ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: มันคืออะไรและจะคำนวณอย่างไร?

ที่ ฟังก์ชันตรีโกณมิติคือหน้าที่ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์. ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเกี่ยวข้องกับค่าของ มุม เป็นองศาหรือเรเดียนที่มีค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่สามารถทำได้โดยการศึกษาวงจรตรีโกณมิติ ด้วยการศึกษาเป็นรายบุคคลของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชัน จึงสามารถแสดงแทนได้ กราฟ ศึกษาเครื่องหมายของฟังก์ชันสำหรับแต่ละควอแดรนต์ รวมถึงคุณสมบัติอื่นๆ other สำคัญ.

อ่านด้วย: 4 ข้อผิดพลาดที่ทำบ่อยที่สุดใน tความแข็งแกร่งพื้นฐาน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติคืออะไร?

ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่พบบ่อยที่สุดคือฟังก์ชันไซน์ ฟังก์ชันโคไซน์ และฟังก์ชันแทนเจนต์ การศึกษาของพวกเขาเชื่อมโยงกับ วัฏจักรตรีโกณมิติ.

สำหรับค่ามุมแต่ละค่า จะมีค่าไซน์และค่าโคไซน์เดียว ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่มีอะไรมากไปกว่า ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมนั้น. จำไว้ว่าค่าของมุมนี้สามารถกำหนดเป็นเรเดียนหรือองศาได้ และค่าของไซน์และโคไซน์จะเป็น a เสมอ เบอร์จริง ระหว่าง -1 ถึง 1

หมายเหตุในภาพว่า สำหรับแต่ละมุม โคไซน์และไซน์ยอมรับม ค่า โดยอิงจากการศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชันที่เราสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างค่ามุมและค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ

instagram story viewer

อ่านด้วย: มีมุมไหนที่น่าจับตามองบ้าง?

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

ฟังก์ชันโคไซน์

ฟังก์ชันโคไซน์คือฟังก์ชัน ฉ: R → R ซึ่งกฎการก่อตัวคือ ฉ(x) = cos(x) เนื่องจากโคไซน์ของมุมคือ เป็นตัวเลขระหว่าง 1 ถึง -1. เสมอแล้ว -1 ≤ cos (x) ≤ 1

โดเมน

โดเมนของฟังก์ชันโคไซน์คือ เซตของจำนวนจริงเนื่องจากไม่มีการจำกัดค่าของ x โดยที่ x คือมุมในหน่วยเรเดียน สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน คุณสามารถหาค่าของ cos(x) ดังนั้น D_ฉ= ก.

ภาพ

เรารู้ว่าโดเมนตรงข้ามของฟังก์ชันโคไซน์คือเซตของจำนวนจริง แต่เมื่อวิเคราะห์ภาพของฟังก์ชันจะเห็นว่า ค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับ -1 เสมอ และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1. เสมอเนื่องจากวัฏจักรตรีโกณมิติมีรัศมี 1 ดังนั้นค่าที่มากที่สุดที่ฟังก์ชันโคไซน์สามารถรับได้คือ 1 และในทำนองเดียวกัน ค่าที่น้อยที่สุดที่ใช้ได้คือ -1 อิ่ม = [-1, 1]

กราฟฟังก์ชันโคไซน์

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์คือบรรจุ ในระหว่าง ตรงy = -1 และ y = 1. จำไว้ว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะภาพของฟังก์ชันมักจะเป็นตัวเลขระหว่าง -1 ถึง 1 และมีส่วนที่เพิ่มขึ้นและส่วนที่ลดลง ดังที่เราเห็นด้านล่าง:

โดยการจับคู่ค่ามุมกับค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ คุณจะเห็นได้ว่า กราฟิกมี พฤติกรรมที่เป็นวัฏจักรนั่นคือพฤติกรรมมักจะทำซ้ำเป็นระยะ กราฟของฟังก์ชันโคไซน์เรียกว่าโคไซน์

สัญญาณ

เรารู้ว่าในวงจรตรีโกณมิติ โคไซน์มีค่าเป็นบวกในจตุภาค I และ IV จตุภาคแรกอยู่ระหว่าง 0º ถึง 90º และจตุภาคที่สี่อยู่ระหว่าง 270º ถึง 360º ในหน่วยเรเดียน ฟังก์ชันนี้เป็นค่าบวกสำหรับค่า x ระหว่าง 0 ถึง π/2 และระหว่าง 3π/2 ถึง 2π

ฟังก์ชันโคไซน์มีค่าลบในจตุภาค II และ IIIนั่นคือมุมอยู่ระหว่าง90ºและ270º ในหน่วยเรเดียน เพื่อให้ฟังก์ชันโคไซน์เป็นลบ x อยู่ระหว่าง π/2 ถึง 3π/2

โคไซน์ฟังก์ชันคาบ

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์มี a ช่วงเวลา 2π. จากการวิเคราะห์ จะเห็นได้ว่ากราฟอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2π สำหรับค่าก่อนหรือหลังช่วงนี้ กราฟจะวนซ้ำ

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันโคไซน์ถือเป็น a แม้กระทั่งการทำงานเนื่องจากกราฟมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน y เมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันที่เท่ากัน เราต้อง ฉ (x) = ฉ (-x) นั่นคือ cos (x) = cos (-x)

ส่วนโค้งที่น่าทึ่งของฟังก์ชันโคไซน์

ลองดูค่าโคไซน์ของมุมหลัก:

ดูด้วย: ซีแคนต์ โคซีแคนต์ และโคแทนเจนต์ - อัตราส่วนตรีโกณมิติผกผันของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

ฟังก์ชันไซน์

ฟังก์ชันโคไซน์คือฟังก์ชัน ฉ: R → R ซึ่งกฎการก่อตัวคือ ฉ(x) = บาป(x) เช่นเดียวกับไซน์ของมุม เช่นเดียวกับโคไซน์ เป็นตัวเลขระหว่าง 1 ถึง -1. เสมอแล้ว -1 ≤ บาป (x) ≤ 1

โดเมน

โดเมนของฟังก์ชันไซน์ คือเซตของจำนวนจริง. ฟังก์ชั่น ฉ(x) = บาป (x) ถูกกำหนดสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้น D_ฉ= ก.

ภาพ

ภาพฟังก์ชันไซน์มี มูลค่าสูงสุดใน ฉ(x) = 1 และค่าต่ำสุดเมื่อf(x) = -1. ดังนั้นภาพของฟังก์ชันจึงเป็นช่วงจริง [-1, 1]

กราฟฟังก์ชันไซน์

กราฟของฟังก์ชันไซน์ มันถูกจำกัดด้วยเส้นแนวนอน y = -1 และ y = 1. ลักษณะการทำงานคล้ายกับของฟังก์ชันไซน์คาบ โดยมีช่วงห่างเพิ่มขึ้นและช่วงห่างลดลง ดูการแสดงกราฟิกของฟังก์ชันไซน์ในระนาบคาร์ทีเซียนด้านล่าง:

กราฟของฟังก์ชันไซน์ยังเป็นคาบและเรียกว่าไซน์

สัญญาณ

ต่างจากฟังก์ชันโคไซน์ ฟังก์ชันไซน์ มีค่าเป็นบวกในส จตุภาคส ฉันและII ประการแรก นั่นคือ สำหรับมุมระหว่าง 0° ถึง 180° ในหน่วยเรเดียน ฟังก์ชันนี้เป็นค่าบวกสำหรับค่าระหว่าง 0 ถึง π

ฟังก์ชันไซน์มีค่าลบในIIผม และ IV จตุภาคสนั่นคือมุมอยู่ระหว่าง180ºถึง360º ในหน่วยเรเดียน สำหรับฟังก์ชันไซน์จะเป็นลบ x อยู่ระหว่าง π ถึง 2π

โคไซน์ฟังก์ชันคาบ

กราฟของฟังก์ชันไซน์มี a ระยะเวลา 2π ซึ่งหมายความว่าหลังจากหรือก่อนช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 2π กราฟจะเป็นคาบซึ่งก็คือกราฟซ้ำตัวเอง

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์ถือเป็น a อาชีพ ฉันคู่เนื่องจากมีสมมาตรในกราฟที่สัมพันธ์กับเส้นแบ่งครึ่งของจตุภาคคี่ เมื่อฟังก์ชันถือว่าคี่ เราต้อง ฉ (x) = -ฉ (x) นั่นคือ บาป (-x) = -บาป (x)

ส่วนโค้งที่โดดเด่นของฟังก์ชันไซน์

ลองดูค่าไซน์ของมุมหลัก:

ฟังก์ชันแทนเจนต์

เรารู้ว่า แทนเจนต์คือ เหตุผล ระหว่างไซน์กับโคไซน์ ต่างจากฟังก์ชันตรีโกณมิติก่อนหน้าสองฟังก์ชัน ฟังก์ชันแทนเจนต์ไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด นอกจากนี้ยังมีข้อจำกัดสำหรับโดเมน แต่กฎของการก่อตัวของฟังก์ชันแทนเจนต์คือ ฉ(x) = ผิวสีแทน (x)

โดเมน

ฟังก์ชันแทนเจนต์มีข้อ จำกัด สำหรับโดเมนเนื่องจากเกิดจากอัตราส่วนระหว่างไซน์และโคไซน์ ไม่มีค่าแทนเจนต์เมื่อ cos (x) = 0. การชั่งน้ำหนักในรอบตรีโกณมิติจาก 0º ถึง 360º ฟังก์ชันแทนเจนต์ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับมุม 90º และ 270º เนื่องจากเป็นค่าที่โคไซน์เท่ากับ 0 เมื่อมีมุมมากกว่าหนึ่งรอบ มุมทั้งหมดที่ค่าโคไซน์เป็น 0 จะไม่เป็นส่วนหนึ่งของโดเมนของฟังก์ชันโคไซน์

ภาพ

ต่างจากฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ ภาพของฟังก์ชันแทนเจนต์คือเซตของจำนวนจริงกล่าวคือไม่จำกัดและไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด อิ่ม = R

กราฟฟังก์ชันแทนเจนต์

ฟังก์ชันแทนเจนต์ยังเป็นคาบเช่นเดียวกับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ จะทำซ้ำเสมอ เมื่อเราเปรียบเทียบ:

สัญญาณ

ฟังก์ชันแทนเจนต์ มีค่าบวกสำหรับจตุภาคคี่ นั่นคือ ผม และ สาม จตุภาค สำหรับมุมระหว่าง 0º ถึง 90º และมุมระหว่าง 180º ถึง 270º ฟังก์ชันนี้มีค่าบวก ในหน่วยเรเดียน ค่าของ x ต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง π/2 หรือ π ถึง 3π/2

เวลาที่แน่นอน

คาบของฟังก์ชันแทนเจนต์ก็แตกต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เช่นกัน อู๋ คาบของฟังก์ชันแทนเจนต์คือ π.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์ é ฟังก์ชันคี่เนื่องจาก tan(-x) = -tan (x) จึงมีความสมมาตรในกราฟที่เกี่ยวกับที่มาของ เครื่องบินคาร์ทีเซียน.

ส่วนโค้งที่โดดเด่นของฟังก์ชันแทนเจนต์

ลองดูค่าแทนเจนต์ของมุมหลัก:

ดูด้วย: จะหาไซน์และโคไซน์ของมุมประกอบได้อย่างไร?

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - (ศัตรู 2017) แสงอาทิตย์ส่องมาถึงผิวทะเลสาบ เกิดเป็นมุม x กับพื้นผิว ดังแสดงในรูป

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ สามารถสันนิษฐานได้ว่าความเข้มของการส่องสว่างของรังสีเหล่านี้ บนพื้นผิวทะเลสาบ ให้ประมาณโดย I(x) = k · sin(x), k เป็นค่าคงที่ และสมมติว่า X อยู่ระหว่าง 0° ถึง 90º.

เมื่อ x = 30º ความเข้มของการส่องสว่างจะลดลงเหลือกี่เปอร์เซ็นต์ของค่าสูงสุด

ก) 33%

ข) 50%

ค) 57%

ง) 70%

จ) 86%

ความละเอียด

ทางเลือก B

ในช่วง 0º ถึง 90º ฟังก์ชันไซน์มีค่าสูงสุดเมื่อ x = 90º ดังนั้นเราต้อง:

ผม = k · บาป (90º)
ผม = k · 1
ผม = k

ทีนี้ เมื่อ x = 30º เราต้อง:

i = k · ไม่มี (วันที่ 30)
ผม = k · 1/2
ผม = k/2

โปรดทราบว่าความเข้มข้นของ i ลดลงครึ่งหนึ่ง กล่าวคือ 50%

คำถามที่ 2 - (ศัตรูปี 2015) จากข้อมูลของสถาบันภูมิศาสตร์และสถิติแห่งบราซิล (IBGE) ผลิตภัณฑ์ตามฤดูกาลคือผลิตภัณฑ์ที่นำเสนอวงจรการผลิต การบริโภค และราคาที่ชัดเจน โดยสังเขป มีช่วงเวลาต่างๆ ของปีที่มีจำหน่ายในตลาดค้าปลีกมีน้อย ด้วยราคาสูงบางครั้งมีมากมายด้วยราคาที่ต่ำกว่าซึ่งเกิดขึ้นในเดือนที่ผลผลิตสูงสุดของ เก็บเกี่ยว. จากชุดประวัติศาสตร์ พบว่าราคา P เป็นเรียล ของกิโลกรัมของผลิตภัณฑ์ตามฤดูกาลบางรายการสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน: