ความสัมพันธ์ของออยเลอร์คือความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของจุดยอด ขอบ และใบหน้าในรูปหลายเหลี่ยมนูน มันบอกว่าจำนวนหน้าบวกจำนวนจุดยอดเท่ากับจำนวนขอบบวกสอง
ความสัมพันธ์ออยเลอร์ได้รับจาก:
ที่ไหน,
F คือจำนวนใบหน้า
วี จำนวนจุดยอด
เธ จำนวนขอบ
เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ของออยเลอร์เพื่อกำหนดหรือยืนยันค่าที่ไม่รู้จักของ V, F หรือ A เมื่อใดก็ตามที่รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน
| รูปทรงหลายเหลี่ยม | F | วี | เธ | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| คิวบ์ | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| ปิรามิดสามเหลี่ยม | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| ปริซึมฐานห้าเหลี่ยม | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| แปดด้านปกติ | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
ตัวอย่าง
รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนมี 20 ใบหน้าและจุดยอด 12 จุด กำหนดจำนวนขอบ
ใช้ความสัมพันธ์ของออยเลอร์และการแยก A:
แทนค่าของ F และ V:
ใบหน้า จุดยอด และขอบ
รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติแบบทึบที่ไม่มีด้านมน ด้านเหล่านี้เป็นใบหน้า (F) ของรูปทรงหลายเหลี่ยม
การบรรจบกันของใบหน้าเราเรียกว่าขอบ (A)
จุดยอดคือจุดที่ขอบสามด้านขึ้นไปมาบรรจบกัน
รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน
รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นของแข็งทรงเรขาคณิตที่ไม่มีเว้า ดังนั้นใบหน้าของพวกมันจึงไม่มีมุมภายในที่มากกว่า180º
ในรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ มุมภายในที่ทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงินมีค่ามากกว่า 180º ดังนั้นจึงไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน
ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับ รูปทรงหลายเหลี่ยม.
แบบฝึกหัดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของออยเลอร์
แบบฝึกหัด 1
ค้นหาจำนวนใบหน้าในรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบ 9 ด้านและจุดยอด 6 จุด
คำตอบที่ถูกต้อง: 5 ใบหน้า
ใช้ความสัมพันธ์ของออยเลอร์:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
แบบฝึกหัด 2
dodecahedron เป็นของแข็งที่มี 12 หน้า เมื่อรู้ว่ามีจุดยอด 20 จุด ให้กำหนดจำนวนขอบของมัน
คำตอบที่ถูกต้อง:
ใช้ความสัมพันธ์ของออยเลอร์:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = เอ
แบบฝึกหัดที่ 3
รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด 4 จุดและขอบ 6 ด้านสัมพันธ์กับจำนวนใบหน้าโดยที่ใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมชื่ออะไร
คำตอบ: จัตุรมุข.
เราจำเป็นต้องกำหนดจำนวนใบหน้าของมัน
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มี 4 ใบหน้าในรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าจัตุรมุข
Leonhard Paul Euler คือใคร?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ที่เชี่ยวชาญที่สุดในประวัติศาสตร์ ตลอดจนมีส่วนสนับสนุนในการศึกษาดาราศาสตร์ ชาวสวิสที่พูดภาษาเยอรมัน เขาเป็นศาสตราจารย์วิชาฟิสิกส์ที่สถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก และต่อมาที่สถาบันเบอร์ลิน เขาได้ตีพิมพ์ผลการศึกษาหลายเรื่องเกี่ยวกับคณิตศาสตร์
เรียนรู้เพิ่มเติม:
- ของแข็งเรขาคณิต
- เรขาคณิตเชิงพื้นที่
- รูปทรงเรขาคณิต
- ปริซึม - รูปทรงเรขาคณิต
- พีระมิด
- ปูหิน
- คิวบ์
