอย่างน้อย ลบ 3 ซม. ในทางกลับกัน เจ้านายจะต้องการพื้นที่มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในภูมิภาคที่จะโพสต์ขนม

เพื่อให้บรรลุวัตถุประสงค์ เชฟต้องตัดยอดเมลอนให้สูง h หน่วยเป็นเซนติเมตร เท่ากับ

ก) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)

ข)\( 10-\sqrt{91}\)

ค) 1

ง) 4

จ) 5

ปณิธาน:

อัลเทอร์เนทีฟซี

เรารู้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมคือ 10 ซม. ดังนั้นรัศมีของมันคือ 5 ซม. ดังนั้น OB = 5 ซม.

หากรัศมีของส่วนเท่ากับ 3 ซม. เรามี:

AO² +AB² = OB²

AO² + 3² = 5²

AO² + 9 = 25

AO² = 25 – 9

AO² = 16

อ่าว = \(\sqrt{16}\)

AO = 4 ซม

ดังนั้น:

ชั่วโมง + 4 = 5

ชั่วโมง = 5 – 4

ชั่วโมง = 1

คำถามที่ 2

ทรงกลมมีพื้นที่ 144π cm² รู้ว่ามีรัศมี 9 ซม. ความสูงของหมวกทรงกลมนี้คือ:

ก) 8 ซม

ข) 10 ซม

ค) 14 ซม

ง) 16 ซม

จ) 22 ซม

ปณิธาน:

ทางเลือก ก

เรารู้ว่า:

\(A=2\pi Rh\)

\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)

\(144\pi=18\pi ชั่วโมง\)

\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)

\(8=h\)

ความสูงอยู่ที่ 8 ซม.

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์

แหล่งที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm