สมการพีชคณิตประเภทพหุนามแสดงได้ดังนี้:
P(x) = ดิไม่xไม่ +... + ที่2x2 + ที่1x1 + ที่0
คือ
P(x) = 2x5 + 4x4 + 6x3 + 7x2 + 2x + 9
พหุนามทุกตัวมีค่าสัมประสิทธิ์และส่วนตามตัวอักษร สัมประสิทธิ์คือตัวเลขและส่วนตามตัวอักษรคือตัวแปร
พหุนามประกอบด้วยโมโนเมียมและโมโนเมียมแต่ละตัวถูกสร้างขึ้นโดยผลคูณของตัวเลขที่มีตัวแปร ดูโครงสร้างโมโนเมียมด้านล่าง:
โมโนเมียล
ดิ1. x1 → ที่1 = สัมประสิทธิ์
→x1 = ส่วนตามตัวอักษร
พหุนามทุกตัวมีดีกรี ดีกรีของพหุนามที่สัมพันธ์กับตัวแปรจะเป็นค่าสูงสุดของเลขชี้กำลังที่อ้างอิงถึงส่วนตามตัวอักษร สัมประสิทธิ์ที่โดดเด่นคือค่าตัวเลขที่มาพร้อมกับส่วนตามตัวอักษรที่มีระดับสูงกว่า
เพื่อระบุระดับของตัวแปร เราสามารถใช้สองวิธี:
อันแรกพิจารณาดีกรีทั่วไปของพหุนาม และอันที่สองพิจารณาดีกรีที่สัมพันธ์กับตัวแปร
ที่จะได้รับ ดีกรีทั่วไปของพหุนามเราต้องพิจารณาว่าโมโนเมียมแต่ละตัวของพหุนามมีดีกรีของมัน ซึ่งกำหนดได้จากผลรวมของเลขชี้กำลังของเทอมที่ประกอบขึ้นเป็นส่วนตามตัวอักษร ดูตัวอย่าง:
2xy + 1x3 + 1xy4 → พหุนาม
2xy → โมโนเมียมของดีกรี 2 เนื่องจากตัวแปร x มีเลขชี้กำลัง 1 และตัวแปร y มีเลขชี้กำลัง 1 เมื่อบวกเลขชี้กำลังที่อ้างอิงถึงตัวแปร เราต้อง ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 2
1x3→ โมโนเมียม ของเกรด 3เนื่องจากตัวแปร x มีเลขชี้กำลัง 3
1xy4 → โมโนเมียมของดีกรี 5 เนื่องจากตัวแปร x มีดีกรี 1 และตัวแปร y มีดีกรี 4 เมื่อบวกเลขชี้กำลังที่อ้างอิงถึงตัวแปรที่เราต้อง ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 5
โอ ดีกรีทั่วไปของพหุนาม จะได้รับจากโมโนเมียมที่มีดีกรีสูงสุด ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 2xy + 1x3 + 1xy4 é 5.
ที่จะได้รับ ดีกรีของพหุนามที่สัมพันธ์กับตัวแปรเราต้องพิจารณาว่าระดับจะได้รับผ่านเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปรที่จะได้รับการแก้ไข สมมติว่าตัวแปรนี้เป็นเทอม x ของพหุนาม 2xy + 1x3 + 1xy4, เราต้อง:
2xy → โมโนเมียมของดีกรี 1 เนื่องจากระดับของเทอมพีชคณิตนี้ถูกกำหนดโดยเลขชี้กำลังของตัวแปร x
1x3→ โมโนเมียมของดีกรี 3 เนื่องจากดีกรีของเทอมพีชคณิตนี้ถูกกำหนดโดยเลขชี้กำลังของตัวแปร x
xy4→ โมโนเมียมของดีกรี 1 เนื่องจากดีกรีของเทอมพีชคณิตนี้ถูกกำหนดโดยเลขชี้กำลังของตัวแปร x
ดีกรีของพหุนาม 2xy + 1x3 + 1xy4é 3เนื่องจากเป็นระดับสูงสุดของพหุนามเมื่อเทียบกับตัวแปร x
ดูตัวอย่างด้านล่างเพื่อทำความเข้าใจวิธีที่เราได้รับดีกรีของพหุนามผ่านสองขั้นตอนนี้:
ตัวอย่าง 1
รับพหุนาม 5x8 + 10 ปี3x6 +2xy. ดีกรีของพหุนามที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร x คืออะไร และสัมประสิทธิ์เด่นของมันคืออะไร? ดีกรีของพหุนามสัมพันธ์กับตัวแปร y เป็นเท่าใด และสัมประสิทธิ์เด่นของมันคืออะไร? ดีกรีทั่วไปของพหุนามคืออะไร?
ตอบ
ขั้นแรก:คุณควรหาดีกรีของพหุนามที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร x. เราก็เลยต้องสมัคร กรณีที่สอง เพื่อหาดีกรีของพหุนาม 5x8+ 10y3x6+ 2xย.
อันดับแรก เราต้องพิจารณาแต่ละโมโนเมียมแยกกัน และประเมินระดับผ่านตัวแปร x
5x8→ เมื่อเทียบกับตัวแปร x ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 8
10ปี3x6 → เมื่อเทียบกับตัวแปร x ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 6
2xy → สำหรับตัวแปร x ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 1
เรามีดีกรีสูงสุดของพหุนาม 5x นั้น8 + 10 ปี3x6 + 2xy สัมพันธ์กับตัวแปร x คือ 8 และสัมประสิทธิ์เด่นคือ 5
ขั้นตอนที่สอง: ทีนี้ลองหาดีกรีของพหุนาม 5x8 + 10y3x6 + 2xy, สัมพันธ์กับตัวแปร y. มันเป็นไปตามโครงสร้างเดียวกับขั้นตอนก่อนหน้าสำหรับการระบุ ตอนนี้เราต้องพิจารณามันในความสัมพันธ์กับตัวแปร y
5x8 = 5x8y0→ เทียบกับตัวแปร y ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 0
10y3x6→ เทียบกับตัวแปร y ดีกรีเท่ากับ 3
2xy → สำหรับตัวแปร y ดีกรีเท่ากับ 1
เราก็ได้แล้วว่าดีกรีของพหุนามที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร y คือ 3 และสัมประสิทธิ์เด่นของมันคือ 10
ขั้นตอนที่สาม: ตอนนี้เราต้องระบุระดับทั่วไปของพหุนาม 5x8 + 10y3x6+ 2เอ็กซ์, สำหรับสิ่งนี้เราพิจารณาโมโนเมียมแต่ละอันแยกกันและเพิ่มเลขชี้กำลังที่อ้างถึงส่วนตามตัวอักษร ดีกรีของพหุนามจะเป็นดีกรีของโมโนเมียลที่ใหญ่ที่สุด
5x8 = 5x8y0→ 8 + 0 = 8. ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 8
10y3x6 → 3 + 6 = 9.ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 9
2xy → 1 + 1 = 2. ดีกรีของโมโนเมียมนี้คือ 2
เรามีดีกรีของพหุนามนี้คือ 8
แนวคิดเกี่ยวกับดีกรีของพหุนามเป็นพื้นฐานสำหรับเราในการทำความเข้าใจว่า a พหุนามรวม.
ตามคำจำกัดความ เราต้อง: โอ พหุนามรวม เกิดขึ้นเมื่อสัมประสิทธิ์ที่มาพร้อมกับส่วนตัวอักษรระดับสูงสุดที่สัมพันธ์กับตัวแปรคือ 1 ระดับนี้กำหนดโดยโมโนเมียม ดิไม่xไม่, ที่ไหน ดิไม่ คือสัมประสิทธิ์เด่นที่จะเท่ากับ 1 เสมอ และดีกรีของพหุนามมอบให้โดย xไม่,ซึ่งจะเป็นเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของพหุนามเสมอเมื่อเทียบกับตัวแปร
พหุนามรวม
P(x) = 1xไม่ +... + ที่2x2 + ที่1x1 + ที่0
การเป็นไม่ =1 และ xไม่ เป็นส่วนที่มีระดับสูงสุดของพหุนาม
บันทึก ตลอด พหุนามรวม เราประเมินระดับที่สัมพันธ์กับตัวแปรเสมอ
ตัวอย่าง 2
ระบุระดับของพหุนามหน่วยด้านล่าง:
ก) P(x) = x3 + 2x2 + 1 ข) P(y) = 2y6 + y5 – 16 ค) P(z) = z9
ตอบ
ก) P(x) = 1x3+ 2x2 + 1. ดีกรีของพหุนามนี้ต้องสัมพันธ์กับตัวแปร x ระดับสูงสุดที่สัมพันธ์กับตัวแปรนี้คือ 3 และสัมประสิทธิ์ของมันคือ 1 ซึ่งถือเป็นสัมประสิทธิ์เด่น ดังนั้นพหุนาม P(x) จึงเป็นหน่วยเดียว
ข) P(y) = 2y6 + y5 – 16. ดีกรีของพหุนามเทียบกับตัวแปร y คือ 6 สัมประสิทธิ์ที่มาพร้อมกับส่วนตามตัวอักษรที่อ้างถึงดีกรีนี้คือ 2 ซึ่งสัมประสิทธิ์นี้แตกต่างจาก 1 ดังนั้นพหุนามจึงไม่ถือว่ารวมกันเป็นหนึ่ง
ค) P(z) = z9. ดีกรีคือ 9 และสัมประสิทธิ์สัมพันธ์กับระดับสูงสุดของตัวแปร z คือ 1 ดังนั้นพหุนามนี้เป็นเอกภาพ
ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomio-unitario.htm