เส้นแบ่งครึ่ง: มันคืออะไร, วิธีสร้างมัน, สมการ

เส้นแบ่งครึ่ง และ เส้นตั้งฉาก ไปยังส่วนที่ตัดกับจุดกึ่งกลาง เราสามารถสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน บน สามเหลี่ยม, เส้นแบ่งครึ่งคือเส้นที่ตั้งฉากกับด้านที่มีจุดกึ่งกลาง ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมจึงมีเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกันสามเส้น จุดที่เส้นแบ่งครึ่งเหล่านี้มาบรรจบกันเรียกว่า ศูนย์กลางของเส้นรอบวง และประกอบขึ้นเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม

อ่านด้วย: ระยะทางระหว่างจุดสองจุด — เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดในระนาบคาร์ทีเซียน

สรุปเกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

• เส้นแบ่งครึ่งคือ ตรง ตั้งฉากกับส่วนที่ผ่านจุดกึ่งกลาง

• จุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากอยู่ห่างจากจุดสิ้นสุดของส่วนเท่ากัน

• สามารถสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน

• สมการของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามารถกำหนดได้จากพิกัดของจุดสิ้นสุดของส่วน

• รูปสามเหลี่ยมมีเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้น หนึ่งเส้นแบ่งครึ่งด้าน

• จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมเรียกว่าจุดศูนย์กลาง จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม

• เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมแตกต่างจากค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงของสามเหลี่ยม

มีเดียทริกซ์คืออะไร?

กำหนดส่วน เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือเส้นที่ตั้งฉากกับ ส่วน ที่ขัดขวางคุณ จุดกึ่งกลาง.

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก m ตัดกับส่วน AB ที่จุดกึ่งกลาง M

ผลลัพธ์ที่สำคัญของคำจำกัดความนี้คือ จุดทั้งหมดบนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากมีระยะห่างเท่ากันจากจุดสิ้นสุดของส่วน. ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ถ้า AB เป็นส่วนและจุด P อยู่ในเส้นแบ่งครึ่ง ดังนั้น PA = PB

จุด P ของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก m อยู่ห่างจากจุดสิ้นสุดของส่วน AB เท่ากัน

จะสร้างเส้นแบ่งครึ่งได้อย่างไร?

เพื่อสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วน เราต้องการเพียงไม้บรรทัดและวงเวียน. ขั้นตอนการสร้างมีดังนี้

• ขั้นตอนที่ 1: กำหนดส่วน AB ให้เปิดเข็มทิศที่มีความยาวมากกว่าครึ่งหนึ่งของส่วน คำแนะนำ: ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งคือใช้ความยาวของส่วนเอง

เราเลือกขนาด CB สำหรับการเปิดเข็มทิศ

• ขั้นตอนที่ 2: วาดหนึ่ง เส้นรอบวง โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งของส่วนและรัศมีด้วยการวัดที่เลือกไว้ในขั้นตอนที่ 1

วงกลมที่มีศูนย์กลาง B และรัศมี CB

• ขั้นตอนที่ 3: ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 สำหรับส่วนอื่น ๆ ของส่วน

 วงกลมใหม่ที่มีศูนย์กลาง A และรัศมี CB

• ขั้นตอนที่ 4: เข้าร่วมจุดตัดของวงกลมด้วยไม้บรรทัด

เส้นที่เกิดขึ้นในขั้นตอนสุดท้ายคือเส้นแบ่งครึ่งของส่วน

จะหาสมการเส้นแบ่งครึ่งได้อย่างไร?

เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากเป็นเส้นตรง เราจึงกำหนด a ได้ สมการ ที่อธิบายประเด็นของคุณเป็น ร บรรทัดที่มีส่วน เอบี ให้ไป ส เส้นแบ่งครึ่งของส่วนนี้และ พี (x, y) จุดใดๆ บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

สมมติว่าพิกัดของจุด ก มันคือ ข เป็นที่รู้จัก เราสามารถหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมได้ น ของตรง ร. เช่น ร มันคือ ส ตั้งฉาก, ความชัน ม ของตรง ส (เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก) ได้ด้วย เนื่องจากมันตรงกันข้ามกับอินเวอร์สการคูณของ น. การใช้นิพจน์สำหรับสมการพื้นฐานของเส้น \(y-y_0=m (x-x_0 )\)เกี่ยวกับอะไร \(ม(x\_0,y\_0)\) เป็นจุดกึ่งกลางของ เอบีเราได้สมการเส้นแบ่งครึ่งเรียบร้อยแล้ว

• ตัวอย่าง:

กำหนดสมการครึ่งวงกลมของส่วนที่กำหนดโดยจุด A(1,2) และ B(3,6)

ปณิธาน:

อันดับแรก มารับความชันกันก่อน น ของตรง ร ที่มีส่วน เอบี:

\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)

ตอนนี้เรามองหาจุดกึ่งกลาง M ของกลุ่ม เอบี:

\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)

จำไว้ว่าเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ส ต้องการตั้งฉากกับเส้น ร (ซึ่งประกอบด้วยส่วน เอบี). จากนั้น ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ม ของตรง ส และสัมประสิทธิ์เชิงมุม น ของตรง ร มีความเกี่ยวข้องกันดังนี้

\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)

ดังนั้น, \( m_s=\frac{-1}2\).

สุดท้าย เราใช้สมการพื้นฐานของเส้นตรงเพื่อกำหนดเส้นแบ่งครึ่ง s ซึ่งเป็นเส้นที่มีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}2\) และผ่านจุด (2,4):

\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)

\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)

\(y=-\frac{1}2 x+5\)

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรง ดังนั้น คำว่า "เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม" จึงหมายถึงเส้นแบ่งครึ่งของด้านใดด้านหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ดังนั้น, สามเหลี่ยมมีสามเส้นแบ่งครึ่ง. ดูด้านล่าง:

 ตรง \(m_1\), \(m_2\) มันคือ \(m_3\) เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

จุดที่เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมาบรรจบกันเรียกว่าจุดศูนย์กลางเนื่องจากเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม (นั่นคือ วงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม)

จุด D เรียกว่าศูนย์กลาง

สำคัญ:เนื่องจากเส้นรอบวงเป็นจุดร่วมของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจุด ระยะห่างจากจุดยอดแต่ละจุดจึงเท่ากัน ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ถ้า ง เป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม เอบีซี, แล้ว \(โฆษณา=BD=ซีดี\).

ความแตกต่างระหว่างเส้นแบ่งครึ่ง เส้นมัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงของสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่ง มัธยฐาน แบ่งครึ่ง และความสูงของสามเหลี่ยมเป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน มาดูทีละตัวแล้วกัน

• เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม: คือเส้นที่ตั้งฉากกับด้านใดด้านหนึ่งที่ตัดกับจุดกึ่งกลาง

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

• ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม: คือส่วนที่มีจุดสิ้นสุดที่จุดยอดของสามเหลี่ยมและที่จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามกับจุดยอด

 ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

• เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม: เป็นส่วนที่แบ่งออกครึ่งหนึ่งของ มุม ด้านของสามเหลี่ยม โดยมีจุดสิ้นสุดที่จุดยอดด้านหนึ่งและด้านตรงข้าม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

• ความสูงของสามเหลี่ยม: คือส่วนที่ตั้งฉากกับด้านใดด้านหนึ่งโดยมีปลายทำมุมตรงข้ามกับด้านนั้น

ความสูงของสามเหลี่ยม

ในภาพต่อไปนี้ เราเน้นความสูง (เส้นประสีส้ม) ซึ่งสัมพันธ์กับส่วน BC ของสามเหลี่ยม แบ่งครึ่ง (เส้นประสีม่วง) ค่ามัธยฐาน (เส้นประสีเขียว) และแบ่งครึ่งตั้งฉาก (เส้นทึบใน สีแดง).

การเปรียบเทียบระหว่างความสูง เส้นแบ่งครึ่ง มัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

สำคัญ: บน สามเหลี่ยมด้านเท่านั่นคือ ซึ่งมีด้านสามด้านและมุมสามมุมเท่ากัน เส้นแบ่งครึ่ง มัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงตรงกัน ด้วยเหตุนี้ การ จุดที่น่าสังเกตของรูปสามเหลี่ยม (circumcenter, barycenter, incenter และ orthocenter) ก็ตรงกันเช่นกัน ในภาพด้านล่าง เราเน้นในส่วนที่เกี่ยวข้องกับส่วน BC, แบ่งครึ่ง, ค่ามัธยฐาน, แบ่งครึ่งและความสูงในเส้นสีดำต่อเนื่อง จุด E ที่ไฮไลท์จึงเป็นจุดกึ่งกลางเส้นรอบวง จุดกึ่งกลาง ตรงกลาง และจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม ABC

ดูเพิ่มเติม: ความสัมพันธ์เมตริกในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ถูกจารึกไว้ — คืออะไร?

แก้แบบฝึกหัดเรื่องเส้นแบ่งครึ่ง

คำถามที่ 1

พิจารณาข้อความด้านล่าง

ฉัน. เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมคือส่วนที่เริ่มต้นที่จุดยอดและตัดผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

ครั้งที่สอง จุดที่เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมาบรรจบกันเรียกว่าจุดศูนย์กลาง จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมและห่างจากจุดยอดเท่ากัน

สาม. เส้นแบ่งครึ่งของเซ็กเมนต์คือเส้นตั้งฉากที่ตัดเซ็กเมนต์ที่จุดกึ่งกลาง

ตัวเลือกใดมีทางเลือกที่ถูกต้อง

ก) ฉันเท่านั้น

B) II เท่านั้น

C) III เท่านั้น

D) ฉันและ II

จ) II และ III

ปณิธาน:

ทางเลือกอี

คำสั่ง I เป็นคำสั่งเดียวที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจากอธิบายค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

คำถามที่ 2

(ศัตรู — ดัดแปลง) ในช่วงไม่กี่ปีมานี้ โทรทัศน์ได้ผ่านการปฏิวัติอย่างแท้จริงในแง่ของคุณภาพของภาพ เสียง และการโต้ตอบกับผู้ชม การแปลงนี้เกิดจากการแปลงสัญญาณแอนะล็อกเป็นสัญญาณดิจิทัล อย่างไรก็ตาม หลายเมืองยังไม่มีเทคโนโลยีใหม่นี้ เพื่อแสวงหาผลประโยชน์เหล่านี้ไปยังสามเมือง สถานีโทรทัศน์แห่งหนึ่งตั้งใจที่จะสร้างหอส่งสัญญาณใหม่ที่ส่งสัญญาณไปยังเสาอากาศ A, B และ C ซึ่งมีอยู่แล้วในเมืองเหล่านี้ ตำแหน่งเสาอากาศจะแสดงในระนาบคาร์ทีเซียน:

หอคอยจะต้องอยู่ห่างจากเสาอากาศสามเสาในระยะเท่ากัน สถานที่ที่เหมาะสมในการก่อสร้างหอนี้ตรงกับจุดพิกัด

ก) (65, 35).

ข) (53, 30).

ค) (45, 35).

ง) (50, 20).

จ) (50, 30).

ปณิธาน:

ทางเลือกอี

โปรดทราบว่าตำแหน่งของหอคอยจะต้องเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุด A, B และ C เนื่องจากเป็นตำแหน่งที่เท่ากันของเสาอากาศทั้งสาม

พิกัด T tower ค่ะ\( (x_t, y_t )\). เนื่องจาก T เป็นของเส้นแบ่งครึ่งของ AB (กำหนดโดยเส้น x = 50) ตำแหน่งแนวนอนของหอคอยจึงต้องเป็น \(x_t=50\).

เพื่อกำหนดพิกัดแนวนอน \(y_t\) ของหอคอย เราสามารถใช้นิพจน์สำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดได้สองครั้ง เนื่องจากหอคอยมีระยะห่างเท่ากัน เช่น จากจุด A และ C (AT = CT) เราจึงมี:

\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)

ทำให้ง่ายขึ้น เราได้รับ \(y_t=30\).

โดย Maria Luiza Alves Rizzo
ครูคณิต