เมทริกซ์: แบบฝึกหัดแสดงความคิดเห็นและแก้ไข

เมทริกซ์คือตารางที่สร้างจากจำนวนจริง จัดเรียงเป็นแถวและคอลัมน์ ตัวเลขที่ปรากฏในเมทริกซ์เรียกว่าองค์ประกอบ

ใช้ประโยชน์จากคำถามสอบเข้าที่แก้ไขแล้วและแสดงความคิดเห็นเพื่อขจัดข้อสงสัยทั้งหมดของคุณเกี่ยวกับเนื้อหานี้

ปัญหาการสอบเข้าได้รับการแก้ไข

1) Unicamp - 2018

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง โดยที่เมทริกซ์ A = เป็นไปตามสมการ A²= aA + biI โดยที่ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับ 2 ดังนั้นผลคูณ ab จึงเท่ากับ

ก) −2.
ข) -1.
ค) 1.
ง) 2.

ดูคำตอบ

ในการหามูลค่าของผลิตภัณฑ์ a.b เราต้องรู้ค่าของ a และ b ก่อน ลองพิจารณาสมการที่ให้ไว้ในโจทย์

ในการแก้สมการ ให้คำนวณค่าของ A²ซึ่งทำได้โดยการคูณเมทริกซ์ A ด้วยตัวมันเอง นั่นคือ:

การดำเนินการนี้ทำได้โดยการคูณแถวของเมทริกซ์แรกด้วยคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง ดังที่แสดงด้านล่าง:

ด้วยวิธีนี้เมทริกซ์ A² มันเหมือนกับ:

เมื่อพิจารณาค่าที่เราเพิ่งพบและจำได้ว่าในเมทริกซ์เอกลักษณ์ องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่นๆ เท่ากับ 0 สมการจะเป็นดังนี้

ตอนนี้เราต้องคูณเมทริกซ์ A ด้วยจำนวน a และเมทริกซ์เอกลักษณ์ด้วยจำนวน b

จำไว้ว่าการคูณตัวเลขด้วยอาร์เรย์ เราคูณตัวเลขด้วยแต่ละองค์ประกอบของอาร์เรย์

ดังนั้น ความเท่าเทียมกันของเราจะเท่ากับ:

เมื่อบวกเมทริกซ์สองตัวแล้ว เราได้:

เมทริกซ์สองตัวจะเท่ากันเมื่อองค์ประกอบที่สอดคล้องกันทั้งหมดเท่ากัน ด้วยวิธีนี้ เราสามารถเขียนระบบต่อไปนี้:

แยก a ในสมการที่สอง:

แทนค่าที่พบสำหรับ a ในสมการแรก เราพบค่าของ b:

2 + ข = 1
b = 1 - 2
ข = -1

ดังนั้นผลิตภัณฑ์จะได้รับโดย:

ที่. ข = - 1 2
ที่. ข = - 2

ทางเลือก: ก) −2.

2) Unesp - 2016

จุด P ที่มีพิกัด (x, y) ของระนาบคาร์ทีเซียนมุมฉาก แสดงโดยเมทริกซ์ของคอลัมน์ , เช่นเดียวกับเมทริกซ์คอลัมน์ หมายถึง ในระนาบคาร์ทีเซียนมุมฉาก จุด P ของพิกัด (x, y) ดังนั้น ผลของการคูณเมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์ของคอลัมน์ที่ ในระนาบคาร์ทีเซียนมุมฉาก จำเป็นต้องแทนจุดที่เป็น

ก) การหมุน P 180º ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา และให้ศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0)
b) การหมุนของ P ถึง 90° ทวนเข็มนาฬิกา โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0)
c) ความสมมาตรของ P เทียบกับแกน x แนวนอน
d) ความสมมาตรของ P เทียบกับแกน y แนวตั้ง
e) การหมุนของ P ถึง 90º ตามเข็มนาฬิกา และโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0)

ดูคำตอบ

จุด P ถูกแทนด้วยเมทริกซ์ ดังนั้น abscissa (x) จะถูกระบุโดยองค์ประกอบ a₁₁ และพิกัด (y) โดยองค์ประกอบ a₂₁ ของเมทริกซ์

ในการหาตำแหน่งใหม่ของจุด P เราต้องแก้การคูณของเมทริกซ์ที่นำเสนอ และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น:

ผลลัพธ์แสดงพิกัดใหม่ของจุด P นั่นคือ abscissa เท่ากับ -y และพิกัดเท่ากับ x

เพื่อระบุการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นโดยตำแหน่งของจุด P ให้แสดงสถานการณ์ในระนาบคาร์ทีเซียนดังที่แสดงด้านล่าง:

ดังนั้นจุด P ซึ่งในตอนแรกตั้งอยู่ในจตุภาคที่ 1 (บวก abscissa และพิกัด) ย้ายไปที่จตุภาคที่ 2 (abscissa เชิงลบและพิกัดบวก)

เมื่อย้ายไปยังตำแหน่งใหม่นี้ จุดจะหมุนทวนเข็มนาฬิกา ดังที่แสดงในภาพด้านบนด้วยลูกศรสีแดง

เรายังต้องระบุค่ามุมการหมุน

โดยการเชื่อมต่อตำแหน่งเดิมของจุด P กับจุดศูนย์กลางของแกนคาร์ทีเซียนและทำเช่นเดียวกันกับตำแหน่งใหม่ P' เรามีสถานการณ์ดังต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าสามเหลี่ยมสองรูปที่ระบุในรูปนั้นเท่ากัน กล่าวคือ พวกมันมีขนาดเท่ากัน ด้วยวิธีนี้ มุมของพวกมันก็เหมือนกัน

นอกจากนี้ มุม α และ θ เป็นส่วนเสริม เนื่องจากผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180º และเนื่องจากสามเหลี่ยมมีมุมฉาก ผลรวมของมุมทั้งสองนี้จะเท่ากับ 90º

ดังนั้นมุมของการหมุนของจุดที่ระบุในรูปโดย β สามารถมีค่าเท่ากับ90ºเท่านั้น

ทางเลือก: b) การหมุน P ทวนเข็มนาฬิกา 90° โดยให้ศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0)

3) Unicamp - 2017

เนื่องจาก a เป็นจำนวนจริง ให้พิจารณาเมทริกซ์ A = . ดังนั้น²⁰¹⁷ มันก็เหมือนกับ
ก)
ข)
ค)
ง)

ดูคำตอบ

อันดับแรก ให้ลองหารูปแบบสำหรับเลขยกกำลังกัน เนื่องจากมันยากมากที่จะคูณเมทริกซ์ A ด้วยตัวมันเองในปี 2017

จำไว้ว่าในการคูณเมทริกซ์ แต่ละองค์ประกอบถูกค้นพบโดยการเพิ่มผลลัพธ์ของการคูณองค์ประกอบในแถวขององค์ประกอบหนึ่งด้วยองค์ประกอบในคอลัมน์ของอีกองค์ประกอบหนึ่ง

เริ่มด้วยการคำนวณ A²:

ผลลัพธ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และเมื่อเราคูณเมทริกซ์ใดๆ ด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์เอง

ดังนั้น ค่าของ A³ จะเท่ากับเมทริกซ์ A เอง เนื่องจาก A³ = เอ². ที.

ผลลัพธ์นี้จะถูกทำซ้ำ นั่นคือ เมื่อเลขชี้กำลังเป็นคู่ ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และเมื่อเป็นเลขคี่ มันจะเป็นเมทริกซ์ A เอง

เนื่องจากปี 2560 เป็นเลขคี่ ผลลัพธ์จะเท่ากับเมทริกซ์ A

ทางเลือก: b)

4) UFSM - 2011

แผนภาพที่ระบุแสดงถึงห่วงโซ่อาหารแบบง่ายของระบบนิเวศที่กำหนด ลูกศรบ่งบอกถึงสายพันธุ์ที่สายพันธุ์อื่นกิน การระบุค่าของ 1 เมื่อสายพันธุ์หนึ่งกินอีกชนิดหนึ่งและเป็นศูนย์ เมื่อสิ่งที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้น เรามีตารางต่อไปนี้:

เมทริกซ์ A = (a_อิจ)_4x4ที่เกี่ยวข้องกับตารางมีกฎหมายการฝึกอบรมดังต่อไปนี้:

ดูคำตอบ

เนื่องจากหมายเลขแถวถูกระบุโดย i และหมายเลขคอลัมน์ที่ระบุโดย j และเมื่อดูที่ตาราง เราสังเกตว่าเมื่อ i เท่ากับ j หรือ i มากกว่า j ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

ตำแหน่งที่ครอบครองโดย 1 คือตำแหน่งที่หมายเลขคอลัมน์มากกว่าหมายเลขบรรทัด

ทางเลือก: ค)

5) Unesp - 2014

พิจารณาสมการเมทริกซ์ A + BX = X + 2C ซึ่งไม่ทราบคือเมทริกซ์ X และเมทริกซ์ทั้งหมดเป็นกำลังสองของลำดับ n เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสมการนี้มีคำตอบเดียวคือ

a) B – I ≠ O โดยที่ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของคำสั่ง n และ O คือเมทริกซ์ว่างของคำสั่ง n
b) B สามารถพลิกกลับได้
c) B ≠ O โดยที่ O คือเมทริกซ์ว่างของคำสั่ง n
d) B – I เป็น invertible โดยที่ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของคำสั่ง n
จ) A และ C สามารถกลับด้านได้

ดูคำตอบ

ในการแก้สมการเมทริกซ์ เราต้องแยก X ที่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เริ่มแรกลบเมทริกซ์ A ทั้งสองข้าง

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

ทีนี้ ลองลบ X ทั้งสองข้างด้วย ในกรณีนี้ สมการจะเป็นดังนี้:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A

เนื่องจาก I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมื่อเราคูณเมทริกซ์ด้วยเอกลักษณ์ ผลลัพธ์ก็คือเมทริกซ์เอง

ดังนั้น ในการแยก X เราต้องคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับด้วยเมทริกซ์ผกผันของ (B-I) นั่นคือ:

X.(B - ฉัน).(B - ฉัน) ^{- 1} = (B - ฉัน) ^{- 1}. (2C - A)

จำไว้ว่าเมื่อเมทริกซ์พลิกกลับได้ ผลคูณของเมทริกซ์โดยอินเวอร์สจะเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์
X = (B - ฉัน) ^{- 1}. (2C - A)

ดังนั้นสมการจะมีคำตอบเมื่อ B - I กลับด้านได้

ทางเลือก: d) B – I คือ invertible โดยที่ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของคำสั่ง n

6) ศัตรู - 2012

นักเรียนคนหนึ่งบันทึกคะแนนรายปักษ์ของวิชาบางวิชาไว้ในตาราง เขาตั้งข้อสังเกตว่ารายการตัวเลขในตารางสร้างเมทริกซ์ขนาด 4x4 และเขาสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยรายปีสำหรับสาขาวิชาเหล่านี้โดยใช้ผลคูณของเมทริกซ์ การทดสอบทั้งหมดมีน้ำหนักเท่ากัน และตารางที่ได้แสดงไว้ด้านล่าง

เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยเหล่านี้ เขาคูณเมทริกซ์ที่ได้จากตารางด้วย

ดูคำตอบ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณโดยการบวกค่าทั้งหมดและหารด้วยจำนวนค่า

ดังนั้นนักเรียนต้องบวกเกรดของ 4 bimeters และหารผลลัพธ์ด้วย 4 หรือคูณแต่ละเกรดด้วย 1/4 แล้วบวกผลลัพธ์ทั้งหมด

การใช้เมทริกซ์ เราสามารถบรรลุผลลัพธ์เดียวกันได้โดยการคูณเมทริกซ์

อย่างไรก็ตาม เราต้องจำไว้ว่าสามารถคูณเมทริกซ์สองเมทริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในคอลัมน์หนึ่งเท่ากับจำนวนแถวในอีกคอลัมน์หนึ่ง

เนื่องจากเมทริกซ์ของโน้ตมี 4 คอลัมน์ เมทริกซ์ที่เราจะคูณต้องมี 4 แถว ดังนั้น เราต้องคูณด้วยเมทริกซ์ของคอลัมน์:

ทางเลือก: และ

7) Fuvest - 2012

พิจารณาเมทริกซ์ , เกี่ยวกับอะไร เป็นจำนวนจริง รู้ว่า A ยอมรับผกผัน A^-1 ที่มีคอลัมน์แรกคือ , ผลรวมขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักของ A^-1 มันก็เหมือนกับ

ก) 5
ข) 6
ค) 7
ง) 8
จ) 9

ดูคำตอบ

การคูณเมทริกซ์ด้วยอินเวอร์สจะเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นเราสามารถแสดงสถานการณ์โดยการดำเนินการต่อไปนี้:

การแก้การคูณของแถวที่สองของเมทริกซ์แรกด้วยคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ที่สอง เรามีสมการดังต่อไปนี้:

(ถึง 1). (2a - 1) + (a + 1) (- 1) = 0
ครั้งที่ 2² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
ครั้งที่ 2² - ที่ 4 = 0
ที่ 2 (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

แทนค่าของ a ในเมทริกซ์ เราได้:

ตอนนี้เรารู้เมทริกซ์แล้ว มาคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของมันกัน:

ดังนั้นผลรวมของเส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากับ 5

ทางเลือก: ก) 5

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติม โปรดดูเพิ่มเติมที่:

• เมทริกซ์
• ตัวกำหนด
• กฎของซาร์รัส
• ทฤษฎีบทของลาปลาซ
• Transposed Matrix Trans