คณิตศาสตร์การเงิน: มันคืออะไร, แนวคิด, ตัวอย่าง

THE คณิตศาสตร์การเงิน เป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่รับผิดชอบการเรียน responsible ปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับโลกการเงิน. นอกจากนี้การศึกษาแนวคิดของพวกเขามีความสำคัญมากเนื่องจากในชีวิตประจำวันของเรามีมากขึ้นเรื่อย ๆ ของสมนาคุณมากขึ้น เช่น เมื่อเราได้รับส่วนลดเมื่อซื้อของเป็นเงินสดหรือซื้อเพิ่มเมื่อซื้อของต่างๆ ผ่อนชำระ

 การเรียนคณิตศาสตร์การเงินต้องมีความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ prior เปอร์เซ็นต์เราจะเห็นว่าแนวคิดทั้งหมดเป็นไปตามธีมนี้

อ่านด้วย:การคำนวณเปอร์เซ็นต์ด้วยกฎสาม

คณิตศาสตร์ทางการเงินมีไว้เพื่ออะไร?

คณิตศาสตร์ทางการเงินใช้ทุกวัน เช่น เมื่อเราจะซื้อเงินสดและผู้ขายเสนอ a ส่วนลด 5% ของมูลค่าสินค้า หรือเมื่อเราเลือกซื้อผลิตภัณฑ์แบบผ่อนชำระ และในขั้นตอนนี้ a อัตราดอกเบี้ย จะถูกเรียกเก็บเงินไปยังผู้ซื้อเมื่อเวลาผ่านไป

ตัวอย่างของความสำคัญของการทำความเข้าใจแนวคิดของคณิตศาสตร์การเงินเรียกว่า วงเงินเบิกเกินบัญชี. เมื่อเปิดบัญชีที่ธนาคารแห่งหนึ่ง จะมีการเสนอเงิน "พิเศษ" สำหรับกรณีฉุกเฉิน เป็นต้น อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้วงเงินนี้หรือบางส่วน จะมีการเรียกเก็บค่าธรรมเนียมที่ต้องจ่ายในภายหลัง นอกเหนือจากเงินที่รับไป อัตรานี้เรียกว่าดอกเบี้ย และด้วยการทำความเข้าใจแนวคิดเหล่านี้มากขึ้น เราสามารถกำหนดกลยุทธ์ที่ดีขึ้นสำหรับการจัดการด้านการเงินของเรา

• ตัวอย่าง 1

บุคคลต้องการ 100 เรียลเพื่อชำระค่าใช้จ่ายรายเดือนให้เสร็จสิ้น อย่างไรก็ตาม เงินเดือนทั้งหมดของพวกเขาถูกใช้ไปกับบิลอื่นๆ แล้ว ในการวิเคราะห์ บุคคลนี้พบว่าเขามีสองทางเลือก

ตัวเลือกที่ 1 – ใช้วงเงินเบิกเกินบัญชีที่ธนาคารเสนอให้ ในอัตรา 0.2% ต่อวัน เพื่อชำระในหนึ่งเดือน

ตัวเลือก 2 – รับ 100 เรียลจากเพื่อนในอัตรา 2% ต่อเดือน ชำระเป็นเวลาสองเดือน

โดยใช้ความรู้เป็นเปอร์เซ็นต์เท่านั้น มาวิเคราะห์กันดีกว่าว่าตัวเลือกไหนดีที่สุด

กำลังวิเคราะห์ ตัวเลือกที่ 1, โปรดทราบว่าอัตรา 0.2% ถูกเรียกเก็บต่อวันนั่นคือ 0.2% ของจำนวนเงินกู้จะถูกเพิ่มในแต่ละวันเช่นนี้

วิธีการชำระเงินกู้ในหนึ่งเดือนและพิจารณาเดือนด้วย 30 วัน, จำนวนดอกเบี้ยที่จะต้องจ่ายคือ:

0,2 ·30

6

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนเงินที่ต้องชำระเมื่อสิ้นเดือนคือ:

100 + 6= 106 เรียล

100 → จำนวนเงินที่ธนาคารให้ยืม

6 → จำนวนดอกเบี้ย

ตอนนี้กำลังวิเคราะห์ ตัวเลือกที่ 2, ค่าธรรมเนียมที่เรียกเก็บคือ 2% ต่อเดือน และต้องชำระภายในสองเดือน นั่นคือ ทุกเดือน 2% ของจำนวนเงินที่ยืมมาจะเพิ่มเข้ากับหนี้ดังนี้:

โปรดทราบว่าจะต้องเพิ่ม 2 เรียลต่อเดือนในจำนวนหนี้:

2 · 2 = 4

ดังนั้น จำนวนเงินที่ต้องชำระเมื่อสิ้นงวดคือ:

100+ 4 = 104 เรียล

100 → จำนวนเงินที่เพื่อนยืมมา

4 → จำนวนดอกเบี้ย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าทางเลือกที่ดีที่สุดคือการเอาเงินไปกับเพื่อน นี่เป็นเรื่องง่ายและสำคัญ การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์การเงินแน่นอนว่ามีปัญหา เครื่องมือ และแนวคิดที่ซับซ้อนกว่านั้น แต่ก็เหมือนกับทุกสิ่งทุกอย่างในชีวิต ก่อนที่จะเข้าใจส่วนที่ซับซ้อน จำเป็นต้องเข้าใจพื้นฐานก่อน

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

พื้นฐานของคณิตศาสตร์การเงิน

แนวคิดหลักของคณิตศาสตร์การเงินเกี่ยวข้องกับความรู้เดิมเกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์ ต่อไป เราจะเห็นแนวคิดต่างๆ เช่น การบวก ส่วนลด ดอกเบี้ยธรรมดา และดอกเบี้ยทบต้น

• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

ความคิดของการเพิ่มนั้นเกี่ยวข้องกับ เพิ่มหรือเพิ่มมูลค่าส่วนหนึ่งของมูลค่าเดิมนั่นคือเราเพิ่มเปอร์เซ็นต์ของค่าบางอย่างให้กับตัวเอง ดูตัวอย่าง:

• ตัวอย่าง 2

ผลิตภัณฑ์ราคา 35 เรียล เมื่อเงินดอลลาร์เพิ่มขึ้น เพิ่มขึ้น 30% กำหนดมูลค่าใหม่สำหรับผลิตภัณฑ์นี้

บ่อยครั้งเมื่อเราไปทำการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการบวก พวกเขาเขียนผิดว่า:

35 + 30%

เปอร์เซ็นต์แสดงถึงส่วนหนึ่งของบางสิ่ง ดังนั้นเพื่อให้บัญชีนี้ถูกต้อง ก่อนอื่นเราต้องคำนวณ 30% ของค่าเริ่มต้น ในกรณีนี้คือ 35 ดังนั้น:

35 + 30% ของ 35

การแก้เปอร์เซ็นต์ก่อนแล้วจึงเพิ่มค่าเข้าด้วยกันเราจะต้อง:

ดังนั้นเมื่อบวกแล้วมูลค่าในผลิตภัณฑ์จะเป็น 45.5 เรียล (สี่สิบห้าเรียลและห้าสิบเซ็นต์)

โดยทั่วไป เราสามารถอนุมานได้ว่า a สูตรบวก. พิจารณาค่า x และเพิ่มขึ้น p% ตามที่เราเพิ่งกำหนด เราสามารถเขียนส่วนเพิ่มนี้ได้ดังนี้:

x + p% ของ x

ในการพัฒนานิพจน์นี้ เราจะต้อง:

ลองทำตัวอย่างที่ 2 ซ้ำโดยใช้สูตรด้านบน โปรดทราบว่า x = 35 และการเพิ่มขึ้นคือ 30% นั่นคือ p = 30%

35 · (1 + 0,01 · 30)

35 · (1 + 0,3)

35 · 1,3

45,5

โปรดทราบว่าได้รับค่าเดียวกันและเป็นตัวเลือกในการใช้สูตรดังกล่าว

ดูด้วย: ปริมาณตามสัดส่วนผกผัน

• ส่วนลด

ความคิดลดก็เหมือนคิดบวก ต่างกันแค่ว่า แทนที่จะบวก เราควร ลบ เปอร์เซ็นต์ของจำนวนเงินเดิม.

• ตัวอย่างที่ 3 – สินค้าราคา 60 เรียล เมื่อซื้อด้วยเงินสดมีส่วนลด 30% กำหนดมูลค่าใหม่สำหรับผลิตภัณฑ์นี้

ในทำนองเดียวกันเราจะต้อง:

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถอนุมานได้ว่า a สูตรส่วนลด. พิจารณาค่า x และจะได้รับส่วนลด p% ตามที่เรากำหนด เราสามารถเขียนส่วนเพิ่มนี้ได้ดังนี้:

x - p% ของ x

ในการพัฒนานิพจน์นี้ เราจะต้อง:

ลองทำตัวอย่างที่ 3 ซ้ำโดยใช้สูตรด้านบน โปรดทราบว่า x = 60 และการเพิ่มขึ้นคือ 30% นั่นคือ p = 30%

x · (1 - 0.01p)

60 · (1 – 0,01 · 30)

60 · (1 – 0,3)

60 · 0,7

42

เห็นว่าใช้สูตรเราได้ผลลัพธ์เดียวกันดังนั้นในส่วนลดเรายังมีสองตัวเลือกในการพิจารณา

• ดอกเบี้ยง่าย

แนวคิดเบื้องหลัง ดอกเบี้ยง่าย ก็ยัง คล้ายกับความคิดบวก ความแตกต่างระหว่างพวกเขาจะได้รับตามช่วงเวลาที่คำนวณ ในขณะที่อัตราค่าธรรมเนียมใช้ครั้งเดียว อัตราดอกเบี้ยธรรมดาคือ คำนวณในช่วงเวลา. เราสามารถคำนวณดอกเบี้ยอย่างง่ายของทุน C ที่กำหนด ใช้ในอัตราที่กำหนดที่ระบบดอกเบี้ยอย่างง่าย (i) ในช่วงเวลาที่กำหนด t โดย สูตร:

J = C · ผม · t

จำนวนเงินที่จ่ายเมื่อสิ้นสุดการลงทุนนี้จะต้องได้รับจากเงินที่ลงทุนบวกจำนวนดอกเบี้ยและเรียกว่าจำนวนเงิน (M) จำนวนเงินถูกกำหนดโดยนิพจน์:

M = C + เจ

M = C + C·i·t

M = C (1 + มัน)

ข้อกังวลเดียวที่เราควรมีเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความสนใจง่ายๆ คือ is อัตราและหน่วยเวลาของการวัดจะต้องอยู่ในหน่วยที่เท่ากันเสมอ

• ตัวอย่างที่ 4

Marta ต้องการลงทุน R$6000 ในบริษัทที่สัญญาว่าจะสร้างผลกำไร 20% ต่อปีภายใต้ระบบดอกเบี้ยที่เรียบง่าย สัญญาที่ทำโดย Marta ระบุว่าเธอสามารถถอนเงินได้หลังจากหกเดือนเท่านั้น กำหนดสิ่งที่จะได้รับคืนจากเงินของเธอเมื่อสิ้นสุดระยะเวลานั้น

สังเกตจากข้อความ เห็นว่าทุน เท่ากับ 6000 ได้ C = 6000 อัตราดอกเบี้ย 20% ต่อปีและเงินจะถูกลงทุนเป็นเวลาหกเดือน โปรดทราบว่าอัตราได้รับในปี และเวลาในเดือน และเรารู้ว่าหน่วยวัดสำหรับทั้งสองต้องเหมือนกัน หาค่าบริการรายเดือนกันดู:

เรารู้ว่าอัตราคือ 20% ต่อปี เนื่องจากหนึ่งปีมี 12 เดือน ดังนั้นอัตรารายเดือนจะเป็น:

20%: 12

1.66% ต่อเดือน

0.016 ต่อเดือน

การแทนที่ข้อมูลนี้ในสูตร เราต้อง:

J = C · ผม · t

เจ = 6000 · 0.016 · 6

เจ = 96 · 6

J = 576 เรียล

ดังนั้นจำนวนเงินที่จะถอนออกเมื่อสิ้นสุดหกเดือนคือ 576 เรียล และจำนวนเงินคือ:

M = 6000 + 576

M = 6576 เรียล

อ่านเพิ่มเติม: ทำความเข้าใจการใช้ a คalculator ฉการเงิน

• ดอกเบี้ยทบต้น

ในดอกเบี้ยอย่างง่าย มูลค่าอัตราดอกเบี้ยจะคำนวณจากเงินทุนเริ่มต้นเสมอ ส่วนต่างระหว่าง ทั้งสองระบบ (ดอกเบี้ยแบบง่ายและดอกเบี้ยทบต้น) อยู่ที่จุดนี้อย่างแม่นยำ นั่นคือ ในทางที่อัตราคือ คำนวณแล้ว ในดอกเบี้ยทบต้น อัตราดอกเบี้ยจะคำนวณจากเงินต้นของเดือนก่อนเสมอทำให้ดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอย่างทวีคูณ THE สูตร การคำนวณดอกเบี้ยในระบบค่าตัดจำหน่ายดอกเบี้ยทบต้น กำหนดโดย:

M = C · (1 + ผม)^t

เกี่ยวกับอะไร เอ็ม คือยอดสะสม ค คือมูลค่าของทุนเริ่มต้น ผม คืออัตราดอกเบี้ยที่กำหนดเป็นเปอร์เซ็นต์ และ t คือช่วงเวลาที่เงินลงทุนในระบบ เช่นเดียวกับดอกเบี้ยธรรมดา ในระบบดอกเบี้ยทบต้น อัตราและเวลาต้องอยู่ในหน่วยเดียวกัน

• ตัวอย่างที่ 5

คำนวณจำนวนเงินที่ Marta จะรวบรวมเมื่อสิ้นสุดหกเดือนโดยใช้ 6,000 เรียลของเธอในอัตราดอกเบี้ย 20% ต่อปีในระบบดอกเบี้ยทบต้น

(ให้มา: 1.2^0,5 ≈ 1,095)

โปรดทราบว่าข้อมูลจะเหมือนกับในตัวอย่างที่ 4 ดังนั้นเราต้อง:

C = 6000

ผม = 0.2 ต่อปี

เสื้อ = 0.5 ปี

การแทนที่ข้อมูลในสูตรดอกเบี้ยทบต้น เราต้อง:

M = 6000 · (1 + 0.2)^0,5

ม = 6000 · (1.2)^0,5

M = 6000 · 1,095

M = 6572.67 เรียล

ดังนั้นจำนวนเงินที่จะถอนโดย Marta ในระบบดอกเบี้ยอย่างง่ายคือ 6572, 67 เรียล โปรดทราบว่าจำนวนเงินในระบบดอกเบี้ยทบต้นมากกว่าในระบบดอกเบี้ยธรรมดา และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นในทุกกรณี เพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณอัตรานี้มากขึ้น โปรดไปที่: ค่าธรรมเนียม คตรงข้ามคุณ.

คณิตศาสตร์การเงินเกี่ยวข้องกับความรู้เพื่อจัดการกับคำถามที่เกี่ยวข้องกับเงิน

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 – (FGV – SP) ทุนที่ใช้กับดอกเบี้ยธรรมดาในอัตรา 2.5% ต่อเดือน เพิ่มสามเท่าโดย:

ก) 75 เดือน

ข) 80 เดือน

ค) 85 เดือน

ง) 90 เดือน

จ) 95 เดือน

ความละเอียด

ทางเลือก ข.

เราต้องหาเวลาที่ดอกเบี้ยเท่ากับ 2C เนื่องจากดอกเบี้ยด้วยวิธีนี้ร่วมกับทุนที่ใช้เริ่มแรกของ C เราจะมีจำนวน 3C (สามเท่าของทุน) ดังนั้น:

เจ = 2C; ค=ค; ผม = 2.5% ต่อเดือน; ท = ?

J = C · ผม · t

2C = C · 0.025 · t

ดังนั้น เวลาสำหรับการเพิ่มทุนสามเท่าคือ 80 เดือน

หมายเหตุ 80 เดือน เท่ากับ 6.6 ปี

คำถาม2 – สินค้าโภคภัณฑ์หลังจากประสบปัญหาการเพิ่มขึ้น 24% มีราคาเปลี่ยนเป็น 1041.60 เรียล กำหนดจำนวนเงินก่อนเพิ่ม

ความละเอียด

เราสามารถใช้สูตรการบวกทั่วไปเพื่อกำหนดมูลค่าของสินค้าก่อนการบวก

x · (1 + 0.01p)

ในสูตร ค่า x คือสิ่งที่เรากำลังมองหา และ p คือค่าของการบวก และนิพจน์นี้ให้ค่าของผลิตภัณฑ์หลังจากการบวก ดังนั้น:

1041.60 = x · (1 + 0.01p)

1041.60 = x · (1 + 0.01 · 24)

1041.60 = x · (1 + 0.24)

1041.60 = x · 1.24

เห็นว่าเรามีสมการของดีกรีหนึ่ง ในการแก้มัน เราต้องแยก x ที่ไม่รู้จัก หารทั้งสองข้างของความเสมอภาคด้วย 1.24 หรือง่ายๆ ผ่านการหาร 1.24 ดังนั้น:

ดังนั้นมูลค่าของสินค้าก่อนเพิ่มคือ 840 เรียล

โดย Robson Luiz
ครูคณิต

บริษัทหักเงินเป็นเปอร์เซ็นต์จากเงินเดือนประจำปีของพนักงานสำหรับแผนบำเหน็จบำนาญส่วนตัว ส่วนลดคือ p% ของ BRL 28,000.00 ของรายได้ต่อปี บวก (p + 2)% จากจำนวนเงินเดือนประจำปีที่เกิน BRL 28,000.00 João มีส่วนลดรวม (p + 0.25)% ของเงินเดือนประจำปีสำหรับแผนบำเหน็จบำนาญส่วนตัว เงินเดือนประจำปีของ João เป็นเรียล โดยไม่มีส่วนลดแผนบำเหน็จบำนาญคือ:

ก) 28,000.00.
ข) 32,000.00.
ค) 35,000.00.
ง) 42,000.00.
จ) 56,000.00.

บัญชีออมทรัพย์ให้ผลตอบแทน 0.68% และ 0.54% ในเดือนมกราคมและกุมภาพันธ์ 2552 ตามลำดับ ดัชนีราคาผู้บริโภคในเดือนเดียวกันนั้นอยู่ที่ 0.46% และ 0.27% ตามลำดับ กำหนด ณ สิ้นเดือนกุมภาพันธ์ 2552 กำไรที่แท้จริงจากการลงทุนในบัญชีออมทรัพย์ (กำไรจาก ออมทรัพย์ลดอัตราเงินเฟ้อวัดโดยดัชนีราคาผู้บริโภค) สะสมตั้งแต่เดือนมกราคม 2009.