ก สัมผัสกัน (เรียกโดยย่อว่า ทก หรือ ตาล) คือ ก ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. ในการกำหนดแทนเจนต์ของมุม เราสามารถใช้กลยุทธ์ต่างๆ ได้: คำนวณอัตราส่วนระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุม หากทราบ ใช้ตารางสัมผัสหรือเครื่องคิดเลข คำนวณอัตราส่วนระหว่างขาตรงข้ามและขาที่อยู่ติดกัน หากมุมดังกล่าวเป็นมุมภายใน (เฉียบพลัน) ของสามเหลี่ยมมุมฉาก และอื่นๆ
อ่านด้วย: วงกลมตรีโกณมิติใช้ทำอะไร?
สรุปเกี่ยวกับแทนเจนต์
แทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เส้นสัมผัสของมุมภายในกับสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด
แทนเจนต์ของมุมใดๆ คืออัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ของมุมนั้น
ฟังก์ชั่น \(f (x)=tg\ x\) ถูกกำหนดสำหรับมุม x แสดงเป็นเรเดียน เช่น cos \(คอส\ x≠0\).
กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์แสดงเส้นกำกับแนวตั้งสำหรับค่า โดยที่ \(x= \frac{π}2+kπ\), กับ เค ทั้งหมดเช่น \(x=-\frac{π}2\).
กฎของเส้นสัมผัสเป็นนิพจน์ที่เชื่อมโยงเส้นสัมผัสของสองมุมในรูปสามเหลี่ยมใดๆ และด้านตรงข้ามมุมเหล่านั้น
แทนเจนต์ของมุม
ถ้า α เป็นหนึ่ง มุม ภายในของ สามเหลี่ยมมุมฉากแทนเจนต์ของ α คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของขาตรงข้ามกับความยาวของขาข้างเคียง:
สำหรับมุม α ใดๆ ค่าแทนเจนต์คืออัตราส่วนระหว่างไซน์ α และโคไซน์ของ α โดยที่ \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
ควรสังเกตว่าถ้า α เป็นมุมในจตุภาคที่ 1 หรือ 3 เส้นสัมผัสจะมีเครื่องหมายบวก แต่ถ้า α เป็นมุมของจตุภาคที่ 2 หรือ 4 เส้นสัมผัสจะมีเครื่องหมายลบ ความสัมพันธ์นี้เป็นผลโดยตรงจากกฎเครื่องหมายระหว่างเครื่องหมายของไซน์และโคไซน์สำหรับแต่ละ α
สำคัญ: โปรดทราบว่าไม่มีแทนเจนต์สำหรับค่า α โดยที่ \(cos\ α=0\). สิ่งนี้เกิดขึ้นกับมุม 90°, 270°, 450°, 630° และอื่นๆ ในการแสดงมุมเหล่านี้โดยทั่วไป เราใช้สัญกรณ์เรเดียน: \(\frac{ π}2+kπ\), กับ เค ทั้งหมด.
แทนเจนต์ของมุมที่โดดเด่น
โดยใช้นิพจน์ \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)เราสามารถหาแทนเจนต์ของ มุมที่น่าทึ่งซึ่งก็คือมุม 30°, 45° และ 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
น่าสนใจ: นอกจากนี้ เราสามารถวิเคราะห์ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0° และ 90° ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน เนื่องจาก sin 0° = 0 เราจึงสรุปว่า tan 0° = 0 สำหรับมุม 90° เนื่องจาก cos90° = 0 จึงไม่มีเส้นสัมผัส
วิธีการคำนวณแทนเจนต์?
ในการคำนวณแทนเจนต์ เราใช้สูตร tg α=sin αcos α ซึ่งใช้สำหรับคำนวณแทนเจนต์ของมุมใดๆ ลองดูตัวอย่างด้านล่าง
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาแทนเจนต์ของมุม α ในสามเหลี่ยมมุมฉากด้านล่าง
ปณิธาน:
เกี่ยวกับมุม α ด้านของการวัด 6 คือด้านตรงข้ามและด้านของการวัด 8 คือด้านประชิด แบบนี้:
\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)
ตัวอย่างที่ 2
รู้ว่า \(บาป\ 35°≈0.573\) และคอส\(35°≈0,819\)ให้หาค่าโดยประมาณของเส้นสัมผัส 35°
ปณิธาน:
เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมนั้น เราจึงมี:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0.700\)
ฟังก์ชันสัมผัส
ฟังก์ชัน fx=tg x ถูกกำหนดสำหรับมุม x แสดงเป็นเรเดียน ดังนั้น \(คอส\ x≠0\). ซึ่งหมายความว่าโดเมนของฟังก์ชันแทนเจนต์แสดงโดย:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
อนึ่ง ทั้งหมด จำนวนจริง เป็นรูปของฟังก์ชันแทนเจนต์
→ กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์
โปรดทราบว่ากราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์มีเส้นกำกับแนวตั้งสำหรับค่าโดยที่ \(x= \frac{π}2+kπ\), กับ เค ทั้งหมดเช่น \( x=-\frac{π}2\). สำหรับค่าเหล่านี้ของ xไม่ได้กำหนดแทนเจนต์ (นั่นคือไม่มีแทนเจนต์)
ดูเพิ่มเติม: โดเมน เรนจ์ และอิมเมจคืออะไร
กฎของแทนเจนต์
กฎของแทนเจนต์คือก การแสดงออกที่เชื่อมโยงใน สามเหลี่ยม ใด ๆ แทนเจนต์ของสองมุมและด้านตรงข้ามมุมเหล่านั้น. ตัวอย่างเช่น พิจารณามุม α และ β ของสามเหลี่ยม ABC ด้านล่าง โปรดทราบว่าด้าน CB = a อยู่ตรงข้ามมุม α และด้าน AC = b อยู่ตรงข้ามกับมุม β
กฎของแทนเจนต์ระบุว่า:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
ถึง อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ทำงานบนสามเหลี่ยมมุมฉาก เราตีความอัตราส่วนเหล่านี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมประเภทนี้
แก้แบบฝึกหัดบนแทนเจนต์
คำถามที่ 1
ให้ θ เป็นมุมของจตุภาคที่สองที่เป็นบาป\(บาป\ θ≈0.978\)ดังนั้น tgθ จึงมีค่าประมาณ:
ก) -4,688
ข) 4,688
ค) 0.2086
ง) -0.2086
จ) 1
ปณิธาน
ทางเลือก ก
ถ้า \(บาป\ θ≈0.978\)จากนั้นใช้เอกลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติ:
\(บาป^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0.978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0.956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
เนื่องจาก θ เป็นมุมของจตุภาคที่สอง ดังนั้น cosθ จึงเป็นลบ ดังนั้น:
\(cos\ θ≈- 0.2086\)
เร็วๆ นี้:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)
คำถามที่ 2
พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีขา AB = 3 ซม. และ AC = 4 ซม. แทนเจนต์ของมุม B คือ:
ก) \(\frac{3}4\)
ข) \(\frac{3}5\)
ว) \(\frac{4}3\)
ง) \(\frac{4}5\)
และ) \(\frac{5}3\)
ปณิธาน:
อัลเทอร์เนทีฟซี
โดยคำสั่งขาตรงข้ามมุม \(\หมวก{B}\) คือ AC วัด 4 ซม. และขาติดกับมุม \(\หมวก{B}\) คือ AB โดยมีขนาด 3 ซม. แบบนี้:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
โดย Maria Luiza Alves Rizzo
ครูคณิต
