ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: มันคืออะไร, เงื่อนไข, ตัวอย่าง

THE ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (AP) คือ ลำดับตัวเลข ที่เราใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมของปรากฏการณ์บางอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ ใน PA, the เติบโตหรือเสื่อมสลายอยู่เสมอนั่นคือ จากเทอมหนึ่งไปอีกเทอมหนึ่ง ความแตกต่างจะเหมือนเดิมเสมอ และความแตกต่างนี้เรียกว่าเหตุผล

อันเป็นผลมาจาก พฤติกรรมที่คาดเดาได้ของความก้าวหน้าคุณสามารถอธิบายได้จากสูตรที่เรียกว่า คำทั่วไป. ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้ จึงเป็นไปได้ที่จะคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของ PA โดยใช้สูตรเฉพาะ

อ่านด้วย: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - วิธีการคำนวณ?

PA คืออะไร?

การทำความเข้าใจว่า PA เป็นลำดับของคำศัพท์ที่ ความแตกต่างระหว่างพจน์และค่าก่อนหน้าจะคงที่เสมอในการอธิบายความก้าวหน้านี้จากสูตร เราต้องหาพจน์เริ่มต้น หรือ นั่นคือระยะแรกของความก้าวหน้าและเหตุผลซึ่งเป็นความแตกต่างคงที่ระหว่าง เงื่อนไข

โดยทั่วไป PA เขียนดังนี้:

(ดิ₁, แ₂,ดิ₃, แ₄,ดิ₅, แ₆,ดิ₇, แ₈)

เทอมแรกคือ a₁ และจากมันไปยัง เพิ่ม เหตุผล ร, มาค้นหาเงื่อนไขผู้สืบทอดกันเถอะ

₁ + r = a_2
2 + r = a_3
3 + r = a₄

...

ดังนั้น ในการเขียนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราจำเป็นต้องรู้ว่าใครเป็นเทอมแรกและทำไม

ตัวอย่าง:

ลองเขียนหกเทอมแรกของ AP โดยรู้ว่าเทอมแรกคือ 4 และอัตราส่วนเท่ากับ 2 รู้จัก

₁ =4 และ r = 2 เราสรุปได้ว่าความก้าวหน้านี้เริ่มต้นที่ 4 และเพิ่มจาก 2 เป็น 2 ดังนั้นเราจึงสามารถอธิบายเงื่อนไขของมันได้

₁ = 4

₂ = 4+ 2 = 6

₃ = 6 + 2 = 8

₄ = 8 + 2 = 10

₅= 10 + 2 = 12

₆ = 12 + 2 =14

BP นี้เท่ากับ (4,6,8,10,12,14 …)

เงื่อนไขทั่วไปของ PA

การอธิบาย PA จากสูตรทำให้เราค้นหาเงื่อนไขใดๆ ของ PA ได้ง่าย ในการหาคำศัพท์ของ AP เราใช้สูตรต่อไปนี้:

ไม่=a1 + ร·(n-1)

N→ คือตำแหน่งของเทอม;

₁→ เป็นเทอมแรก;

r → เหตุผล

ตัวอย่าง:

ค้นหามัน เงื่อนไขทั่วไปของ PA (1,5,9,13,…) และระยะที่ 5, 10 และ 23

ขั้นตอนที่ 1: หาเหตุผล

ในการหาอัตราส่วน ให้คำนวณความแตกต่างระหว่างสองเทอมที่ต่อเนื่องกัน: 5 – 1 = 4; ในกรณีนี้ r = 4 .

ขั้นตอนที่ 2: หาคำทั่วไป

เราจะรู้ได้อย่างไรว่า₁= 1 และ r = 4, ลองแทนในสูตร.

_ไม่=a₁ + r (n - 1)

_ไม่=1 + 4 (n - 1)

_ไม่=1 + 4n - 4

_ไม่= 4n – 3 → ระยะทั่วไปของ PA

ขั้นตอนที่ 3: รู้คำศัพท์ทั่วไป มาคำนวณเทอมที่ 5, 10 และ 23 กัน

เทอมที่ 5 → n = 5
_ไม่=4n - 3
₅=4·5 – 3
₅=20 – 3
₅=17

เทอมที่ 10 → n = 10
_ไม่=4n - 3
₁₀=4·10 – 3
₁₀=40 – 3
₁₀=37

เทอมที่ 23 → n = 23
_ไม่=4n - 3
₂₃=4·23 – 3
₂₃=92 – 3
₂₃=89

ประเภทของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มีความเป็นไปได้สามประการสำหรับ PA เพิ่มขึ้น ลดลง หรือคงที่ก็ได้

• กำลังเติบโต

ตามชื่อของมัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเพิ่มขึ้นเมื่อ เมื่อเงื่อนไขเพิ่มขึ้น มูลค่าก็เพิ่มขึ้นเช่นกันนั่นคือ เทอมที่สองมากกว่าเทอมแรก เทอมที่สามมากกว่าเทอมที่สอง และอื่นๆ

₁ < ถึง₂ < ถึง₃ < ถึง₄ < …. ไม่

เพื่อให้สิ่งนี้เกิดขึ้น อัตราส่วนต้องเป็นบวก นั่นคือ PA จะเพิ่มขึ้นหาก r > 0

ตัวอย่าง:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• จากมากไปน้อย

ตามชื่อของมัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะลดลงเมื่อ เมื่อเงื่อนไขเพิ่มขึ้น มูลค่าจะลดลงนั่นคือ เทอมที่สองมีค่าน้อยกว่าเทอมแรก เทอมที่สามน้อยกว่าเทอมที่สอง เป็นต้น

₁ > the₂ > the₃ > the₄ > …. >ที่_ไม่

เพื่อให้สิ่งนี้เกิดขึ้น อัตราส่วนจะต้องเป็นลบ นั่นคือ PA จะเพิ่มขึ้นหาก r < 0

ตัวอย่าง:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• ค่าคงที่

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะคงที่เมื่อ เมื่อเงื่อนไขเพิ่มขึ้น ค่าจะยังคงเหมือนเดิมนั่นคือ เทอมแรกเท่ากับเทอมที่สอง ซึ่งเท่ากับเทอมที่สาม เป็นต้น

₁ = the₂ = the₃ = the₄ = …. =a_ไม่

เพื่อให้ PA เป็นค่าคงที่ อัตราส่วนต้องเท่ากับศูนย์ นั่นคือ r = 0

ตัวอย่าง:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

ดูด้วย: สินค้าตามเงื่อนไข PG - สูตรอะไร ?

คุณสมบัติของ PA

• ทรัพย์สินที่ 1

กำหนดเงื่อนไขใด ๆ ของ PA, the เฉลี่ย เลขคณิต ระหว่างผู้สืบทอดและรุ่นก่อนนั้นเท่ากับระยะนั้น

ตัวอย่าง:

พิจารณาความก้าวหน้า (-1, 2, 5, 8, 11) และระยะที่ 8 ค่าเฉลี่ยระหว่าง 11 ถึง 5 เท่ากับ 8 นั่นคือผลรวมของผู้สืบทอดกับหมายเลขก่อนหน้าใน PA จะเท่ากับตัวเลขนี้เสมอ

• ทรัพย์สินที่ 2

ผลรวมของระยะเท่ากันจะเท่ากันเสมอ

ตัวอย่าง:

ผลรวมของเงื่อนไขของ PA

สมมติว่าเราต้องการเพิ่มคำศัพท์ BP หกคำที่แสดงด้านบน: (16,13,10,7,4,1) เราสามารถเพิ่มเงื่อนไขของพวกเขาได้ – ซึ่งในกรณีนี้มีไม่กี่คำก็เป็นไปได้ – แต่ถ้าเป็น สตริงที่ยาวกว่า คุณควรใช้คุณสมบัติ. เรารู้ว่าผลรวมของระยะเท่ากันเสมอกัน ดังที่เราเห็นในคุณสมบัติ ดังนั้นถ้าเราทำสิ่งนี้ บวกหนึ่งแล้วคูณด้วยครึ่งหนึ่งของจำนวนเทอม เรามีผลรวมของหกเทอมแรกของ แพน.

สังเกตว่า ในตัวอย่าง เราจะคำนวณผลรวมของตัวแรกกับตัวสุดท้าย ซึ่งเท่ากับ 17 คูณด้วยครึ่งหนึ่งของจำนวนเทอม นั่นคือ 17 คูณ 3 ซึ่งเท่ากับ 51

สูตรของ ผลรวมของเงื่อนไขของ PA มันถูกพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ Gauss ผู้ซึ่งตระหนักถึงความสมมาตรนี้ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรเขียนดังนี้:

ส_ไม่ → ผลรวมของ n องค์ประกอบ

₁ → เทอมแรก

_ไม่ → เทอมสุดท้าย

n → จำนวนเทอม

ตัวอย่าง:

คำนวณผลรวมของเลขคี่ตั้งแต่ 1 ถึง 2000

ความละเอียด:

เรารู้ว่าลำดับนี้คือ PA (1,3,5, …. 1997, 1999). การทำผลรวมจะเป็นงานมากดังนั้นสูตรจึงค่อนข้างสะดวก จาก 1 ถึง 2000 ครึ่งหนึ่งของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นจึงมีตัวเลขคี่ 1,000 ตัว

ข้อมูล:

n→ 1000

₁ → 1

_ไม่ → 1999

เข้าถึงด้วย: ผลรวมของ PG ที่แน่นอน – จะทำอย่างไร?

การสอดแทรกของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การรู้คำศัพท์ที่ไม่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเลขคณิตสองคำจึงเป็นไปได้ที่จะค้นหาคำศัพท์ทั้งหมดที่อยู่ระหว่างตัวเลขสองตัวนี้สิ่งที่เรารู้ การสอดแทรกของวิธีการทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง:

ลองสอดแทรก 5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่าง 13 ถึง 55 นั่นหมายความว่ามีตัวเลข 5 ตัวระหว่าง 13 ถึง 55 และพวกมันเป็นความก้าวหน้า

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

ในการหาตัวเลขเหล่านี้ จำเป็นต้องหาสาเหตุ เรารู้ว่าเทอมแรก (the₁ = 13) และเทอมที่ 7 (the₇= 55) แต่เรารู้ว่า:

_ไม่ = the₁ + r ·(n – 1 )

เมื่อ n = 7 → a_ไม่= 55. เรายังรู้ค่าของ a₁=13. ดังนั้น แทนที่มันในสูตร เราต้อง:

55 = 13 + r ·( 7 – 1 )

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42:6

ร = 7

เมื่อทราบเหตุผลแล้ว เราจะสามารถค้นหาคำศัพท์ที่อยู่ระหว่าง 13 ถึง 55

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

ลำดับตั้งแต่ 1 ถึง 10 คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของอัตราส่วน 1

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - (ศัตรู 2012) - การเล่นไพ่เป็นกิจกรรมที่กระตุ้นการใช้เหตุผล เกมแบบดั้งเดิมคือ Solitaire ซึ่งใช้ไพ่ 52 ใบ ในขั้นต้น เจ็ดคอลัมน์ถูกสร้างขึ้นด้วยไพ่ คอลัมน์แรกมีไพ่หนึ่งใบ คอลัมน์ที่สองมีไพ่สองใบ คอลัมน์ที่สามมีไพ่สามใบ คอลัมน์ที่สี่มีไพ่สี่ใบ และอื่นๆ ต่อเนื่องกันไปที่คอลัมน์ที่เจ็ดซึ่งมีไพ่เจ็ดใบและสิ่งที่ประกอบขึ้นเป็นกองซึ่งเป็นไพ่ที่ไม่ได้ใช้ใน คอลัมน์

จำนวนไพ่ที่ประกอบเป็นกองคือ:

ก) 21.
ข) 24.
ค) 26.
ง) 28.
จ) 31.

ความละเอียด

ทางเลือก ข.

อันดับแรก มาคำนวณจำนวนไพ่ทั้งหมดที่ใช้กันก่อน เรากำลังทำงานกับ AP ที่มีเทอมแรกคือ 1 และอัตราส่วนคือ 1 ด้วย ดังนั้น เมื่อคำนวณผลรวมของ 7 แถว เทอมสุดท้ายคือ 7 และค่าของ n ก็คือ 7 ด้วย

โดยรู้ว่าจำนวนไพ่ที่ใช้ทั้งหมด 28 ใบ และมีไพ่ 52 ใบ กองจะประกอบขึ้นจาก:

52 - 28 = 24 ใบ

คำถามที่ 2 - (ศัตรู 2018) ศาลากลางของเมืองเล็ก ๆ ในการตกแต่งภายในตัดสินใจที่จะวางเสาไฟรอบ ๆ ไปตามถนนเส้นตรงที่เริ่มต้นจากจตุรัสกลางและสิ้นสุดที่ฟาร์มในพื้นที่ ชนบท เนื่องจากจัตุรัสมีไฟส่องสว่างอยู่แล้ว เสาแรกจะอยู่ห่างจากจัตุรัส 80 เมตร เสาที่สองอยู่ที่ 100 เมตร เสาที่สามอยู่ที่ 120 เมตร เป็นต้น ต่อเนื่องกัน โดยรักษาระยะห่างระหว่างเสา 20 เมตร เสมอ จนกระทั่งเสาสุดท้ายอยู่ห่างจากเสาหลัก 1,380 เมตร สี่เหลี่ยม

หากเมืองสามารถจ่ายได้สูงสุด R$8,000.00 ต่อโพสต์หนึ่งโพสต์ จำนวนเงินสูงสุดที่คุณสามารถใช้ในการวางโพสต์เหล่านี้คือ:

ก) BRL512 000.00.
ข) BRL 520,000.00.
ค) 528,000.00 ดอลลาร์สิงคโปร์
ง) BRL 552,000.00.
จ) BRL 584 000.00.

ความละเอียด

ทางเลือก C

เรารู้ว่าโพสต์จะถูกวางทุกๆ 20 เมตร นั่นคือ r = 20 และเทอมแรกของ PA นี้คือ 80 นอกจากนี้ เรารู้ว่าเทอมสุดท้ายคือ 1380 แต่เราไม่รู้ว่ามีกี่เทอมระหว่าง 80 ถึง 1380 ในการคำนวณจำนวนพจน์นี้ ให้ใช้สูตรคำทั่วไป

ข้อมูล: a_ไม่ = 1380;₁=80; และ r = 20

_ไม่=a₁ + ร·(n-1)

660 โพสต์จะถูกวาง หากแต่ละรายการมีราคาสูงสุด R$ 8,000 จำนวนเงินสูงสุดที่สามารถใช้กับตำแหน่งของโพสต์เหล่านี้คือ:

66· 8 000 = 528 000

โดย Raul Rodrigues de Oliveira 

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm