เมทริกซ์สมมาตร: มันคืออะไร, ตัวอย่าง, คุณสมบัติ

เมทริกซ์สมมาตร เป็น สำนักงานใหญ่ ซึ่งในแต่ละองค์ประกอบ \(a_{อิจ}\) มีค่าเท่ากับองค์ประกอบ \(a_{จิ}\) สำหรับค่าทั้งหมดของ i และ j ดังนั้น เมทริกซ์สมมาตรทุกตัวจึงเท่ากับทรานสโพสของมัน นอกจากนี้ยังเป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่าทุกเมทริกซ์สมมาตรเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเส้นทแยงมุมหลักทำหน้าที่เป็นแกนสมมาตร

อ่านด้วย:การบวกและการลบเมทริกซ์ - วิธีการคำนวณ?

นามธรรมเกี่ยวกับเมทริกซ์สมมาตร

• ในเมทริกซ์สมมาตร \(a_{ij}=a_{ji}\) สำหรับฉันและเจ

• ทุกเมทริกซ์สมมาตรเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

• ทุกเมทริกซ์สมมาตรมีค่าเท่ากับทรานสโพส

• องค์ประกอบของเมทริกซ์สมมาตรนั้นสมมาตรรอบเส้นทแยงมุมหลัก

• ในขณะที่อยู่ในเมทริกซ์สมมาตร \(a_{ij}=a_{ji}\) สำหรับฉันและเจ; ในเมทริกซ์แอนติสมมาตร \(a_{ij}=-a_{ji}\) สำหรับฉันและเจ

เมทริกซ์สมมาตรคืออะไร?

เมทริกซ์สมมาตรคือ เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยที่ \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) สำหรับทุก ๆ ฉันและทุก ๆ เจ. นี่หมายความว่า \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)และอื่น ๆ สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ i และ j โปรดจำไว้ว่าค่าที่เป็นไปได้ของ i สอดคล้องกับแถวของเมทริกซ์และค่าที่เป็นไปได้ของ j สอดคล้องกับคอลัมน์ของเมทริกซ์

• ตัวอย่างของเมทริกซ์สมมาตร

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

• ตัวอย่างของเมทริกซ์ที่ไม่สมมาตร (พิจารณา \(\mathbf{b≠g}\))

\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

สำคัญ: การบอกว่าเมทริกซ์ไม่สมมาตรหมายถึงการแสดงสิ่งนั้น \(a_{ij}≠a_{ji}\) อย่างน้อยสำหรับ i และ j (ซึ่งเราสามารถดูได้จากการเปรียบเทียบตัวอย่างก่อนหน้านี้) สิ่งนี้แตกต่างจากแนวคิดเมทริกซ์แอนติสมมาตรซึ่งเราจะเห็นในภายหลัง

คุณสมบัติของเมทริกซ์สมมาตรคืออะไร?

• ทุกเมทริกซ์สมมาตรเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

โปรดทราบว่าคำจำกัดความของเมทริกซ์สมมาตรขึ้นอยู่กับเมทริกซ์กำลังสอง ดังนั้น เมทริกซ์สมมาตรทุกอันจะมีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์

• ทุกเมทริกซ์สมมาตรมีค่าเท่ากับทรานสโพส

ถ้า A เป็นเมทริกซ์ ย้าย (\(อ^T\)) ถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์ที่มีแถวเป็นคอลัมน์ของ A และที่มีคอลัมน์เป็นแถวของ A ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร เราก็มี \(A=A^T\).

• ในเมทริกซ์สมมาตร องค์ประกอบต่างๆ จะ "สะท้อน" ตามเส้นทแยงมุมหลัก

เช่น \(a_{ij}=a_{ji}\) ในเมทริกซ์สมมาตร องค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักคือ "ภาพสะท้อน" ขององค์ประกอบด้านล่าง ของเส้นทแยงมุม (หรือกลับกัน) สัมพันธ์กับเส้นทแยงมุม เพื่อให้เส้นทแยงมุมหลักทำหน้าที่เป็นแกนของ สมมาตร.

อะไรคือความแตกต่างระหว่างเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์แอนติสมมาตร?

ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร \(a_{ij}=a_{ji}\) สำหรับทุกฉันและ j ทั้งหมดที่เราศึกษา ในกรณีของเมทริกซ์แอนติสมมาตร สถานการณ์จะแตกต่างออกไป ถ้า B เป็นเมทริกซ์แอนติสมมาตร \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) สำหรับทุก ๆ ฉันและทุก ๆ เจ.

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ส่งผลให้ \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), นั่นคือ, องค์ประกอบแนวทแยงหลักเป็นศูนย์. ผลที่ตามมาก็คือการทรานสโพสของเมทริกซ์แอนติสมมาตรจะเท่ากับสิ่งที่ตรงกันข้าม นั่นคือ ถ้า B เป็นเมทริกซ์แอนติสมมาตร \(B^T=-B\).

• ตัวอย่างของเมทริกซ์แอนติสมมาตร

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

ดูเพิ่มเติม: เมทริกซ์เอกลักษณ์ — เมทริกซ์ที่องค์ประกอบในแนวทแยงหลักมีค่าเท่ากับ 1 และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับ 0

แบบฝึกหัดแก้ไขบนเมทริกซ์สมมาตร

คำถามที่ 1

(ยูนิเซ็นโตร)

ถ้าเมทริกซ์ \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) มีความสมมาตร ดังนั้นค่าของ xy คือ

ก) 6

ข) 4

ค) 2

ง) 1

จ) -6

ปณิธาน:

ทางเลือก ก

หากเมทริกซ์ที่กำหนดเป็นแบบสมมาตร องค์ประกอบในตำแหน่งสมมาตรจะเท่ากัน (\(a_{ij}=a_{ji}\)). ดังนั้นเราจึงต้อง:

\(x = ย - 1\)

\(x + 5 = 7\)

แทนที่ครั้งแรก สมการ ในข้อที่สอง เราสรุปได้ว่า \(y=3\), เร็วๆ นี้:

\(x=2\) มันคือ \(xy=6\)

คำถามที่ 2

(UFSM) รู้ว่าเมทริกซ์ \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) เท่ากับทรานสโพส ค่าของ \(2x+y\) é:

ก) -23

ข) -11

ค) -1

ง) 11

จ) 23

ปณิธาน:

อัลเทอร์เนทีฟซี

เนื่องจากเมทริกซ์ที่กำหนดเท่ากับทรานสโพส มันจึงเป็นเมทริกซ์สมมาตร ดังนั้น องค์ประกอบในตำแหน่งสมมาตรจึงเท่ากัน (\(a_{ij}=a_{ji}\)), เช่น:

\(x^2=36\)

\(4-ย=-7\)

\(-30=5x\)

โดยสมการแรก x=-6 หรือ x=6. จากสมการที่สาม เราจะได้คำตอบที่ถูกต้อง: x= -6. โดยสมการที่สอง ย=11.

เร็วๆ นี้:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

โดย Maria Luiza Alves Rizzo
ครูคณิต

แหล่งที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm