สมการโรงเรียนมัธยม: แบบฝึกหัดแสดงความคิดเห็นและคำถามการแข่งขัน

หนึ่ง สมการดีกรีที่สอง เป็นสมการทั้งหมดในรูป ขวาน² + bx + c = 0โดยมี a, b และ c จำนวนจริงและ a ≠ 0 ในการแก้สมการประเภทนี้ คุณสามารถใช้วิธีการต่างๆ

ใช้มติที่แสดงความคิดเห็นของแบบฝึกหัดด้านล่างเพื่อไขข้อสงสัยทั้งหมดของคุณ อย่าลืมทดสอบความรู้ของคุณด้วยคำถามเกี่ยวกับการแข่งขันที่ได้รับการแก้ไขแล้ว

แบบฝึกหัดความคิดเห็น

แบบฝึกหัด 1

อายุของแม่ฉันคูณด้วยอายุของฉันเท่ากับ 525 ถ้าตอนที่ฉันเกิด แม่อายุ 20 ปี ฉันอายุเท่าไหร่?

สารละลาย

ถือว่าอายุของฉันเท่ากับ xเราสามารถพิจารณาได้ว่าอายุของแม่เท่ากับ x + 20. เราจะรู้คุณค่าของผลิตภัณฑ์ในยุคสมัยของเราได้อย่างไร:

x (x + 20) = 525

นำไปใช้กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณ:

x² + 20 x - 525 = 0

จากนั้นเราก็มาถึงสมการดีกรีที่ 2 ที่สมบูรณ์ โดยมี a = 1, b = 20 และ c = - 525

ในการคำนวณรากของสมการ นั่นคือ ค่าของ x โดยที่สมการมีค่าเท่ากับศูนย์ ลองใช้สูตรของ Bhaskara กัน

อันดับแรก เราต้องคำนวณค่าของ ∆:

ในการคำนวณรากเราใช้:

เราจะหารากของสมการแทนค่าในสูตรข้างต้นได้ดังนี้

เนื่องจากอายุของฉันไม่สามารถติดลบได้ เราจึงดูถูกค่า -35 ผลลัพธ์ก็คือ 15 ปี.

แบบฝึกหัดที่ 2

สี่เหลี่ยมจตุรัสที่แสดงในรูปด้านล่างมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและมีพื้นที่เท่ากับ 1 350 m

². เมื่อรู้ว่าความกว้างสอดคล้องกับความสูง 3/2 ให้กำหนดขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สารละลาย

โดยพิจารณาว่าสูงเท่ากับ เอ็กซ์, ความกว้างก็จะเท่ากับ 3/2x. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคำนวณโดยการคูณฐานด้วยค่าความสูง ในกรณีนี้ เรามี:

เรามาถึงสมการดีกรีที่ 2 ที่ไม่สมบูรณ์ โดยมี a = 3/2, b = 0 และ c = - 1350 เราสามารถคำนวณสมการประเภทนี้ได้โดยแยก x และคำนวณค่ารากที่สอง

เนื่องจากค่าของ x หมายถึงการวัดความสูง เราจะไม่พิจารณา - 30 ดังนั้น ความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ 30 ม. ในการคำนวณความกว้าง ให้คูณค่านี้ด้วย 3/2:

ดังนั้นความกว้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงเท่ากับ 45 นาที และสูงเท่ากับ 30 นาที.

แบบฝึกหัดที่ 3

ดังนั้น x = 1 จึงเป็นรากของสมการ 2ax² + (2nd² - a - 4) x - (2 + a²) = 0 ค่าของ a ควรเป็น:

ก) 3 และ 2
b) - 1 และ 1
ค) 2 และ - 3
ง) 0 และ 2
จ) - 3 และ - 2

สารละลาย

ในการหาค่าของ a ก่อนอื่นให้แทนที่ x ด้วย 1 ด้วยวิธีนี้สมการจะมีลักษณะดังนี้:

2.a.1² + (2nd² - ถึง - 4). 1 - 2 -² = 0
ที่ 2 + ที่ 2² - ถึง - 4 - 2 - ถึง² = 0
² + ถึง - 6 = 0

ตอนนี้ เราต้องคำนวณรากของสมการดีกรีที่ 2 ให้สมบูรณ์ เพื่อที่เราจะใช้สูตรของภัสคารา

ดังนั้น ทางเลือกที่ถูกต้องคือ จดหมาย C.

คำถามการแข่งขัน

1) Epcar - 2017

พิจารณาใน ℝ สมการ (ม+2) x² - 2มx + (ม - 1) = 0 ในตัวแปร x โดยที่ ม เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ - 2

ตรวจสอบข้อความด้านล่างและให้คะแนนเป็น V (TRUE) หรือ F (FALSE)

( ) สำหรับ m > 2 ทั้งหมด สมการจะมีชุดคำตอบว่าง
( ) มีค่าจริงสองค่าของ m สำหรับสมการที่จะยอมรับรากที่เท่ากัน
( ) ในสมการ ถ้า ∆ >0 แล้ว m สามารถสมมติค่าบวกเท่านั้น

ลำดับที่ถูกต้องคือ

ก) V - V - V
ข) F - V - F
c) F - F - V
ง) V - F - F

ดูคำตอบ

ลองดูที่ข้อความแต่ละข้อ:

สำหรับ m > 2 ทั้งหมด สมการมีเซตคำตอบว่าง

เนื่องจากสมการมีดีกรีที่สองใน ℝ จึงไม่มีคำตอบเมื่อเดลต้าน้อยกว่าศูนย์ การคำนวณค่านี้เราได้:

ดังนั้นข้อความแรกจึงเป็นความจริง

m มีค่าจริงสองค่าสำหรับสมการที่จะยอมรับรากที่เท่ากัน

สมการจะมีรากจริงเท่ากันเมื่อ Δ=0 นั่นคือ:

- 4m + 8 =0
ม=2

ดังนั้น ข้อความสั่งจึงเป็นเท็จ เนื่องจากมีค่า m เพียงค่าเดียว โดยที่รากมีค่าจริงและเท่ากัน

ในสมการ ถ้า ∆ >0 แล้ว m สามารถรับได้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น

สำหรับ Δ>0 เรามี:

เนื่องจากมีอยู่ในชุดของจำนวนจริงอนันต์จำนวนลบที่น้อยกว่า 2 คำสั่งจึงเป็นเท็จ

ทางเลือก d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

ลอร่าต้องแก้สมการของดีกรีที่ 2 ใน "บ้าน" แต่พบว่าเมื่อคัดลอกจากกระดานดำไปยังสมุดบันทึก เธอลืมคัดลอกสัมประสิทธิ์ของ x ในการแก้สมการเขาบันทึกดังนี้: 4x² + ขวาน + 9 = 0 เนื่องจากเธอรู้ว่าสมการมีคำตอบเดียว และอันนี้เป็นบวก เธอจึงสามารถหาค่าของ a ได้ ซึ่งก็คือ

ก) – 13
ข) – 12
ค) 12
ง) 13

ดูคำตอบ

เมื่อสมการของดีกรีที่ 2 มีคำตอบเดียว เดลต้าจากสูตรของ Bhaskara จะเท่ากับศูนย์ เพื่อหาค่าของ เพียงคำนวณเดลต้าโดยมีค่าเท่ากับศูนย์

ดังนั้นถ้า a = 12 หรือ a = - 12 สมการจะมีรากเดียว อย่างไรก็ตาม เรายังต้องตรวจสอบค่าของ ผลลัพธ์จะเป็นรากที่เป็นบวก

เพื่อที่เราจะได้หารูทสำหรับค่าของ ที่.

ดังนั้นสำหรับ a = -12 สมการจะมีเพียงรากเดียวและค่าบวก

ทางเลือก b: -12

3) ศัตรู - 2016

อุโมงค์ต้องปิดด้วยคอนกรีต ภาพตัดขวางของอุโมงค์และแผ่นปิดคอนกรีตมีรูปทรงโค้งพาราโบลาและมีขนาดเท่ากัน ในการกำหนดต้นทุนของงาน วิศวกรต้องคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งพาราโบลาที่เป็นปัญหา โดยใช้แกนนอนที่ระดับพื้นดินและแกนสมมาตรของพาราโบลาเป็นแกนตั้ง เขาได้รับสมการต่อไปนี้สำหรับพาราโบลา:
y = 9 - x²โดยที่ x และ y ถูกวัดเป็นเมตร
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพื้นที่ใต้พาราโบลาแบบนี้เท่ากับ 2/3 ของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดเท่ากับฐานและความสูงของทางเข้าอุโมงค์ตามลำดับ
พื้นที่ด้านหน้าของแผ่นคอนกรีตเป็นตารางเมตร?

ก) 18
ข) 20
ค) 36
ง) 45
จ) 54

ดูคำตอบ

ในการแก้ไขปัญหานี้ เราจำเป็นต้องหาการวัดฐานและความสูงของทางเข้าอุโมงค์ดังเช่น ปัญหาบอกเราว่าพื้นที่ด้านหน้าเท่ากับ 2/3 ของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดเหล่านี้

ค่าเหล่านี้จะหาได้จากสมการดีกรีที่ 2 ที่ให้มา พาราโบลาของสมการนี้มีความเว้าลดลงเพราะสัมประสิทธิ์ เป็นลบ ด้านล่างนี้เป็นโครงร่างของอุปมานี้

จากกราฟจะเห็นว่าการวัดฐานของอุโมงค์จะหาได้จากการคำนวณหารากของสมการ ความสูงของมันจะเท่ากับการวัดจุดยอด

ในการคำนวณหาราก เราสังเกตว่าสมการ 9 - x² ไม่สมบูรณ์ ดังนั้นเราจึงสามารถหารากของมันได้โดยให้สมการเท่ากับศูนย์และแยก x ออก:

ดังนั้นการวัดฐานของอุโมงค์จะเท่ากับ 6 ม. นั่นคือระยะห่างระหว่างรากทั้งสอง (-3 และ 3)

เมื่อดูกราฟ เราจะเห็นว่าจุดยอดสอดคล้องกับค่าบนแกน y ที่ x เท่ากับศูนย์ เราจึงมี:

ตอนนี้เราทราบการวัดฐานและความสูงของอุโมงค์แล้ว เราสามารถคำนวณพื้นที่ได้ดังนี้

ทางเลือก c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

สำหรับค่าของ "a" สมการ (x - 2).(2ax - 3) + (x - 2).(- ax + 1) = 0 มีสองรากและเท่ากันหรือไม่?

ถึง 1
ข) 0
ค) 1
ง) 2

ดูคำตอบ

สำหรับสมการดีกรีที่ 2 ที่มีรากเท่ากันสองตัว จำเป็นที่ Δ=0, นั่นคือ b²-4ac=0. ก่อนคำนวณเดลต้า เราต้องเขียนสมการในรูป ax² + bx + c = 0

เราสามารถเริ่มต้นด้วยการใช้คุณสมบัติการกระจาย อย่างไรก็ตาม เราสังเกตว่า (x - 2 ) ซ้ำกันในทั้งสองเงื่อนไข ดังนั้นขอนำมาเป็นหลักฐาน:

(x - 2) (2ax -3 - ขวาน + 1) = 0
(x - 2) (ขวาน -2) = 0

ตอนนี้การจัดจำหน่ายผลิตภัณฑ์เรามี:

ขวาน² - 2x - 2ax + 4 = 0

เมื่อคำนวณ Δ และเท่ากับศูนย์ เราจะพบว่า:

ดังนั้นเมื่อ a = 1 สมการจะมีรากที่เท่ากันสองตัว

ทางเลือก c: 1

ดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ see:

• สมการดีกรีที่สอง
• สมการดีกรีที่หนึ่ง
• ฟังก์ชันกำลังสอง
• ฟังก์ชันกำลังสอง - แบบฝึกหัด
• ฟังก์ชันเชิงเส้น
• แบบฝึกหัดเกี่ยวกับฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง