คำนวณ แฟกทอเรียล ของตัวเลขนั้นสมเหตุสมผลเมื่อเราทำงานกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น การดำเนินการนี้พบได้ทั่วไปใน การวิเคราะห์เชิงผสมอำนวยความสะดวกในการคำนวณการจัดเตรียม การเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน และปัญหาอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการนับ แฟกทอเรียลคือ แสดงด้วยสัญลักษณ์ “!” เรานิยามมันเป็น n! (n แฟคทอเรียล) ถึง การคูณ n โดยบรรพบุรุษทั้งหมด จนกว่าจะถึง 1 ไม่! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
อ่านด้วย: หลักการพื้นฐานของการนับ - แนวคิดหลักของการวิเคราะห์เชิงผสม
แฟคทอเรียลคืออะไร?
แฟกทอเรียลเป็นการดำเนินการที่สำคัญมากสำหรับการศึกษาและพัฒนาการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน ในวิชาคณิตศาสตร์ ตามด้วย เครื่องหมายอัศเจรีย์ (!) เรียกว่า factorial เช่น x! (x แฟคทอเรียล).
เรารู้ว่าเป็นแฟกทอเรียลของ a เลขธรรมชาติ คูณจำนวนนี้กับรุ่นก่อนยกเว้นศูนย์, กล่าวคือ:
ไม่! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 |
เป็นที่น่าสังเกตว่า เพื่อให้การดำเนินการนี้สมเหตุสมผล n เป็นจำนวนธรรมชาตินั่นคือ เราไม่คำนวณแฟกทอเรียลของจำนวนลบ หรือแม้แต่เลขทศนิยมหรือเศษส่วน
การคำนวณแบบแฟกทอเรียล
ในการหาแฟกทอเรียลของตัวเลข ให้คำนวณผลคูณ ให้สังเกตด้วยว่าแฟกทอเรียลคือการดำเนินการที่เมื่อ
เพิ่มค่าของ n ผลลัพธ์ก็จะเพิ่มขึ้นมากเช่นกัน.ตัวอย่าง:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
ตามคำจำกัดความ เรามี:
0! = 1
1! = 1
การดำเนินงานแฟกทอเรียล
ในการแก้ปัญหาการดำเนินการแบบแฟคทอเรียล สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังไม่ให้ทำผิดพลาด เมื่อเราจะบวก ลบ หรือคูณแฟกทอเรียลสองตัว จำเป็นต้องคำนวณแต่ละแฟกทอเรียลแยกกัน เฉพาะแผนกเท่านั้นที่มีวิธีการเฉพาะในการทำให้เข้าใจง่าย อย่าทำผิดพลาดในการดำเนินการและรักษาแฟคทอเรียลไว้สำหรับการบวกและการลบหรือการคูณ
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
เมื่อแก้การดำเนินการใดๆ เหล่านี้ เราต้องคำนวณแฟกทอเรียลแต่ละตัว
ตัวอย่าง:
ก) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
ข) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
ค) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
ดูด้วย: จะแก้สมการด้วยแฟกทอเรียลได้อย่างไร?
การลดความซับซ้อนของแฟคทอเรียล
ดิวิชั่นค่อนข้างซ้ำซาก ในสูตรของ การรวมกันการจัดเรียงและการเรียงสับเปลี่ยนด้วยการทำซ้ำ เราจะใช้วิธีการทำให้เข้าใจง่ายเพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแฟคทอเรียล ให้ทำตามขั้นตอนบางอย่าง
ตัวอย่าง:
ขั้นตอนที่ 1: ระบุแฟกทอเรียลที่ใหญ่ที่สุด — ในกรณีนี้ มันคือ 8! ทีนี้ ดูที่ตัวส่วนซึ่งก็คือ 5!, ลองเขียนการคูณของ 8 ด้วยตัวคูณของมันกันจนกว่าเราจะถึง 5!
แฟกทอเรียลของจำนวน n นั่นคือ n! สามารถเขียนใหม่เป็นการคูณของ n ถึง k! ดังนั้น
ไม่! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k! มาเขียน 8 กันใหม่! ชอบการคูณจาก 8 เป็น 5!.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
ลองเขียนเหตุผลใหม่เป็น:
ขั้นตอนที่ 2: หลังจากเขียนใหม่ เหตุผลเป็นไปได้ที่จะทำให้ตัวเศษง่ายขึ้นด้วยตัวส่วนตั้งแต่ 5! มันอยู่ในทั้งตัวเศษและตัวส่วน หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย ให้ทำการคูณ
ตัวอย่างที่ 2:
การวิเคราะห์เชิงผสมและปัจจัย
เมื่อดำเนินการ ศึกษาเพิ่มเติมในการวิเคราะห์เชิงผสม แฟกทอเรียลของตัวเลขจะปรากฏขึ้นเสมอ. การจัดกลุ่มหลักในการวิเคราะห์เชิงผสม ซึ่งได้แก่ การเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน และการจัดเรียง ใช้แฟกทอเรียลของตัวเลขในสูตร
การเปลี่ยนแปลง
THE การเปลี่ยนแปลง และ การเรียงลำดับองค์ประกอบทั้งหมดของชุด ในการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน เราใช้แฟกทอเรียล เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงขององค์ประกอบ n คำนวณโดย:
พีไม่ = น!
ตัวอย่าง:
เท่าไหร่ แอนนาแกรม เราสามารถสร้างด้วยชื่อ HEITOR ได้หรือไม่?
นี่เป็นปัญหาการเรียงสับเปลี่ยนทั่วไป เนื่องจากมีตัวอักษร 6 ตัวในชื่อ ในการคำนวณจำนวนแอนนาแกรมที่เป็นไปได้ ให้คำนวณ P6.
พี6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
เข้าถึงด้วย: การเปลี่ยนแปลงด้วยองค์ประกอบซ้ำ ๆ: จะแก้ไขได้อย่างไร?
การจัดเตรียม
คำนวณ การเตรียมการ มันยังต้องการการเข้าใจแฟกทอเรียลของตัวเลขด้วย การจัดเรียง เช่นเดียวกับการเรียงสับเปลี่ยน คือการจัดลำดับใหม่ ความแตกต่างคือ ในการจัดเรียง เรากำลังจัดลำดับส่วนของชุดใหม่นั่นคือเราต้องการทราบว่าเราสามารถจัดลำดับใหม่ได้กี่ครั้งโดยเลือกปริมาณ k ของหนึ่ง ชุด ด้วยองค์ประกอบ n
ตัวอย่าง:
ในบริษัทแห่งหนึ่ง มีผู้สมัครรับเลือกตั้งเป็นผู้บริหารสถาบันจำนวน 6 คน และจะคัดเลือกอีก 2 คนสำหรับตำแหน่งกรรมการและรองผู้อำนวยการ รู้ว่าจะมาจากการเลือกตั้ง ผลคะแนนจะออกมามากน้อยแค่ไหน?
ในกรณีนี้ เราจะคำนวณการจัดเรียง 6 ตัวจาก 2 คูณ 2 เนื่องจากมีผู้สมัคร 6 ตำแหน่งสำหรับตำแหน่งงานว่างสองตำแหน่ง
การรวมกัน
ในการรวมกันนั้น คุณจำเป็นต้องเข้าใจแฟกทอเรียลของตัวเลข เรากำหนดเป็นชุดค่าผสม คุณ เซตย่อยของเซต. ความแตกต่างคือ เมื่อรวมกันแล้ว จะไม่มีการเรียงลำดับใหม่ เนื่องจาก ลำดับไม่สำคัญ. ดังนั้นเราจึงกำลังคำนวณจำนวนชุดย่อยที่มีองค์ประกอบ k ที่เราสามารถสร้างในชุดขององค์ประกอบ n
ตัวอย่าง:
โดยจะคัดเลือกคณะกรรมการนักเรียนจำนวน 3 คน เพื่อเป็นตัวแทนของชั้นเรียน รู้ว่ามีผู้สมัคร 5 คน สามารถสร้างคอมมิชชั่นได้เท่าไหร่?
อ่านด้วย: การจัดหรือการรวมกัน?
แบบฝึกหัดแก้ไข
คำถามที่ 1 - เกี่ยวกับแฟกทอเรียลของตัวเลข พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ผม). 0! + 1! = 2
ครั้งที่สอง) 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) มีเพียงฉันเท่านั้นที่เป็นความจริง
B) มีเพียง II เท่านั้นที่เป็นจริง
C) มีเพียง III เท่านั้นที่เป็นจริง
D) มีเพียง I และ II เท่านั้นที่เป็นจริง
E) มีเพียง II และ II เท่านั้นที่เป็นจริง
ความละเอียด
ทางเลือก ก.
ฉัน) จริง
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) เท็จ
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) เท็จ
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
คำถามที่ 2 - (UFF) สินค้า 20 · 18 · 16 · 14 … · 6 · 4 · 2 เทียบเท่ากับ?
ก) 20:2
ข) 2·10!
ค) 20:210
ง) 210· 10!
จ) 20!: 10!
ความละเอียด
ทางเลือก ง.
เมื่อพิจารณาผลคูณของเลขคู่ทั้งหมดตั้งแต่ 2 ถึง 20 เรารู้ว่า:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
เราก็เขียนใหม่ได้เป็น 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต
