ของแข็งของเพลโต: มันคืออะไร, เงื่อนไข, แบบฝึกหัด

เมื่อเราศึกษารูปทรงหลายเหลี่ยม เราจะเจอ ของแข็งของเพลโต เป็นกรณีเฉพาะ ในการเป็นของแข็งของเพลโต รูปทรงหลายเหลี่ยมต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสามประการ:

• นูน;

• ใบหน้าทั้งหมดมีขอบเท่ากัน

• จุดยอดทั้งหมดเป็นจุดสิ้นสุดของจำนวนขอบเท่ากัน

นักปรัชญาหลายคนพยายามที่จะเข้าใจที่มาของจักรวาล และเพลโตก็เห็นมันใน เรขาคณิตเชิงพื้นที่ คำอธิบายที่มานี้ ของแข็งของเพลโตคือ:

• จัตุรมุข;

• รูปหกเหลี่ยม;

• แปดด้าน;

• สิบสองหน้า;

• ไอโคซาเฮดรอน

ทั้งหมดถือเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ เนื่องจาก ขอบและหน้าเท่ากันหมด. ของแข็งของเพลโตเคารพ ความสัมพันธ์ของออยเลอร์ซึ่งแสดงจำนวนจุดยอด ใบหน้า และขอบตามสูตร V + F = A + 2

อ่านด้วย: อะไรคือความแตกต่างระหว่างตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่?

ของแข็งของเพลโต

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

การค้นหารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นอีก เนื่องจากใช้งานได้ง่ายกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมจัดอยู่ในประเภทปกติถ้า ก็มีใบหน้าเหมือนกันหมด รูปหลายเหลี่ยม สอดคล้อง. เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น มุม และขอบยังเท่ากัน

ของแข็งของเพลโตเป็นกรณีเฉพาะของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์ซึ่งเป็นของแข็งของเพลโต มีใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากัน ของธาตุทั้งห้าของเพลโต

, สามรูปเกิดจากใบหน้าสามเหลี่ยมที่มีรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน, รูปหนึ่งเกิดจากรูปหน้าเหลี่ยม และอีกรูปหนึ่งเป็นรูปห้าเหลี่ยม

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

ของแข็งของเพลโตคืออะไร?

เพลโต เป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เขามีส่วนร่วมอย่างมากในวิชาคณิตศาสตร์และในการพยายามทำความเข้าใจจักรวาล ของแข็งที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของธรรมชาติ.

จะเป็นทรงพลาโทนิกทรงหลายหน้าต้องเป็น ปกติและนูน มีของแข็งเพียงห้าชนิดที่ตรงตามคำจำกัดความนี้ ได้แก่ จัตุรมุข ทรงลูกบาศก์หรือทรงหกเหลี่ยม รูปแปดด้าน รูปแปดด้าน และทรงสิบแปดเหลี่ยม

ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของธรรมชาติและของแข็งคือ:

• จัตุรมุข - ไฟ

• รูปหกเหลี่ยม - โลก

• แปดด้าน – อากาศ

• icosahedron - น้ำ

• สิบสองหน้า – คอสโมหรือจักรวาล

ที่จะเป็นเพลโตแข็ง โอ รูปทรงหลายเหลี่ยม ต้องนูนด้วยใบหน้าทั้งหมดต้องมีจำนวนขอบเท่ากัน และจุดยอดทั้งหมดจะต้องสิ้นสุดด้วยจำนวนขอบเท่ากัน

ดูด้วย: ก้อนหินปูถนน - ของแข็งเรขาคณิตที่เกิดจากใบหน้าแบนและเหลี่ยม

• จัตุรมุขปกติ

จัตุรมุขปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ มี 4 ใบหน้า, ซึ่งปรับชื่อของมัน (เตตร้า = สี่) ใบหน้าของคุณทั้งหมดเป็น เกิดจากสามเหลี่ยม. มีรูปร่างคล้าย a ปิรามิด ฐานสามเหลี่ยมและเรียกว่าพีระมิดฐานปกติเนื่องจากใบหน้าทั้งหมดสอดคล้องกัน มีทั้งหมด 4 หน้า (ในรูปแบบ สามเหลี่ยมด้านเท่า) จุดยอด 4 จุด และขอบ 6 จุด

หากคุณต้องการสร้างจัตุรมุขธรรมดาของคุณเอง เพียงดาวน์โหลดและพิมพ์ PDF ที่นี่.

• ลูกบาศก์ปกติหรือทรงหกเหลี่ยม

ทรงหกเหลี่ยมปกติ มี6 ใบหน้าซึ่งปรับชื่อของมัน (ฐานสิบหก = หก) ใบหน้าของคุณทั้งหมด สี่เหลี่ยม. เรียกอีกอย่างว่าลูกบาศก์และมี 6 หน้า 12 ขอบและ 8 จุดยอด

หากคุณต้องการสร้างคิวบ์ของคุณเอง เพียงดาวน์โหลดและพิมพ์ PDF ที่นี่.

• รูปแปดด้าน

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ชื่อเชื่อมโยงกับจำนวนใบหน้า ดังนั้น octahedron มี 8 ใบหน้า. ใบหน้าเหล่านี้มี รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า. รูปแปดด้านมี 8 หน้า 12 ขอบและ 6 จุดยอด

หากคุณต้องการสร้างทรงแปดด้านของคุณเอง เพียงดาวน์โหลดและพิมพ์ PDF ที่นี่.

• icosahedron

icosahedron มีทั้งหมด 20 ใบหน้า. ใบหน้าของพวกเขามีรูปร่างเหมือนสามเหลี่ยมด้านเท่า เช่นเดียวกับรูปแปดด้าน มีทั้งหมด 20 หน้า 30 ขอบและ 12 จุดยอด

หากคุณต้องการสร้าง icosahedron ของคุณเอง เพียงดาวน์โหลดและพิมพ์ PDF ที่นี่.

• สิบสองหน้า

สิบสองหน้าเป็นของแข็งสุดท้ายของเพลโต มีทั้งหมด 12 ใบหน้า และถือเป็น ประสานกันมากขึ้น ในบรรดาห้าของแข็ง Platonic ใบหน้าของพวกเขามีรูปร่างห้าเหลี่ยม มี 12 หน้า 30 ขอบ 20 จุดยอด

หากคุณต้องการสร้าง dodecahedron ของคุณเอง เพียงดาวน์โหลดและพิมพ์ PDF ที่นี่.

เข้าถึงด้วย: รูปทรงกระบอก - ของแข็งทรงเรขาคณิตที่เกิดจากใบหน้าวงกลมคู่ขนานกันสองหน้าและในระนาบต่างกัน

สูตรออยเลอร์

รูปทรงหลายเหลี่ยม Eulerian เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ออยเลอร์พัฒนาสูตรที่เกี่ยวข้องกับจำนวนใบหน้า (F) จำนวนจุดยอด (V) และจำนวนขอบ (A) ในรูปหลายเหลี่ยมนูน ของแข็งของเพลโตทั้งหมดเป็นไปตามความสัมพันธ์ของออยเลอร์

V + F = A + 2

วิเคราะห์สูตรว่า ก็สามารถคำนวณได้ จำนวนจุดยอดจากจำนวนใบหน้าและขอบ หรือจำนวนจุดยอดจากจำนวนจุดยอดและขอบโดยย่อ เมื่อรู้องค์ประกอบสองประการ ก็สามารถหาองค์ประกอบที่สามได้เสมอ always.

• ตัวอย่าง:

พอรู้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมมีจุดยอด 8 จุด ขอบ 12 จุด และปกติจะมีกี่หน้า?

เรารู้ว่า V + F = A+2

วี = 8

A = 12

8 + F = 12 + 2

8 + F = 14

F = 14 - 8

F = 6

แบบฝึกหัดแก้ไข

คำถามที่ 1 - (ศัตรู พ.ศ. 2559) ของแข็งของเพลโตเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีใบหน้าเท่ากันทุกประการกับรูปหลายเหลี่ยมเดียว ปกติ จุดยอดทั้งหมดมีจำนวนขอบตกกระทบเท่ากัน และแต่ละขอบใช้ร่วมกันเพียงสองจุด ใบหน้า มีความสำคัญ เช่น ในการจำแนกรูปร่างของผลึกแร่และในการพัฒนาวัตถุต่างๆ เช่นเดียวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทั้งหมด ของแข็งของเพลโตเคารพความสัมพันธ์ออยเลอร์ V - A + F = 2 โดยที่ V, A และ F คือจำนวนจุดยอด ขอบ และใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมตามลำดับ

ในคริสตัลซึ่งมีรูปร่างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมของเพลโตที่มีหน้าสามเหลี่ยม ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจุดยอดกับจำนวนใบหน้าคืออะไร

ก) 2V - 4F = 4

B) 2V - 2F = 4

C) 2V - F = 4

D) 2V + F = 4

จ) 2V + 5F = 4

ความละเอียด

ทางเลือก C เนื่องจากใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม เรารู้ว่าแต่ละหน้ามี 3 ขอบ อย่างไรก็ตาม หากต้องการเชื่อมโยงจำนวนขอบกับจำนวนใบหน้า สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ว่าแต่ละขอบนั้นมีอยู่ is สองหน้า เพราะการบรรจบกันของสองหน้าทำให้เกิดขอบ ในกรณีนี้ เราสามารถเชื่อมโยงแบบตัวต่อตัวได้ ต่อ:

มีความสัมพันธ์ออยเลอร์เป็น V - A + F = 2 และแทนที่ A เราต้อง:

คำถามที่ 2 - จากทางเลือกด้านล่าง ให้ตัดสินว่าอันไหนไม่ใช่เพลโต

ก) คิวบ์

B) จัตุรมุขปกติ

C) ไอโคซาเฮดรอน

D) สิบสองหน้า

จ) โคน

ความละเอียด:

ทางเลือก E ทางเลือกเดียวที่ไม่สอดคล้องกับของแข็งของเพลโตคือ กรวย.

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต