ดีเทอร์มิแนนต์: วิธีการคำนวณ คุณสมบัติ ตัวอย่าง

โอ ดีเทอร์มิแนนต์ ของ สำนักงานใหญ่ มีหลายแอพพลิเคชั่นในปัจจุบัน. เราใช้ดีเทอร์มีแนนต์เพื่อตรวจสอบว่าจุดสามจุดอยู่ในแนวระนาบคาร์ทีเซียนหรือไม่ to คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม สำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นตรง ในการใช้งานอื่นๆ ใน คณิตศาสตร์ การศึกษาดีเทอร์มิแนนต์ ไม่จำกัดคณิตศาสตร์มีการประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์บางอย่างเช่นการศึกษาสนามไฟฟ้า

เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้นนั่นคือ เมทริกซ์ซึ่งจำนวนคอลัมน์และจำนวนแถวเท่ากัน ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ เราต้องวิเคราะห์ลำดับของมัน นั่นคือ ถ้ามันคือ 1x1 2x2, 3x3 และอื่น ๆ ยิ่งคำสั่งซื้อของคุณสูงเท่าไหร่ก็ยิ่งหาได้ยากขึ้นเท่านั้น ดีเทอร์มิแนนต์ อย่างไรก็ตาม มีวิธีการที่สำคัญในการออกกำลังกาย เช่น กฎของซาร์รัสใช้ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 3x3

อ่านด้วย: กระบวนการแก้ระบบเชิงเส้น m x nn

การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับ 2

ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ของคำสั่ง 1

อาร์เรย์เรียกว่าคำสั่ง 1 เมื่อมี when แถวและคอลัมน์. เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น เมทริกซ์มี องค์ประกอบเดียว, a₁₁. ในกรณีนี้ ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ตรงกับเทอมเดียว

A = (a₁₁)

det(A) = |₁₁ | = the₁₁

ตัวอย่าง:

เอ = [2]

det(A) = |2| = 2

ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับ 1 จำเป็นต้องรู้องค์ประกอบเดียวของพวกมันเท่านั้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ 2

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2x2 หรือที่เรียกว่าเมทริกซ์ลำดับ 2 มี ธาตุทั้งสี่ในกรณีนี้ ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ จำเป็นต้องรู้ว่า. คืออะไร เส้นทแยงมุมหลัก และ เส้นทแยงมุมรอง

ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ 2 เราคำนวณความแตกต่าง ป้อนผลิตภัณฑ์ของเงื่อนไขของ เส้นทแยงมุมหลัก และข้อกำหนดของ เส้นทแยงมุมรอง. ใช้ตัวอย่างพีชคณิตที่เราสร้างขึ้น det (A) จะเป็น:

ตัวอย่าง:

ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ของคำสั่ง 3

ลำดับสามเมทริกซ์คือ ลำบากมากขึ้น เพื่อให้ได้ดีเทอร์มีแนนต์มากกว่าอันที่แล้ว อันที่จริง ยิ่งลำดับของเมทริกซ์มากเท่าไหร่ งานนี้จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น มันเป็นสิ่งจำเป็น ใช้สิ่งที่เรารู้เป็น กฎของซาร์รัส.

• กฎของซาร์รัส

กฎของซาร์รัสเป็นวิธีคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับ 3 จำเป็นต้องทำตามขั้นตอนไม่กี่ขั้นตอนเป็นคนแรก ทำซ้ำสองคอลัมน์แรกที่ส่วนท้ายของเมทริกซ์ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้

ไปกันเถอะ คูณเทอมของเส้นทแยงมุมทั้งสามแต่ละเส้น ซึ่งอยู่ในทิศทางเดียวกับเส้นทแยงมุมหลัก

เราจะทำกระบวนการที่คล้ายกันกับเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและเส้นทแยงมุมอีกสองเส้นที่อยู่ในทิศทางเดียวกับเส้นทแยงมุม

โปรดทราบว่า เงื่อนไขของเส้นทแยงมุมรองจะมาพร้อมกับเครื่องหมายลบเสมอนั่นคือเราจะเปลี่ยนเครื่องหมายของผลลัพธ์ของการคูณเงื่อนไขในแนวทแยงรองเสมอ

ตัวอย่าง:

ดูด้วย: ทฤษฎีบทของ Binet - กระบวนการเชิงปฏิบัติสำหรับการคูณเมทริกซ์

คุณสมบัติของตัวกำหนด

• ทรัพย์สินที่ 1

หากเส้นใดเส้นหนึ่งของเมทริกซ์เท่ากับ 0 ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับ 0

ตัวอย่าง:

• ทรัพย์สินที่ 2

ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์สองตัว det (A·B) = det (A) · det (B)

ตัวอย่าง:

การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ที่แยกจากกัน เราต้อง:

det (A) = 2 · (-6) – 5 · 3
det (A) = -12 – 15 = -27

เดต (B) = 4 · 1 – 2 · (-2)
เดต (B) = 4 + 4 = +8

ดังนั้น det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216

ทีนี้มาคำนวณเดต (A·B)

• ทรัพย์สินที่ 3

ให้ A เป็นเมทริกซ์และ A' เป็นเมทริกซ์ใหม่ที่สร้างขึ้นโดยสลับแถวของเมทริกซ์ A จากนั้น det (A') = -det (A) หรือ นั่นคือ เมื่อกลับตำแหน่งของเส้นเมทริกซ์ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะมีค่าเท่ากัน แต่มีเครื่องหมาย แลกเปลี่ยน

ตัวอย่าง:

• ทรัพย์สินที่ 4

เส้นเท่ากันหรือ สัดส่วน ทำให้ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์เท่ากับ 0

ตัวอย่าง:

โปรดทราบว่าในเมทริกซ์ A เทอมในแถวที่สองมีค่าเป็นสองเท่าของเทอมในแถวที่หนึ่ง

เข้าถึงด้วย:การประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการสอบเข้า

แบบฝึกหัดแก้ไข

คำถามที่ 1 - (Vunesp) พิจารณาเมทริกซ์ A และ B กำหนดค่าของ det (A·B):

ถึง 1

ข) 6

ค) 10

ง) 12

จ) 14

ความละเอียด

ทางเลือก E

เรารู้ว่า det (A·B) = det (A) · det (B):

det (A) = 1 · 4 – 2 · 3 = 4 – 6 = -2
det (B) = -1 · 1 – 3 · 2 = -1 – 6 = -7

ดังนั้นเราต้อง:
det (A·B) = det (A) · det (B)
det (A·B) = -2 (-7) = 14

คำถามที่ 2 - จากเมทริกซ์ A ค่าของ x ต้องเป็นเท่าใดจึงจะเท่ากับ det(A) จึงจะเท่ากับ 0

ก) 1/2

ข) 1/3

ค) 1/9

ง) 3
จ) 9

ความละเอียด

ทางเลือก B

การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของ A เราต้อง:

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm