หนึ่งในเทคนิคที่ใช้ในการแก้ สมการกำลังสอง เป็นวิธีที่เรียกว่า สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์. วิธีนี้ประกอบด้วยการตีความ สมการ ของ ที่สองระดับ เป็น trinomial สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ และเขียนแบบฟอร์มแยกตัวประกอบของคุณ บางครั้งขั้นตอนง่ายๆ นี้ก็เผยให้เห็นรากของสมการอยู่แล้ว
จึงต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับ สินค้าเด่น, ไตรนามสี่เหลี่ยมสมบูรณ์แบบ และ การแยกตัวประกอบพหุนาม เพื่อใช้เทคนิคนี้ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งช่วยให้การคำนวณทำได้ "ในหัว"
ดังนั้น เราจะจำสามกรณีของ สินค้าโดดเด่น ก่อนจะสาธิต วิธีทำให้สมบูรณ์สี่เหลี่ยมซึ่งในทางกลับกันจะถูกเปิดเผยในสามกรณีที่แตกต่างกัน
ผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นและ Trinomials สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ
ต่อไปพบกับผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นคือ ไตรนามสี่เหลี่ยมสมบูรณ์แบบ ซึ่งเทียบเท่ากับรูปร่างและรูปร่าง แยกตัวประกอบ ของไตรนามนี้ตามลำดับ ให้พิจารณาว่า x ไม่เป็นที่รู้จักและ is เป็นจำนวนจริงใดๆ
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k)(x + k)
(x - k)2 = x2 – 2kx + k2 = (x - k)(x - k)
สมการของดีกรีที่สองหมายถึงสาม สินค้าโดดเด่นหรือที่เรียกว่าผลคูณของผลรวมและส่วนต่างสามารถแก้ไขได้โดยใช้เทคนิคที่ทำให้การคำนวณง่ายยิ่งขึ้น จึงไม่นำมาพิจารณาในที่นี้
สมการคือไตรนามกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ
ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่ง สมการ ของ ที่สองระดับ เป็นพหุนามกำลังสองสมบูรณ์ จากนั้นคุณสามารถระบุสัมประสิทธิ์ของมันคือ: a = 1, ข = 2k หรือ – 2k และ ค = k2. เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ เพียงเปรียบเทียบสมการกำลังสองกับ a ไตรนามสี่เหลี่ยมสมบูรณ์แบบ.
ดังนั้น ในการแก้ปัญหาของ สมการ ของ ที่สองระดับ x2 + 2kx + k2 = 0 เราจะมีความเป็นไปได้ที่จะทำเสมอ:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√[(x + k)2] = √0
|x + k| = 0
x + k = 0
x = - k
– x – k = 0
x = - k
ดังนั้น คำตอบจึงไม่ซ้ำกันและเท่ากับ –k
ถ้า สมการ เป็น x2 – 2kx + k2 = 0 เราสามารถทำได้เช่นเดียวกัน:
x2 – 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√[(x - k)2] = √0
|x – k| = 0
x - k = 0
x = k
– x + k = 0
– x = – k
x = k
ดังนั้น คำตอบจึงไม่ซ้ำกันและเท่ากับ k
ตัวอย่าง: รากของ are คืออะไร สมการ x2 + 16x + 64 = 0?
โปรดทราบว่าสมการคือ a ไตรนามสี่เหลี่ยมสมบูรณ์แบบตั้งแต่ 2k = 16 โดยที่ k = 8 และ k2 = 64 โดยที่ k = 8 เราจึงเขียนได้ว่า
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√[(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = – 8
ผลลัพธ์ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้น เนื่องจากเราทราบแล้วว่าคำตอบทั้งสองจะเท่ากับจำนวนจริงเท่ากัน
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
สมการไม่เป็นไตรนามกำลังสองสมบูรณ์
ในกรณีที่ สมการ ของ ที่สองระดับ ไม่ใช่ไตรนามกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ เราสามารถพิจารณาสมมติฐานต่อไปนี้เพื่อคำนวณผลลัพธ์ของมัน:
x2 + 2kx + C = 0
โปรดทราบว่าสำหรับสมการนี้จะกลายเป็น a ไตรนามสี่เหลี่ยมสมบูรณ์แบบเพียงแทนที่ค่าของ C ด้วยค่าของ k2. เนื่องจากนี่คือสมการ วิธีเดียวที่จะทำได้คือเติม k2 กับสมาชิกทั้งสอง แล้วสลับค่าสัมประสิทธิ์สมาชิก C ดู:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - ค
หลังจากขั้นตอนนี้ เราสามารถดำเนินการกับเทคนิคก่อนหน้านี้ แปลง ไตรนามสี่เหลี่ยมสมบูรณ์แบบ เป็นผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นและคำนวณรากที่สองของแขนขาทั้งสองข้าง
x2 + 2kx + k2 = k2 - ค
(x + k)2 = k2 - ค
√[(x + k)2] = √(k2 - ค)
x + k = ± √(k2 - ค)
เครื่องหมาย ± ปรากฏขึ้นทุกครั้งที่ผลลัพธ์ของ a สมการ เป็นรากที่สอง เพราะในกรณีเหล่านี้ ผลลัพธ์ของรากที่สองคือ a is โมดูลดังแสดงในตัวอย่างแรก ในที่สุด สิ่งที่ต้องทำคือ:
x = – k ± √(k2 - ค)
ดังนั้นสิ่งเหล่านี้ สมการ มีสองผลลัพธ์ จริง และชัดเจนหรือไม่มีผลจริงเมื่อ C > k2.
ตัวอย่างเช่น, คำนวณรากของ x2 + 6x + 8 = 0
สารละลาย: สังเกตว่า 6 = 2·3x ดังนั้น k = 3 ดังนั้น k2 = 9. ดังนั้นจำนวนที่เราต้องบวกในสมาชิกทั้งสองจึงเท่ากับ 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√[(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x’ = 1 – 3 = – 2
x’’ = – 1 – 3 = – 4
ซึ่งในกรณีนี้สัมประสิทธิ์ a ≠ 1
เมื่อสัมประสิทธิ์ , ให้ สมการ ของ ที่สองระดับแตกต่างจาก 1 เพียงหารสมการทั้งหมดด้วยค่าตัวเลขของสัมประสิทธิ์ เพื่อใช้หนึ่งในสองวิธีก่อนหน้านี้
ดังนั้น ในสมการ 2x2 + 32x + 128 = 0 เรามีรูทเฉพาะเท่ากับ 8 เนื่องจาก:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
และในสมการ 3x2 + 18x + 24 = 0 เรามีราก – 2 และ – 4 เพราะ:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต
