ในบรรดาวิธีหาค่าตัวเลขของ x กระบวนการที่เรียกว่า หารากของสมการ หรือ หาคำตอบของสมการ, เด่น: สูตรภัสการะ มันเป็น ขั้นตอนการกรอกสี่เหลี่ยม ส่วนหลังเป็นจุดสนใจของข้อความในปัจจุบัน
จำนวนคำตอบของสมการนั้นกำหนดโดยระดับของมัน ดังนั้น สมการดีกรีแรกจึงมีคำตอบเดียว สมการดีกรีสามมีสามคำตอบ และ สมการกำลังสองมีสองคำตอบ เรียกอีกอย่างว่าราก.
สมการดีกรีที่สองในรูปแบบย่อสามารถเขียนได้ดังนี้:
ขวาน2 + bx + c = 0
วิธีการเสร็จสิ้นสี่เหลี่ยม
ในกรณีนี้สมการกำลังสองคือพหุนามกำลังสองสมบูรณ์
สมการดีกรีที่สองที่เกิดจากผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นเรียกว่า ไตรโนเมียลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ ในการหาราก เราจะใช้วิธีการที่แสดงตัวอย่างด้านล่าง:
ตัวอย่าง: คำนวณรากของสมการ x2 + 6x + 9 = 0
โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ b คือ 6 = 2·3 ให้เขียนเป็นผลิตภัณฑ์เด่นๆ ให้ตรวจดูว่า c = 32ซึ่งเป็นความจริงตั้งแต่ 32 = 9 = ค. ด้วยวิธีนี้เราสามารถเขียน:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
โปรดทราบว่าผลคูณที่โดดเด่นคือผลคูณระหว่างพหุนามที่เท่ากันสองตัว ในกรณีของสมการนี้เราจะได้:
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0
ผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์ ดังนั้น สำหรับ (x + 3)(x + 3) = 0 จำเป็นที่ (x + 3) = 0 หรือ (x + 3) = 0 ดังนั้นทั้งสองผลลัพธ์เท่ากันสำหรับสมการ xx
2 + 6x + 9 = 0 ซึ่งได้แก่: x = – 3 หรือ x = – 3ในระยะสั้น: เพื่อแก้สมการ x2 + 6x + 9 = 0 เขียน:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
x = – 3 หรือ x = – 3
ในกรณีนี้สมการกำลังสองไม่ใช่ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ perfect
สมการของวินาทีที่สัมประสิทธิ์ b และสัมประสิทธิ์ c ไม่ตรงกับความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ข้างต้น ไม่ใช่ไตรนามกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ ในกรณีนี้ สามารถใช้วิธีการแก้ไขที่เน้นด้านบนโดยเพิ่มขั้นตอนสองสามขั้นตอน สังเกตตัวอย่างต่อไปนี้:
ตัวอย่าง: คำนวณรากของสมการ x2 + 6x – 7 = 0
สังเกตว่าสมการนี้ไม่ใช่ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ เพื่อให้เป็นเช่นนั้นเราสามารถใช้การดำเนินการต่อไปนี้:
โปรดทราบว่า b = 2·3 ดังนั้นในสมาชิกตัวแรก นิพจน์ที่ควรปรากฏคือ x2 + 6x + 9 เพราะในนิพจน์นี้ b = 2·3 และ c = 32.
สำหรับ "การแปลง" นี้ ให้เติม 32 บนสองสมาชิกของสมการนี้ "ส่ง" - 7 ไปยังสมาชิกที่สอง ดำเนินการที่เป็นไปได้และสังเกตผลลัพธ์:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 หรือ x + 3 = – 4
ขั้นตอนสุดท้ายนี้ต้องแบ่งออกเป็นสองสมการ เนื่องจากรากของ 16 สามารถเป็น 4 หรือ – 4 ได้ (จะเกิดขึ้นในสมการเท่านั้น ถ้าถามว่ารากของ 16 คืออะไร คำตอบก็คือ 4) ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ต่อ:
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
x + 3 = 4 หรือ x + 3 = – 4
x = 4 – 3 หรือ x = – 4 – 3
x = 1 หรือ x = – 7
ซึ่งในกรณีนี้สัมประสิทธิ์ "a" ไม่เท่ากับ 1
กรณีก่อนหน้านี้มีไว้สำหรับสมการกำลังสองโดยที่สัมประสิทธิ์ "a" เท่ากับ 1 หากสัมประสิทธิ์ "a" แตกต่างจาก 1 ให้หารสมการทั้งหมดด้วยค่า "a" แล้วดำเนินการคำนวณในลักษณะเดียวกับในกรณีก่อนหน้า
ตัวอย่าง: คำนวณราก 2x2 + 16x – 18 = 0
โปรดทราบว่า a = 2 หารสมการทั้งหมดด้วย 2 และทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x – 9 = 0
เมื่อเสร็จแล้วให้ทำซ้ำขั้นตอนของกรณีก่อนหน้านี้
x2 + 8x – 9 = 0
x2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 หรือ x + 4 = –5
x = 5 – 4 หรือ x = – 5 – 4
x = 1 หรือ x = – 9
ผลิตภัณฑ์เด่นและสมการดีกรีที่สอง: ที่มาของวิธีการทำให้เสร็จเป็นกำลังสอง
สมการกำลังสองก็เหมือนกับผลคูณที่น่าทึ่งมาก ผลรวมสี่เหลี่ยม และ สแควร์ของความแตกต่าง
ตัวอย่างเช่น ผลรวมกำลังสอง คือผลรวมของโมโนเมียลสองตัวกำลังสอง ดู:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
สมาชิกตัวแรกของความเท่าเทียมกันข้างต้นเรียกว่า สินค้าโดดเด่น และวิธีที่สอง trinomial สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ. อันหลังนี้เหมือนกับสมการของดีกรีที่สองมาก ดู:
ไตรโนเมียลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ: x2 + 2kx + k2
สมการดีกรีที่สอง: ขวาน2 + bx + c = 0
ด้วยวิธีนี้ หากมีวิธีเขียนสมการกำลังสองเป็นผลคูณที่น่าทึ่ง อาจมีวิธีค้นหาผลลัพธ์ของคุณโดยไม่ต้องใช้สูตรของ ภัสกร.
ในการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่าในผลิตภัณฑ์เด่นด้านบน a = 1, b = 2·k และ c = k2. ด้วยวิธีนี้ เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการที่ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ในรูปแบบของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น
ดูที่สัมประสิทธิ์ในสมการ ถ้า “a” ต่างจาก 1 ให้หารสมการทั้งหมดด้วยค่าของ “a” มิฉะนั้น ให้สังเกตค่าสัมประสิทธิ์ “b” ค่าตัวเลขครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์นี้ต้องเท่ากับค่าตัวเลขของรากที่สองของสัมประสิทธิ์ "c" ทางคณิตศาสตร์ให้สมการ ax2 + bx + c = 0 ถ้า a = 1 และนอกจากนี้:
บี = ค
2
ดังนั้น คุณสามารถเขียนสมการนี้ได้ดังนี้:
ขวาน2 + bx + c = (x + บี) = 0
2
และรากของมันจะเป็น - บี และ + ข.
2 2
ดังนั้นทฤษฎีทั้งหมดจึงใช้ในการคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยวิธีการเติมกำลังสอง
โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ซิลวา, ลุยซ์ เปาโล โมเรร่า. "วิธีการเติมสี่เหลี่ยม"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm. เข้าถึงเมื่อ 28 มิถุนายน 2021.
