สมการพหุนาม: มันคืออะไร, วิธีแก้, ตัวอย่าง

protection click fraud

หนึ่ง สมการพหุนาม มีลักษณะเฉพาะโดยมี พหุนาม เท่ากับศูนย์ สามารถกำหนดลักษณะโดยดีกรีของพหุนาม และยิ่งดีกรีนี้มากเท่าใด ระดับความยากในการหาคำตอบหรือรากของพหุนามก็จะยิ่งมากขึ้น

ในบริบทนี้ยังต้องทำความเข้าใจว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตคืออะไร ซึ่งระบุว่า สมการพหุนามทุกสมการมีคำตอบเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งตัวกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สมการดีกรีหนึ่งจะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ สมการระดับสองจะมีคำตอบอย่างน้อยสองคำตอบ และอื่นๆ

อ่านด้วยนะ: คลาสของพหุนามคืออะไร?

สมการพหุนามคืออะไร

สมการพหุนามมีลักษณะเฉพาะโดยมีพหุนามเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ทุกนิพจน์ของประเภท P(x) = 0 เป็นสมการพหุนามโดยที่ P(x) เป็นพหุนาม ด้านล่างนี้คือกรณีทั่วไปของสมการพหุนามและตัวอย่างบางส่วน

พิจารณา_ไม่, NS_{น -1}, NS_{น -2}, …, NS₁, NS₀ และ x ตัวเลขจริงและ n เป็นจำนวนเต็มบวก นิพจน์ต่อไปนี้คือสมการพหุนามของดีกรี n

ตัวอย่าง

สมการต่อไปนี้เป็นพหุนาม

ก) 3x⁴ + 4x² – 1 = 0

ข) 5x² – 3 = 0

ค) 6x – 1 = 0

ง) 7x³ - NS² + 4x + 3 = 0

สมการพหุนามก็มีดีกรีเช่นเดียวกับพหุนาม การหาระดับของสมการพหุนาม ให้หากำลังสูงสุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่างจากศูนย์ ดังนั้น สมการของข้อที่แล้วจึงเป็นดังนี้

instagram story viewer

ก) สมการมาจาก องศาที่สี่:3NS⁴+ 4x² – 1 = 0.

b) สมการมาจาก มัธยม:5NS² – 3 = 0.

c) สมการมาจาก ปริญญาแรก:6NS – 1 = 0.

d) สมการคือ ระดับที่สาม: 7NS³- NS² + 4x + 3 = 0

จะแก้สมการพหุนามได้อย่างไร?

วิธีการแก้สมการพหุนามขึ้นอยู่กับระดับของมัน ยิ่งดีกรีของสมการมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งแก้ได้ยากเท่านั้น ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีการแก้สมการพหุนามของ ดีกรีแรก ดีกรีที่สอง และไบสแควร์

สมการพหุนามของดีกรีที่หนึ่ง

สมการพหุนามของดีกรีแรกอธิบายโดย a ดีกรี 1 พหุนาม เราสามารถเขียนสมการของดีกรีหนึ่งโดยทั่วไปได้ดังนี้

พิจารณาสองจำนวนจริง NS และ NS ด้วย ≠ 0 นิพจน์ต่อไปนี้คือสมการพหุนามของดีกรีที่หนึ่ง:

ขวาน + ข = 0

ในการแก้สมการนี้ เราต้องใช้ หลักการเทียบเท่ากล่าวคือ ทุกสิ่งที่ทำงานด้านใดด้านหนึ่งเท่าเทียม ก็ต้องดำเนินการอีกด้านหนึ่งด้วย ในการหาคำตอบของสมการดีกรีหนึ่ง เราต้อง แยกสิ่งที่ไม่รู้จัก สำหรับสิ่งนี้ ขั้นตอนแรกคือการกำจัด NS ทางด้านซ้ายของความเสมอภาคแล้ว ลบพาย b ทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน

ขวาน + b - NS = 0 - NS

ขวาน = - b

สังเกตว่า ค่าของ x ไม่ทราบค่าไม่ได้ถูกแยกออก ค่าสัมประสิทธิ์ a จะต้องถูกกำจัดออกจากด้านซ้ายของค่าเท่ากัน สำหรับการนั้น ให้หารทั้งสองข้างด้วย NS.

ตัวอย่าง

แก้สมการ 5x + 25 = 0

ในการแก้ปัญหา เราต้องใช้หลักการสมมูล เพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการ เราจะละเว้นการเขียนการดำเนินการทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันเป็น เทียบเท่ากับการบอกว่าเรากำลังจะ "ผ่าน" ตัวเลขไปยังอีกด้านหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย (การดำเนินการผกผัน)

เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการประเภทนี้โดยเข้าไปที่ข้อความของเรา: สมการดีกรีแรกกับค่าที่ไม่ทราบค่า.

สมการพหุนามของดีกรีที่สอง

สมการพหุนามของดีกรีที่สองมีลักษณะเฉพาะของ a ดีกรี 2 พหุนาม. ดังนั้น ลองพิจารณาจำนวนจริง a, b และ c ด้วย a ≠ 0 สมการดีกรีที่สองถูกกำหนดโดย:

ขวาน² + bx + c = 0

การแก้ปัญหาของคุณสามารถกำหนดได้โดยใช้วิธีการของ ภัสการะ หรือโดยแฟคตอริ่ง หากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการประเภทนี้ โปรดอ่าน: Eqการกระทำของ NSที่สอง NSrau.

→ วิธีภัสการะ

โดยใช้วิธีการของ Bhaskara รากของมันถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่าง

หาคำตอบของสมการ x² – 3x + 2 = 0

โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ของสมการคือ a = 1, b = – 3 และ c = 2 ตามลำดับ การแทนที่ค่าเหล่านี้ในสูตร เราต้อง:

→ การแยกตัวประกอบ

เห็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะแยกตัวประกอบนิพจน์ x² – 3x + 2 = 0 โดยใช้แนวคิดของ การแยกตัวประกอบพหุนาม.

NS² – 3x + 2 = 0

(x – 2) · (x – 1) = 0

สังเกตว่าตอนนี้เรามีผลคูณเท่ากับศูนย์ และผลิตภัณฑ์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราต้อง:

x – 2 = 0

x = 2

หรือ

x - 1 = 0

x = 1

เห็นว่าเราพบคำตอบของสมการโดยใช้สองวิธีที่แตกต่างกัน

สมการสองกำลังสอง

NS สมการไบสแควร์ มันคือ กรณีเฉพาะของสมการพหุนามของดีกรีที่สี่ปกติแล้วสมการดีกรีที่สี่จะเขียนในรูปแบบ:

ขวาน⁴ + bx³ + กล่อง² + dx + e = 0

ที่ตัวเลข เอบีซีดี และ และ เป็นจริงด้วย ≠ 0 สมการดีกรีที่สี่ถือเป็นไบสแควร์เมื่อสัมประสิทธิ์ b = d = 0 นั่นคือ สมการอยู่ในรูปแบบ:

ขวาน⁴ + กล่อง² + และ = 0

ดูวิธีการแก้สมการนี้ในตัวอย่างด้านล่าง

ตัวอย่าง

แก้สมการ x⁴ – 10x² + 9 = 0.

ในการแก้สมการ เราจะใช้การเปลี่ยนแปลงที่ไม่รู้จักต่อไปนี้ และเมื่อใดก็ตามที่สมการเป็นไบสแควร์ เราจะทำการเปลี่ยนแปลงนั้น

NS² =p

จากสมการสองกำลังสอง สังเกตว่า x⁴ = (x²)² ดังนั้นเราจึงต้อง:

NS⁴ – 10x² + 9 = 0

(NS²)² – 10NS² + 9 = 0

สำหรับ² – 10p + 9 = 0

เห็นว่าตอนนี้เรามีสมการพหุนามของดีกรีที่สองแล้ว และเราสามารถใช้วิธีของ Bhaskara ได้ดังนี้

อย่างไรก็ตาม เราต้องจำไว้ว่าในช่วงเริ่มต้นของการฝึก มีการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ทราบสาเหตุ ดังนั้นเราจึงต้องใช้ค่าที่พบในการแทนที่

NS² =p

สำหรับ p = 9 เรามีว่า:

NS² = 9

x’ = 3

หรือ

x'' = – 3

สำหรับ p = 1

NS² = 1

x' = 1

หรือ

x'' = – 1

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการไบสแควร์คือ:

S = {3, –3, 1, –1}

อ่านด้วย: อุปกรณ์ที่ใช้งานได้จริงของ Briot-Ruffini – การแบ่งพหุนาม

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต (TFA)

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต (TFA) พิสูจน์โดยเกาส์ในปี ค.ศ. 1799 ระบุว่าทุกสมการพหุนามดังต่อไปนี้มีรากเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก

รากของสมการพหุนามคือคำตอบ นั่นคือ ค่าที่ไม่รู้จักคือสิ่งที่ทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ตัวอย่างเช่น สมการดีกรีที่หนึ่งมีการกำหนดรูตแล้ว เช่นเดียวกับสมการดีกรีที่สองซึ่งมีรากอย่างน้อยสองราก และไบสแควร์ที่มีรากอย่างน้อยสี่ราก