หนึ่ง สมการพหุนาม มีลักษณะเฉพาะโดยมี พหุนาม เท่ากับศูนย์ สามารถกำหนดลักษณะโดยดีกรีของพหุนาม และยิ่งดีกรีนี้มากเท่าใด ระดับความยากในการหาคำตอบหรือรากของพหุนามก็จะยิ่งมากขึ้น
สิ่งสำคัญในบริบทนี้คือการทำความเข้าใจว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตคืออะไร ซึ่งระบุว่า ทุกสมการพหุนามมีคำตอบเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งตัวอีกนัยหนึ่งคือ สมการดีกรีหนึ่งจะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ สมการของดีกรีที่สองจะมีคำตอบอย่างน้อยสองคำตอบ และอื่นๆ
อ่านด้วยนะ: คลาสของพหุนามคืออะไร?
สมการพหุนามคืออะไร
สมการพหุนามมีลักษณะเฉพาะโดยมีพหุนามเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ทุกนิพจน์ของประเภท P(x) = 0 เป็นสมการพหุนามโดยที่ P(x) เป็นพหุนาม ดูกรณีทั่วไปของสมการพหุนามและตัวอย่างด้านล่าง
พิจารณาไม่, แน -1, แ น -2, …, ดิ1, แ0 และ x ตัวเลขจริงและ n เป็นจำนวนเต็มบวก นิพจน์ต่อไปนี้คือสมการพหุนามของดีกรี n
- ตัวอย่าง
สมการต่อไปนี้เป็นพหุนาม
ก) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
ข) 5x2 – 3 = 0
ค) 6x - 1 = 0
ง) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
สมการพหุนามก็มีดีกรีเช่นเดียวกับพหุนาม การหาระดับของสมการพหุนาม ให้หากำลังสูงสุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่างจากศูนย์ ดังนั้น สมการของข้อที่แล้วจึงเป็นดังนี้
ก) สมการมาจาก องศาที่สี่:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) สมการมาจาก มัธยม:5x2 – 3 = 0.
c) สมการมาจาก ปริญญาแรก:6x – 1 = 0.
d) สมการมาจาก ระดับที่สาม: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
จะแก้สมการพหุนามได้อย่างไร?
วิธีการแก้สมการพหุนามขึ้นอยู่กับระดับของมัน ยิ่งดีกรีของสมการมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งแก้ได้ยากเท่านั้น ในบทความนี้เราจะแสดงวิธีการแก้สมการพหุนามของ ดีกรีแรก ดีกรีที่สอง และไบสแควร์
สมการพหุนามของดีกรีที่หนึ่ง
สมการพหุนามของดีกรีแรกอธิบายโดย a by พหุนามดีกรี 1 เราสามารถเขียนสมการของดีกรีหนึ่งโดยทั่วไปได้ดังนี้
พิจารณาสองจำนวนจริง และ บี ด้วย ≠ 0 นิพจน์ต่อไปนี้คือสมการพหุนามของดีกรีที่หนึ่ง:
ขวาน + ข = 0
ในการแก้สมการนี้ เราต้องใช้ หลักการเทียบเท่ากล่าวคือ ทุกสิ่งที่ทำงานด้านใดด้านหนึ่งเท่าเทียม ก็ต้องดำเนินการอีกด้านหนึ่งด้วย ในการหาคำตอบของสมการของดีกรีที่หนึ่ง เราต้อง แยกสิ่งที่ไม่รู้จัก สำหรับสิ่งนี้ ขั้นตอนแรกคือการกำจัด บี ทางด้านซ้ายของความเสมอภาคแล้ว ลบพาย b ทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน
ขวาน + b - บี = 0 - บี
ขวาน = - b
โปรดทราบว่าค่าของ x ที่ไม่รู้จักนั้นไม่ได้ถูกแยกออก ค่าสัมประสิทธิ์ a จะต้องถูกกำจัดออกจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน สำหรับการนั้น ลองหารทั้งสองข้างด้วย .
- ตัวอย่าง
แก้สมการ 5x + 25 = 0
ในการแก้ปัญหา เราต้องใช้หลักการสมมูล เพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการ เราจะละเว้นการเขียนการดำเนินการทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันเป็น เทียบเท่ากับการบอกว่าเรากำลังจะ "ผ่าน" ตัวเลขไปยังอีกด้านหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย (การดำเนินการผกผัน)
เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการประเภทนี้โดยเข้าไปที่ข้อความของเรา: สมการดีกรีแรกกับค่าที่ไม่ทราบค่า.
สมการพหุนามของดีกรีที่สอง
สมการพหุนามของดีกรีที่สองมีลักษณะเป็น a พหุนามดีกรี 2. ดังนั้น ลองพิจารณาจำนวนจริง a, b และ c ด้วย a ≠ 0 สมการดีกรีที่สองถูกกำหนดโดย:
ขวาน2 + bx + c = 0
การแก้ปัญหาของคุณสามารถกำหนดได้โดยใช้วิธีการของ ภัสการะ หรือโดยแฟคตอริ่ง หากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการประเภทนี้ โปรดอ่าน: Eqการกระทำของ สที่สอง grau.
→ วิธีภัสการะ
โดยใช้วิธีการของ Bhaskara รากของมันถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:
- ตัวอย่าง
หาคำตอบของสมการ x2 – 3x + 2 = 0
โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ของสมการคือ a = 1, b = – 3 และ c = 2 ตามลำดับ โดยการแทนที่ค่าเหล่านี้ในสูตร เราต้อง:
→ การแยกตัวประกอบ
เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะแยกตัวประกอบนิพจน์ x2 – 3x + 2 = 0 โดยใช้แนวคิดของ การแยกตัวประกอบพหุนาม.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
สังเกตว่าตอนนี้เรามีผลคูณเท่ากับศูนย์ และผลิตภัณฑ์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราต้อง:
x – 2 = 0
x = 2
หรือ
x - 1 = 0
x = 1
เห็นว่าเราพบคำตอบของสมการโดยใช้สองวิธีที่แตกต่างกัน
สมการสองกำลังสอง
เธ สมการไบสแควร์ มันคือ กรณีเฉพาะของสมการพหุนามของดีกรีที่สี่ปกติแล้วสมการดีกรีที่สี่จะเขียนในรูปแบบ:
ขวาน4 + bx3 + กล่อง2 + dx + e = 0
ที่ตัวเลข เอบีซีดี และ และ เป็นจริงด้วย ≠ 0 สมการดีกรีที่สี่ถือเป็นไบสแควร์เมื่อสัมประสิทธิ์ b = d = 0 นั่นคือสมการอยู่ในรูปแบบ:
ขวาน4 + กล่อง2 + และ = 0
ดูวิธีการแก้สมการนี้ในตัวอย่างด้านล่าง
- ตัวอย่าง
แก้สมการ x4 – 10x2 + 9 = 0.
ในการแก้สมการ เราจะใช้การเปลี่ยนแปลงที่ไม่รู้จักต่อไปนี้ และเมื่อใดก็ตามที่สมการเป็นไบสแควร์ เราจะทำการเปลี่ยนแปลงนั้น
x2 =p
จากสมการไบสแควร์ สังเกตว่า x4 = (x2)2 ดังนั้นเราจึงต้อง:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
พี2 – 10p + 9 = 0
เห็นว่าตอนนี้เรามีสมการพหุนามของดีกรีที่สองแล้ว และเราสามารถใช้วิธีของ Bhaskara ได้ดังนี้
อย่างไรก็ตาม เราต้องจำไว้ว่า ในช่วงเริ่มต้นของการฝึก มีการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ทราบสาเหตุ ดังนั้นเราจึงต้องใช้ค่าที่พบในการแทนที่
x2 =p
สำหรับ p = 9 เราต้อง:
x2 = 9
x’ = 3
หรือ
x'' = – 3
สำหรับ p = 1
x2 = 1
x' = 1
หรือ
x'' = – 1
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการไบสแควร์คือ:
S = {3, –3, 1, –1}
อ่านด้วย: อุปกรณ์เชิงปฏิบัติของ Briot-Ruffini – การแบ่งพหุนาม
ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต (TFA)
ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต (TFA) พิสูจน์โดยเกาส์ในปี ค.ศ. 1799 ระบุว่าทุกสมการพหุนามดังต่อไปนี้มีรากเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก
รากของสมการพหุนามคือคำตอบ นั่นคือ ค่าที่ไม่รู้จักคือสิ่งที่ทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ตัวอย่างเช่น สมการดีกรีที่หนึ่งมีการกำหนดรูตแล้ว เช่นเดียวกับสมการดีกรีที่สองซึ่งมีรากอย่างน้อยสองราก และไบสแควร์ที่มีรากอย่างน้อยสี่ราก
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 – กำหนดค่าของ x ที่ทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง
2x - 8 = 3x + 7
ความละเอียด
โปรดทราบว่าในการแก้สมการนั้น จำเป็นต้องจัดระเบียบ นั่นคือ ปล่อยให้สิ่งที่ไม่รู้ทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
– x = 15
โดยหลักการสมมูล เราสามารถคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วยจำนวนเดียวกัน และเนื่องจากเราต้องการหาค่าของ x เราจะคูณทั้งสองข้างด้วย –1
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
คำถาม2 - มาร์กอสมีมากกว่า João 20 ดอลลาร์ พวกเขาร่วมกันซื้อรองเท้าผ้าใบได้ 2 คู่ ราคาคู่ละ 80 แรนด์ และไม่มีเงินเหลือ จอห์นมีกี่เรียล?
ความละเอียด
สมมติว่ามาร์กมี x เรียล เนื่องจากจอห์นมีมากกว่า 20 เรียล เขามี x + 20
เครื่องหมาย → x จริง
João → (x + 20) เรียล
พวกเขาซื้ออย่างไร รองเท้าผ้าใบสองคู่ ซึ่งราคาอันละ 80 เรียล ดังนั้นถ้าเราประกอบแต่ละส่วนเข้าด้วยกัน เราจะต้อง:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
ดังนั้น มาระโกจึงมี 70 เรียล และ João มี 90 เรียล
โดย Robson Luiz
ครูคณิต
