อ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายเช่นเดียวกับความแปรปรวนและค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เมื่อกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราสามารถสร้างช่วงรอบค่าเฉลี่ยเลขคณิต (การหารระหว่างผลรวมของตัวเลขในรายการกับจำนวนที่เพิ่ม) ซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่กระจุกตัวอยู่ ยิ่งค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยิ่งมาก ความแปรปรวนของข้อมูลก็จะยิ่งมากขึ้น นั่นคือ ความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
อ่านด้วย: โหมด ค่าเฉลี่ย และค่ามัธยฐาน — มาตรการหลักของแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
สรุปส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัววัดความแปรปรวน
- สัญกรณ์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็ก sigma (σ) หรือตัวอักษร s
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้เพื่อตรวจสอบความแปรปรวนของข้อมูลรอบค่าเฉลี่ย
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำหนดช่วง \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\)ซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่ตั้งอยู่
- ในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราต้องหารากที่สองของความแปรปรวน:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร?
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ a การวัดการกระจายที่ใช้ในสถิติ. การใช้งานเชื่อมโยงกับ การตีความความแปรปรวนซึ่งเป็นการวัดการกระจายตัวด้วย
ในทางปฏิบัติ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน กำหนดช่วงเวลาโดยเน้นที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่มีความเข้มข้น. ดังนั้น ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่ามากเท่าใด ความผิดปกติของข้อมูลก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น (ข้อมูลเพิ่มเติม heterogeneous) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยิ่งน้อย ความผิดปกติของข้อมูลก็จะยิ่งน้อยลง (ข้อมูลเพิ่มเติม เป็นเนื้อเดียวกัน).
จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้อย่างไร?
ในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล เราต้องหารากที่สองของความแปรปรวน. ดังนั้นสูตรการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง
- μ → ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล
- N → จำนวนข้อมูล
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right )^2+\left (x_3-\mu\right)^2+...+\left (x_N-\mu\right)^2 \)
รายการสุดท้ายซึ่งอ้างอิงถึงตัวเศษของเครื่องหมายถูกแยกออกจากกัน ระบุผลรวมของกำลังสองของผลต่างระหว่างจุดข้อมูลแต่ละจุดกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต โปรดทราบว่า หน่วยวัดสำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหน่วยวัดเดียวกับข้อมูล x1,x2,x3,…,xเลขที่.
แม้ว่าการเขียนสูตรนี้จะค่อนข้างซับซ้อน แต่การใช้งานนั้นง่ายกว่าและตรงกว่า ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้นิพจน์นี้เพื่อคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
- ตัวอย่าง:
เป็นเวลาสองสัปดาห์ มีการบันทึกอุณหภูมิในเมืองต่อไปนี้:
สัปดาห์/วัน |
วันอาทิตย์ |
ที่สอง |
ที่สาม |
ประการที่สี่ |
ประการที่ห้า |
วันศุกร์ |
วันเสาร์ |
สัปดาห์ที่ 1 |
29°ซ |
30°ซ |
31°ซ |
31.5°ซ |
28°ซ |
28.5°ซ |
29°ซ |
สัปดาห์ที่ 2 |
28.5°ซ |
27°ซ |
28°ซ |
29°ซ |
30°ซ |
28°ซ |
29°ซ |
ในช่วงสองสัปดาห์ใดที่อุณหภูมิในเมืองนี้คงที่มากกว่าปกติ
ปณิธาน:
ในการวิเคราะห์ความสม่ำเสมอของอุณหภูมิ เราต้องเปรียบเทียบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิที่บันทึกไว้ในสัปดาห์ที่ 1 และ 2
- ก่อนอื่น มาดูค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับสัปดาห์ที่ 1:
โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ย μ1 มันคือ เลขที่1 พวกเขาคือ
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\ประมาณ29.57\)
\(N_1=7 \) (7 วันต่อสัปดาห์)
นอกจากนี้เราต้องคำนวณกำลังสองของความแตกต่างระหว่างอุณหภูมิแต่ละอุณหภูมิกับอุณหภูมิเฉลี่ย
\(\ซ้าย (29-29.57\ขวา)^2=0.3249\)
\(\ซ้าย (30-29.57\ขวา)^2=0.1849\)
\(\ซ้าย (31-29.57\ขวา)^2=2.0449\)
\(\ซ้าย (31.5-29.57\ขวา)^2=3.7249\)
\(\ซ้าย (28-29.57\ขวา)^2=2.4649\)
\(\ซ้าย (28.5-29.57\ขวา)^2=1.1449\)
\(\ซ้าย (29-29.57\ขวา)^2=0.3249\)
เมื่อเพิ่มผลลัพธ์ เราพบว่าตัวเศษของเครื่องหมายกรณฑ์ในสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัปดาห์ที่ 1 คือ
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \ประมาณ 1.208\ °C\)
หมายเหตุ: ผลลัพธ์นี้หมายความว่าอุณหภูมิส่วนใหญ่ของสัปดาห์ที่ 1 อยู่ในช่วง [28.36 °C, 30.77 °C] นั่นคือ ช่วงเวลา \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).
- ทีนี้มาดูค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัปดาห์ที่ 2:
ตามเหตุผลเดียวกัน เรามี
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\ซ้าย (28.5-28.5\ขวา)^2=0\)
\(\ซ้าย (27-28.5\ขวา)^2=2.25\)
\(\ซ้าย (28-28.5\ขวา)^2=0.25\)
\(\ซ้าย (29-28.5\ขวา)^2=0.25\)
\(\ซ้าย (30-28.5\ขวา)^2=2.25\)
\(\ซ้าย (28-28.5\ขวา)^2=0.25\)
\(\ซ้าย (29-28.5\ขวา)^2=0.25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัปดาห์ที่ 2 คือ
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \ประมาณ 0.89\ °C\)
ผลลัพธ์นี้หมายความว่าอุณหภูมิส่วนใหญ่ในสัปดาห์ที่ 2 อยู่ในช่วง \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\)นั่นคือช่วง \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).
ตระหนักดีว่า \(\sigma_2นั่นคือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในสัปดาห์ที่ 2 มีค่าน้อยกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในสัปดาห์ที่ 1 ดังนั้น สัปดาห์ที่ 2 จึงมีอุณหภูมิปกติมากกว่าสัปดาห์ที่ 1
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีกี่ประเภท?
ประเภทของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเกี่ยวข้องกับประเภทขององค์กรข้อมูล. ในตัวอย่างที่แล้ว เราทำงานกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลที่จัดกลุ่มเป็นอย่างอื่น (เช่น ข้อมูลที่จัดกลุ่ม) คุณจะต้องปรับสูตร
อะไรคือความแตกต่างระหว่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน?
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือรากที่สอง ของความแปรปรวน:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
เมื่อใช้ความแปรปรวนเพื่อกำหนดความแปรปรวนของชุดข้อมูล ผลลัพธ์จะมีหน่วยข้อมูลยกกำลังสอง ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ทำได้ยาก ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งมีหน่วยเดียวกับข้อมูลจึงเป็นเครื่องมือที่เป็นไปได้ในการตีความผลความแปรปรวน
รู้เพิ่มเติม:ความถี่สัมบูรณ์ — จำนวนครั้งที่การตอบสนองเดียวกันปรากฏขึ้นระหว่างการรวบรวมข้อมูล
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คำถามที่ 1
(FGV) ในชั้นเรียนที่มีนักเรียน 10 คน คะแนนของนักเรียนในการประเมินคือ:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายการนี้มีค่าประมาณ
ก) 0.8
ข) 0.9
ค) 1.1.
ง) 1.3.
จ) 1.5
ปณิธาน:
อัลเทอร์เนทีฟซี
ตามแถลงการณ์ระบุว่า ยังไม่มีข้อความ = 10. ค่าเฉลี่ยของรายการนี้คือ
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
นอกจากนี้,
\(\ซ้าย (6-8\ขวา)^2=4\)
\(\ซ้าย (7-8\ขวา)^2=1\)
\(\ซ้าย (8-8\ขวา)^2=0\)
\(\ซ้าย (9-8\ขวา)^2=1\)
\(\ซ้าย (10-8\ขวา)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายการนี้คือ
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\ประมาณ1.1\)
คำถามที่ 2
พิจารณาข้อความด้านล่างและให้คะแนนแต่ละรายการเป็น T (จริง) หรือ F (เท็จ)
ฉัน. รากที่สองของความแปรปรวนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ครั้งที่สอง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่มีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต
สาม. ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัวอย่างของการวัดการกระจาย
ลำดับที่ถูกต้องจากบนลงล่างคือ
A) V-V-F
ข) เอฟ-เอฟ-วี
C) F-V-F
D) F-F-F
จ) V-F-V
ปณิธาน:
อีทางเลือก
ฉัน. รากที่สองของความแปรปรวนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (จริง)
ครั้งที่สอง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่มีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต (เท็จ)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานระบุช่วงเวลารอบค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่ตกหล่น
สาม. ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัวอย่างของการวัดการกระจาย (จริง)
โดย Maria Luiza Alves Rizzo
ครูคณิต
แหล่งที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm