จนถึงกลางศตวรรษที่ 16 สมการเช่น x2 – 6x + 10 = 0 ถูกพิจารณาว่า "ไม่มีวิธีแก้ปัญหา" นั่นเป็นเพราะตามสูตรของ Bhaskara เมื่อแก้สมการนี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
พบปัญหาใน √– 4 ซึ่งไม่มีคำตอบอยู่ในเซตของจำนวนจริง นั่นคือ no มีจำนวนจริงที่คูณด้วยตัวเองจะได้ √– 4 เนื่องจาก 2·2 = 4 และ (–2)(–2) = 4.
ในปี ค.ศ. 1572 Rafael Bombelli กำลังยุ่งอยู่กับการแก้สมการ x3 – 15x – 4 = 0 โดยใช้สูตรของ Cardano จากสูตรนี้ สรุปได้ว่าสมการนี้ไม่มีรากจริง เนื่องจากจำเป็นต้องคำนวณ √– 121 อย่างไรก็ตาม หลังจากพยายามไม่กี่ครั้ง จะพบว่า 43 – 15·4 – 4 = 0 ดังนั้น x = 4 จึงเป็นรากของสมการนี้
เมื่อพิจารณาถึงการมีอยู่ของรากที่แท้จริงซึ่งไม่ได้แสดงไว้ในสูตรของคาร์ดาโน บอมเบลลีมีแนวคิดว่า ว่า √– 121 จะส่งผลให้ √(– 11·11) = 11·√– 1 และนี่อาจเป็นรากที่ "ไม่จริง" สำหรับสมการ ศึกษา ดังนั้น √– 121 จะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนชนิดใหม่ที่ประกอบขึ้นเป็นรากอื่นที่ไม่พบของสมการนี้ ดังนั้นสมการ x3 – 15x – 4 = 0 ซึ่งมีสามราก จะมี x = 4 เป็นรากที่แท้จริงและอีกสองรากที่เป็นของตัวเลขชนิดใหม่นี้
ในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 เกาส์ตั้งชื่อตัวเลขเหล่านี้ว่า ตัวเลขที่ซับซ้อน ในขณะนั้นจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปแบบแล้ว เอ + ไบ, กับ ผม = √– 1 นอกจากนี้ ดิ และ บี พวกเขาได้รับการพิจารณาว่าเป็นเครื่องบินคาร์ทีเซียนหรือที่รู้จักในชื่อเครื่องบินอาร์แกนด์ - เกาส์ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน Z = a + bi มีจุด P (a, b) ของระนาบคาร์ทีเซียนแทนทางเรขาคณิต
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
ดังนั้น คำว่า “ตัวเลขเชิงซ้อน” เริ่มใช้ในการอ้างอิงถึงชุดตัวเลขที่มีตัวแทนคือ: Z = a + bi โดยที่ i = √– 1 และกับ ดิ และ บี อยู่ในเซตของจำนวนจริง. การเป็นตัวแทนนี้เรียกว่า รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน Z.
เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นจากจำนวนจริงสองจำนวน และหนึ่งในจำนวนนั้นถูกคูณด้วย √– 1, จำนวนจริงเหล่านี้ได้รับชื่อพิเศษ เมื่อพิจารณาจากจำนวนเชิงซ้อน Z = a + bi แล้ว a คือ "ส่วนจริงของ Z" และ b คือ "ส่วนจินตภาพของ Z". ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนได้ตามลำดับ: Re (Z) = a และ Im (Z) = b
ความคิดของโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนนั้นตกผลึกคล้ายกับความคิดของโมดูลัสของจำนวนจริง เมื่อพิจารณาจุด P(a, b) ในรูปเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน Z = a + bi ระยะห่างระหว่างจุด P กับจุด (0,0) ถูกกำหนดโดย:
|Z| = √(ดิ2 + ข2)
วิธีที่สองในการแทนจำนวนเชิงซ้อนคือผ่าน แบบขั้วหรือตรีโกณมิติ แบบฟอร์มนี้ใช้โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนในรัฐธรรมนูญ จำนวนเชิงซ้อน Z หรือพีชคณิต Z = a + bi สามารถแทนด้วยรูปแบบขั้วโดย:
Z = |Z|·(cosθ + icosθ)
เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าระนาบคาร์ทีเซียนถูกกำหนดโดยเส้นตั้งฉากสองเส้น เรียกว่าแกน x และ y เรารู้ว่าจำนวนจริงสามารถแสดงด้วยเส้นซึ่งวางจำนวนตรรกยะทั้งหมดไว้ ช่องว่างที่เหลือจะเต็มไปด้วยจำนวนอตรรกยะ ในขณะที่จำนวนจริงทั้งหมดอยู่ในบรรทัดที่เรียกว่า แกน X จากระนาบคาร์ทีเซียน จุดอื่นทั้งหมดที่เป็นของระนาบนั้นจะเป็นความแตกต่างระหว่างจำนวนเชิงซ้อนกับจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนจริงจึงมีอยู่ในเซตของจำนวนเชิงซ้อน
โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ซิลวา, ลุยซ์ เปาโล โมเรร่า. "จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. เข้าถึงเมื่อ 27 มิถุนายน 2021.
