พีชคณิตคืออะไร?

พีชคณิต มันเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่สรุปเลขคณิต หมายความว่า แนวคิดและการดำเนินการจากเลขคณิต (บวก ลบ คูณ หาร ฯลฯ) จะได้รับการทดสอบและประสิทธิภาพของมันจะได้รับการพิสูจน์สำหรับตัวเลขทั้งหมดที่เป็นของชุดใดชุดหนึ่ง ตัวเลข

ตัวอย่างเช่น การดำเนินการ "บวก" ใช้ได้กับตัวเลขทั้งหมดที่เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติหรือไม่ หรือมีตัวเลขธรรมชาติจำนวนมากที่ใกล้เคียงกับอนันต์ซึ่งมีพฤติกรรมแตกต่างจากตัวอื่นเมื่อนำมารวมกันหรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้มอบให้โดย พีชคณิต: ขั้นแรก กำหนดชุดของจำนวนธรรมชาติและการดำเนินการจะเพิ่ม จากนั้นจะพิสูจน์ได้ว่าการดำเนินการเพิ่มเติมนั้นใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติใด ๆ

เรา พีชคณิตศึกษา, ตัวอักษรใช้แทนตัวเลข ตัวอักษรเหล่านี้สามารถแทนตัวเลขที่ไม่รู้จักหรือตัวเลขใดๆ ที่เป็นของชุดตัวเลขก็ได้ ถ้า x เป็นจำนวนคู่ ตัวอย่างเช่น x สามารถเป็น 2, 4, 6, 8, 10,... ด้วยวิธีนี้ x คือจำนวนใดๆ ที่เป็นของเซตของจำนวนคู่ และเป็นที่แน่ชัดว่าจำนวน x คืออะไร: ผลคูณของ 2

• คุณสมบัติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

เมื่อรู้ว่าตัวเลขใดๆ ที่อยู่ในชุดสามารถแสดงด้วยตัวอักษรได้ ให้พิจารณาว่าตัวเลข x, y และ z เป็นของชุดตัวเลข

จริง และการดำเนินงาน ส่วนที่เพิ่มเข้าไป และ การคูณ แทนด้วย “+” และ “·” ตามลำดับ ดังนั้น คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้กับ x, y และ z:

1 - สมาคม

(x + y) + z = x + (y + z)

(x·y)·z = x·(y·z)

2 – การสับเปลี่ยน

x + y = y + x

x·y = y·x

3 – การดำรงอยู่ขององค์ประกอบที่เป็นกลาง (1 สำหรับการคูณและ 0 สำหรับการบวก)

x + 0 = x

x·1 = x

4 – การดำรงอยู่ขององค์ประกอบตรงข้าม (หรือสมมาตร)

x + (–x) = 0

x· 1 = 1
x

5 – การกระจาย (เรียกอีกอย่างว่าคุณสมบัติการกระจายของการคูณมากกว่าการบวก)

x·(y + z) = x·y + x·z

เหล่านี้ ห้าคุณสมบัติ ใช้ได้กับจำนวนจริง x, y และ z เนื่องจากตัวอักษรเหล่านี้ถูกใช้เพื่อแสดงจำนวนจริงใดๆ พวกเขายังใช้ได้สำหรับการบวกและการคูณ

• นิพจน์พีชคณิต

ในวิชาคณิตศาสตร์ การแสดงออก เป็นลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการกับตัวเลขบางตัว ตัวอย่างเช่น 2 + 3 – 7 เป็นนิพจน์ตัวเลข เมื่อนิพจน์นี้เกี่ยวข้องกับตัวเลขที่ไม่รู้จัก (unknowns) จะถูกเรียกว่า นิพจน์พีชคณิต. นิพจน์พีชคณิตที่มีพจน์เดียวเรียกว่าโมโนเมียม อะไรก็ได้ นิพจน์พีชคณิต ซึ่งเป็นผลมาจากการบวกหรือการลบระหว่างโมโนเมียลสองตัวเรียกว่าพหุนาม

นิพจน์พีชคณิตโมโนเมียลและพหุนามเป็นตัวอย่างขององค์ประกอบที่เป็นของพีชคณิต เนื่องจากประกอบขึ้นจากการดำเนินการด้วยตัวเลขที่ไม่รู้จัก จำไว้ว่าตัวเลขที่ไม่รู้จักสามารถแทนตัวเลขใดๆ ในชุดตัวเลขได้

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

• สมการ

สมการ พวกเขาเป็น นิพจน์พีชคณิต ที่มีความเท่าเทียมกัน ดังนั้น สมการ เป็นเนื้อหาของวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขกับสิ่งที่ไม่รู้ผ่านความเท่าเทียมกัน

การมีอยู่ของสิ่งที่ไม่รู้จักคือสิ่งที่จำแนกประเภท สมการ เป็นนิพจน์พีชคณิต การมีอยู่ของความเท่าเทียมกันทำให้สามารถหาคำตอบของสมการ นั่นคือ ค่าตัวเลขของค่าที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่าง

1) 2x + 4 = 0

2) 4x - 4 = 19 - 8x

3) 2x² + 8x – 9 = 0

• บทบาท

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันมีดังนี้: อาชีพ เป็นกฎที่เชื่อมโยงแต่ละองค์ประกอบของชุดกับองค์ประกอบเดียวของชุดที่สอง

กฎนี้แสดงทางคณิตศาสตร์โดยนิพจน์พีชคณิตที่มีความเท่าเทียมกัน แต่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ไม่รู้จักกับสิ่งที่ไม่รู้จัก นี่คือความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันและสมการ: สมการเกี่ยวข้องกับค่าที่ไม่รู้จักกับจำนวนคงที่ ที่ อาชีพ, ที่ไม่รู้จักแสดงถึงชุดตัวเลขทั้งหมด ด้วยเหตุนี้ ภายในฟังก์ชัน ค่าที่ไม่รู้จักจึงเรียกว่าตัวแปร เนื่องจากสามารถรับค่าใดๆ ภายในชุดที่แทนค่าได้

เนื่องจากมันเกี่ยวข้องกับนิพจน์พีชคณิต อาชีพ นอกจากนี้ยังเป็นเนื้อหาที่เป็นของพีชคณิตเนื่องจากตัวอักษรเป็นตัวแทนของตัวเลขใด ๆ ที่เป็นของชุดตัวเลขใด ๆ

ตัวอย่าง:

1) พิจารณาฟังก์ชัน y = x²โดยที่ x คือค่าใดๆ เบอร์จริง.

ในเรื่องนี้ อาชีพ, ตัวแปร x สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ภายในเซตของจำนวนจริง เนื่องจากกฎที่เชื่อมตัวเลขที่แทนด้วย x กับตัวเลขที่แสดงโดย y เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้น y จึงแทนจำนวนจริงด้วย รายละเอียดเพียงอย่างเดียวเกี่ยวกับสิ่งนี้คือ y ไม่สามารถแทนจำนวนจริงลบในฟังก์ชันนี้ได้ เนื่องจาก y เป็นผลจากกำลังเลขชี้กำลัง 2 ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกเสมอ

2) พิจารณาฟังก์ชัน y = 2x โดยที่ x คือ a จำนวนธรรมชาติ

ในเรื่องนี้ อาชีพตัวแปร x สามารถรับค่าใดก็ได้ภายในชุดของจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นค่าที่ y หาได้จึงเป็นจำนวนธรรมชาติที่คูณด้วย 2 ด้วยวิธีนี้ y เป็นตัวแทนของเซตของจำนวนคู่

• จากพีชคณิตคลาสสิกไปจนถึงพีชคณิตนามธรรม

แนวคิดที่ระบุไว้จนถึงตอนนี้ประกอบขึ้นเป็น พีชคณิตคลาสสิก. พีชคณิตส่วนนี้เชื่อมโยงกับชุดของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ อตรรกยะ จริงและซับซ้อนมากกว่า และศึกษาทั้งในระดับประถมศึกษาและระดับอุดมศึกษา ส่วนอื่นของพีชคณิตที่เรียกว่านามธรรมศึกษาโครงสร้างเดียวกันนี้ แต่สำหรับชุดใด ๆ

ดังนั้นชุดใด ๆ ที่มีองค์ประกอบใด ๆ (ตัวเลขหรือไม่) ก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดการดำเนินการ "เพิ่มเติม" การดำเนินการ "คูณ" และตรวจสอบการมีอยู่หรือไม่ของคุณสมบัติของการดำเนินการเหล่านี้ตลอดจนความถูกต้องของ "สมการ" "ฟังก์ชัน" "พหุนาม" เป็นต้น

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต