เมทริกซ์สามเหลี่ยม: ชนิด ดีเทอร์มิแนนต์ แบบฝึกหัด

เมทริกซ์เป็นรูปสามเหลี่ยม เมื่อองค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักหรือองค์ประกอบที่อยู่ต่ำกว่าเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าว่างทั้งหมด การจำแนกประเภทที่เป็นไปได้สำหรับเมทริกซ์ประเภทนี้มีสองประเภท: อันดับแรกคือเมื่อองค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นโมฆะ ซึ่งตั้งค่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ต่ำกว่า ประการที่สองคือเมื่อองค์ประกอบด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักเป็นโมฆะ ตั้งค่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมโดยกฎของซาร์รัส ให้ทำการคูณในแนวทแยงหลัก เนื่องจากการคูณอื่นๆ จะเท่ากับศูนย์

อ่านด้วย: Array — มันคืออะไรและประเภทที่มีอยู่

เมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นกรณีเฉพาะของเมทริกซ์

ประเภทเมทริกซ์สามเหลี่ยม

เพื่อให้เข้าใจว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมคืออะไร สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสคืออะไร ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์คือเงื่อนไข a._อิจโดยที่ i = j นั่นคือเงื่อนไขที่หมายเลขแถวเท่ากับหมายเลขคอลัมน์

ตัวอย่าง:

คำศัพท์บนเส้นทแยงมุมหลักจะถูกเน้นด้วยสีแดง

ทำความเข้าใจว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสคืออะไรและเส้นทแยงมุมหลักของมันคืออะไร มารู้จักกันดีกว่าว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมคืออะไรและการจำแนกประเภทของมัน มีสองประเภทที่เป็นไปได้สำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยม:

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างและเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน.

• เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง: เกิดขึ้นเมื่อพจน์ทั้งหมดที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ และพจน์ที่อยู่ต่ำกว่าเส้นทแยงมุมหลักคือ ตัวเลขจริง.

ตัวอย่างตัวเลข:

• เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน: เกิดขึ้นเมื่อพจน์ทั้งหมดที่อยู่ต่ำกว่าเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ และพจน์ที่อยู่เหนือเส้นทแยงหลักเป็นจำนวนจริง

ตัวอย่างตัวเลข:

เมทริกซ์แนวทแยง

เมทริกซ์แนวทแยงคือ a กรณีเฉพาะของเมทริกซ์สามเหลี่ยม. ในนั้น คำศัพท์ที่ไม่ใช่ศูนย์คือคำศัพท์ที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลัก คำศัพท์ที่อยู่ด้านบนหรือด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างเชิงตัวเลขของเมทริกซ์แนวทแยง:

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยม

รับเมทริกซ์สามเหลี่ยม เมื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้โดย กฎของซาร์รัสคุณจะเห็นได้ว่าการคูณทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นการคูณพจน์ของเส้นทแยงมุมหลัก

det (A) = a₁₁ · แ₂₂· แ₃₃ + ที่₁₂ · แ₂₃ · 0 + ที่₁₃ · 0 · 0 - ( ดิ₁₃ ·The₂₃ ·0 + ที่₁₁ · แ₂₃ · 0 + ที่₁₂ · 0· แ₃₃)

โปรดทราบว่าในทุกเงื่อนไขยกเว้นข้อแรก ศูนย์เป็นหนึ่งในปัจจัยและทั้งหมด การคูณ โดยศูนย์เท่ากับศูนย์ดังนั้น:

det (A) = a₁₁ · แ₂₂· แ₃₃

โปรดทราบว่านี่คือผลคูณระหว่างเงื่อนไขของเส้นทแยงมุมหลัก

โดยไม่คำนึงถึงจำนวนแถวและคอลัมน์ที่เมทริกซ์สามเหลี่ยมมี ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลคูณของเงื่อนไขของเส้นทแยงมุมหลักเสมอ.

ดูด้วย: ดีเทอร์มิแนนต์ — คุณลักษณะที่ใช้กับเมทริกซ์กำลังสอง

คุณสมบัติเมทริกซ์สามเหลี่ยม Tri

เมทริกซ์สามเหลี่ยมมีคุณสมบัติเฉพาะบางอย่าง

• ทรัพย์สินที่ 1: ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของเงื่อนไขของเส้นทแยงมุมหลัก
• ทรัพย์สินที่ 2: ผลคูณระหว่างเมทริกซ์สามเหลี่ยมสองอันคือเมทริกซ์สามเหลี่ยม
• ทรัพย์สินที่ 3: ถ้าหนึ่งในเงื่อนไขของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับศูนย์และด้วยเหตุนี้ มันจะไม่กลับด้าน
• ทรัพย์สินที่ 4: เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์สามเหลี่ยมก็เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมเช่นกัน
• ทรัพย์สินที่ 5: ผลรวมของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนสองเมทริกซ์คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างสองเมทริกซ์คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

แก้ไขแบบฝึกหัด

1) จากเมทริกซ์ A ค่าของดีเทอร์มีแนนต์ของ A คือ:

ก) 2

ข) 0

ค) 9

ง) 45

จ) 25

ความละเอียด

ทางเลือก ง.

เมทริกซ์นี้เป็นรูปสามเหลี่ยมล่าง ดีเทอร์มีแนนต์คือการคูณเทอมบนเส้นทแยงมุมหลัก

เดต (A) = 1·3·3·1·5 = 45

2) ตัดสินข้อความต่อไปนี้

I → ทุกตารางเมทริกซ์เป็นรูปสามเหลี่ยม

II → ผลรวมของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนกับเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างจะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมเสมอ

III → ทุกเมทริกซ์เอกลักษณ์ในแนวทแยงเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

ลำดับที่ถูกต้องคือ:

ก) วี, วี, วี.

ข) F, F, F.

ค) F, V, F.

ง) F, F, V.

จ) V, V, F.

ความละเอียด

ทางเลือก ง.

I → เท็จเพราะทุกเมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ใช่ทุกเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสามเหลี่ยม

II → เท็จ เนื่องจากผลรวมระหว่างเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนและล่างไม่ได้ส่งผลให้เกิดเมทริกซ์สามเหลี่ยมเสมอไป

III → จริง เนื่องจากเงื่อนไขต่างจากเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากับศูนย์

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm