จำนวนอตรรกยะ: รู้จักเซตตัวเลขนี้

อู๋ ชุดของจำนวนอตรรกยะ เกิดขึ้นจากตัวเลขที่ ไม่สามารถแสดงเป็น เศษส่วน. ในบางสถานการณ์ เซตของจำนวนตรรกยะไม่เพียงพอในการแก้ปัญหา นั่นคือเมื่อสังเกตเห็นการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะ เช่น รากไม่แน่นอน ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวดพาย, ระหว่างผู้อื่น.

อ่านด้วย: ค่าของตัวเลขคืออะไร?

ชุดของจำนวนอตรรกยะ

ตลอดประวัติศาสตร์ในการประยุกต์ใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของด้านที่วัดได้ 1 คำตอบจะเท่ากับรากของเลข 2

ปรากฎว่าคำตอบที่ดูเหมือนง่ายนี้ทำให้สามารถค้นพบสิ่งใหม่ได้ ชุดตัวเลข. ในความพยายามที่จะค้นหาคำตอบนี้ แหล่งที่มา สี่เหลี่ยม จาก 2 พบหนึ่ง เลขทศนิยม เรียกว่า ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวด, คืออะไร ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้. สิ่งนี้ทำให้จำเป็นต้องสร้างเซตใหม่ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ เนื่องจากจนถึงขณะนั้น ตัวเลขทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ (ซึ่งสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้)

เซตของจำนวนอตรรกยะประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่ ไม่ สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้

จำนวนอตรรกยะคืออะไร?

สำหรับจำนวนที่จะพิจารณาเป็นอตรรกยะ จะต้องเคารพคำจำกัดความ กล่าวคือ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวเลขเหล่านี้คือ รากไม่แน่นอน, ที่ ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวด และกรณีพิเศษบางกรณี เช่น ค่าคงที่ π (อ่าน: pi) หรือตัวเลข ɸ (อ่าน: fi) เป็นต้น

• รากไม่แน่นอน

เมื่อตัวเลขไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะเรียกว่ารากที่ไม่แน่นอน ดูตัวอย่างบางส่วน:

• ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวด

เมื่อแก้รากเหล่านี้ คำตอบจะเป็นค่าประมาณเสมอ สิ่งที่เราเรียกว่าส่วนสิบที่ไม่เป็นงวด

สังเกตว่าส่วนทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีจุด นั่นคือ ลำดับที่ทำให้เกิด that เราสามารถทำนายตัวเลขถัดไปในส่วนทศนิยมได้ และนั่นเป็นสาเหตุที่เราเรียกตัวเลขนี้ว่าไม่ใช่ทศนิยม เป็นระยะ ไม่เพียงแต่ทศนิยมที่เกิดจากรากที่ไม่แน่นอนเท่านั้น แต่ทศนิยมที่ไม่ใช่ระยะใด ๆ ก็เป็นจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะอื่นๆ other

• จำนวน π: เป็นเรื่องปกติสำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง เช่น พื้นที่และความยาวของ เส้นรอบวง หรือปริมาตรกระบอกสูบและ โคนและเป็นหนึ่งในจำนวนอตรรกยะที่รู้จักกันดีที่สุด เพราะมันไม่มีเหตุผล เราจึงใช้สัญลักษณ์แทนค่านั้น แต่ π เป็นทศนิยมที่ไม่เป็นคาบ มันเป็นของคุณ ความคุ้มค่า เท่ากับ 3.14159265358979323846… มีหลายตำแหน่งที่ทราบจำนวนนี้ แต่โดยปกติเราใช้ค่าประมาณ โดยมีค่า 3.14

• หมายเลข ɸ: ยังเป็นที่รู้จักกันในนาม ตัวเลขสีทอง และได้รับการศึกษามาตั้งแต่สมัยโบราณ โดยบรรยายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติต่างๆ เช่น การสืบพันธุ์ของประชากรกระต่าย มีรายงานการใช้สัดส่วนนี้ในงานศิลปะด้วย มันยังเป็นจำนวนอตรรกยะด้วย และมันถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ ɸ ค่าของมันคือ: 1.61803398875…

• ค่าคงที่ออยเลอร์: ใช้สำหรับปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับ คณิตศาสตร์การเงินและในด้านชีววิทยา ดาราศาสตร์ เป็นต้น นอกจากนี้ยังเป็นจำนวนอตรรกยะและด้วยเหตุนี้จึงแสดงด้วยสัญลักษณ์ และ, มีค่าเป็น: 2.718281828459045235360…

ดูด้วย: จำนวนเฉพาะ - จำนวนธรรมชาติที่มี เพียงสองวงเวียน

จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

ปรากฎว่าจำนวนใด ๆ สามารถจัดเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะได้ โดยตรง, อู๋ จำนวนตรรกยะ คือทุกจำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนได้. ทศนิยมที่แน่นอน ทศนิยมเป็นระยะ จำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ ในทางกลับกัน จำนวนอตรรกยะนั้นตรงกันข้าม นั่นคือ พวกมันเป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว พวกมันเป็นทศนิยมที่ไม่เป็นคาบและรากที่ไม่แน่นอน

• ตัวอย่าง

ส่วนสิบ 3.12212212... เป็นระยะ โปรดทราบว่าในส่วนทศนิยมมีจุด ซึ่งเป็นตัวเลข 12 ซึ่งซ้ำกันเสมอ ดังนั้น ตัวเลขนี้มีเหตุผล.

ส่วนสิบ 6,1249375…. ไม่ใช่คาบ สังเกตว่าไม่มีจุดทศนิยม ซึ่งทำให้ตัวเลขนี้ this ไม่มีเหตุผล.

π เป็นจำนวนอตรรกยะที่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณด้วยวงกลม, เส้นรอบวง, ทรงกระบอก และทรงกรวย

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - ตัวเลขใดต่อไปนี้จัดเป็นจำนวนอตรรกยะได้

ความละเอียด

ทางเลือก C

ก) เรารู้ว่า 25 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ นั่นคือ รากที่สองของมันเท่ากับ 5 เป๊ะๆ นี่จึงเป็นจำนวนตรรกยะ

b) เมื่อคำนวณรากของ 81 เรารู้ว่าผลลัพธ์ของมันคือ 9 ซึ่งทำให้ตัวเลขนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ

c) 10 ไม่มีรากที่สองที่แน่นอน นั่นคือ เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งทำให้ทางเลือก C ถูกต้อง

d) 5.1888 เป็นจำนวนทศนิยมที่แน่นอน ดังนั้นจึงเป็นจำนวนตรรกยะ

e) 1.2323… คือหนึ่งในสิบที่มีคาบเท่ากับ 23 ดังนั้นจึงเป็นจำนวนตรรกยะ

คำถามที่ 2 - เกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ ให้ตัดสินข้อความต่อไปนี้ว่าจริงหรือเท็จ:

I - ทุกรากที่สองเป็นจำนวนอตรรกยะ

II - ทศนิยมที่ไม่เป็นระยะทุก ๆ เป็นจำนวนอตรรกยะ

III - ตัวเลข ɸ และตัวเลข π เป็นตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ

ตามคำพิพากษาของประโยคนั้น ถูกต้องที่จะกล่าวว่า:

ก) คำเดียวที่ฉันเป็นความจริง

b) เฉพาะข้อความ II เท่านั้นที่เป็นจริง

c) เฉพาะข้อความ II และ III เท่านั้นที่เป็นจริง

d) เฉพาะข้อความ I และ II เท่านั้นที่เป็นจริง

จ) ข้อความทั้งหมดเป็นความจริง

ความละเอียด

ทางเลือก C

ผม - เป็นเท็จ เนื่องจากมีเพียงสแควร์รูทที่ไม่แน่นอนเท่านั้นที่เป็นจำนวนอตรรกยะ

II - จริง ทศนิยมที่ไม่เป็นคาบเป็นจำนวนอตรรกยะ

III - จริง เนื่องจากตัวเลข ɸ และ π เป็นทศนิยมที่ไม่เป็นคาบ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ