เธ ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายในได้รับการพัฒนาโดยเฉพาะสำหรับ สามเหลี่ยม และแสดงให้เห็นว่าเมื่อเราลากเส้นแบ่งครึ่งภายในของมุมของสามเหลี่ยมนั้น จุดบรรจบของเส้นแบ่งครึ่งที่มีด้านตรงข้ามกันจะแบ่งด้านนั้นออกเป็น ส่วนของเส้น เป็นสัดส่วนกับด้านประชิดของมุมนั้น ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน เป็นไปได้ที่จะกำหนดค่าของด้านหรือส่วนของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้สัดส่วนระหว่างกัน.
ดูด้วย: ค่ามัธยฐาน แบ่งครึ่งมุม และความสูงของสามเหลี่ยม — อะไรคือความแตกต่าง?
สรุปทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน:
bisector คือ a เรย์ ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นสองมุมที่เท่ากัน
ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายในนั้นจำเพาะกับรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบทนี้พิสูจน์ว่า bisector แบ่งด้านตรงข้ามเป็น ส่วนสัดส่วน ไปยังด้านที่อยู่ติดกับ มุม.
บทเรียนวิดีโอเกี่ยวกับทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งคืออะไร?
ก่อนที่เราจะเข้าใจสิ่งที่ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งวงในกล่าวว่าสิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าคืออะไร แบ่งครึ่งของมุม เป็นรังสีที่แบ่งมุมออกเป็นสองส่วนที่เท่ากันนั่นคือสองส่วนที่มีขนาดเท่ากัน
เมื่อเข้าใจว่าเส้นแบ่งครึ่งคืออะไร เราสังเกตว่ามันอยู่ที่มุมภายในของสามเหลี่ยม เมื่อเราวาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยม มันจะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วน เกี่ยวกับการแบ่งครึ่งภายใน
ทฤษฎีบทของมันบอกว่าสองส่วนหารด้วยมันเป็นสัดส่วนกับด้านประชิดของมุม.
โปรดทราบว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้าน AC ออกเป็นสองส่วนคือ AD และ DC ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งแสดงว่า:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
เรียนรู้เพิ่มเติม: ทฤษฎีบทพีทาโกรัส — อีกทฤษฎีบทหนึ่งที่พัฒนาขึ้นสำหรับรูปสามเหลี่ยม
การพิสูจน์ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน
ในรูปสามเหลี่ยม ABC ด้านล่าง เราจะแบ่งเขตส่วน BD ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมนี้ นอกจากนี้ เราจะติดตามการยืดออกของด้านข้าง CB และส่วน AE ขนานกับ BD:
มุม AEB เท่ากันทุกประการกับมุม DBCเพราะ CE คือ a ตรง ตัดขวางไปยังส่วนคู่ขนาน AE และ BD
ใช้ ทฤษฎีบทของทาเลสเราสรุปได้ว่า:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
ตอนนี้เรา ยังคงแสดงว่า BE = AB.
เนื่องจาก x คือหน่วยวัดของมุม ABD และ DBC เมื่อวิเคราะห์มุม ABE เราจึงได้:
ABE = 180 - 2x
ถ้า y คือการวัดมุม EAB เรามีสถานการณ์ต่อไปนี้:
เรารู้ว่า ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยม ABE คือ 180° ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณ:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
ถ้ามุม x และมุม y มีหน่วยวัดเท่ากัน สามเหลี่ยม ABE คือ หน้าจั่ว. ดังนั้น ด้าน AB = AE
เนื่องจากผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับ 180° เสมอ ในรูปสามเหลี่ยม ACE เราจึงมี:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
เนื่องจาก y = x สามเหลี่ยม ACE จึงเป็นหน้าจั่ว. ดังนั้นเซ็กเมนต์ AE และ AC จึงสอดคล้องกัน การสลับ AE เป็น AC ใน เหตุผลได้รับการพิสูจน์แล้วว่า:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
ตัวอย่าง:
ค้นหาค่าของ x ในรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้:
การวิเคราะห์สามเหลี่ยม เราได้อัตราส่วนต่อไปนี้:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
การคูณข้าม:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
อ่านด้วย: จุดสังเกตของสามเหลี่ยม — มันคืออะไร?
แก้ไขแบบฝึกหัดทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน
คำถามที่ 1
เมื่อพิจารณาจากสามเหลี่ยมด้านล่าง เราสามารถพูดได้ว่าค่าของ x คือ:
ก) 9
ข) 10
ค) 11
ง) 12
จ) 13
ปณิธาน:
ทางเลือก D
การใช้ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน เราได้รับการคำนวณดังต่อไปนี้:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
การคูณข้าม:
\(27x=18\ \left (30-x\right)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
คำถาม2
วิเคราะห์สามเหลี่ยมต่อไปนี้ โดยรู้ว่าหน่วยวัดของคุณมีหน่วยเซนติเมตร
เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ:
ก) 75 ซม.
ข) 56 ซม.
ค) 48 ซม.
ง) 24 ซม.
จ) 7.5 ซม.
ปณิธาน:
ทางเลือก C
เมื่อใช้ทฤษฎีบทแบ่งครึ่ง เราจะหาค่าของ x ก่อน:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7.5\)
ดังนั้นด้านที่ไม่รู้จักวัด:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
ระลึกไว้ว่า ความยาววัด ที่ใช้คือ cm, the ปริมณฑล ของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 ซม.
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
โอลิเวร่า, ราอูล โรดริเกส เดอ "ทฤษฎีบท Bisector ภายใน"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. เข้าถึงเมื่อ 04 เมษายน 2022.
