การจัดเรียงซ้ำ: มันคืออะไรสูตรตัวอย่าง

เรารู้วิธี จัดเรียงซ้ำหรือจัดเรียงให้สมบูรณ์, จัดกลุ่มใหม่ทั้งหมดที่เราสามารถสร้างด้วย k องค์ประกอบของชุดด้วย ไม่ องค์ประกอบที่มีองค์ประกอบของ element ไม่ อาจปรากฏขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้ง THE การวิเคราะห์เชิงผสม เป็นพื้นที่ของคณิตศาสตร์ที่พัฒนาเทคนิคการนับเพื่อหาจำนวนกลุ่มที่เป็นไปได้ในบางสถานการณ์

ในบรรดากลุ่มเหล่านี้ มีการจัดเรียงที่มีการทำซ้ำ เช่น ในปัจจุบัน เช่น การสร้างรหัสผ่าน แผ่นป้ายทะเบียน, ระหว่างผู้อื่น. เพื่อแก้ไขสถานการณ์เหล่านี้ เราใช้สูตรการจัดเรียงที่มีการทำซ้ำเป็นเทคนิคการนับ มีสูตรที่แตกต่างกันสำหรับการคำนวณการจัดเรียงที่เกิดซ้ำและการจัดเรียงที่ไม่เกิดซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องทราบวิธีแยกความแตกต่างในแต่ละสถานการณ์เพื่อใช้เทคนิคการนับที่ถูกต้อง

อ่านด้วย: หลักการพื้นฐานของการนับ - แนวคิดหลักของการวิเคราะห์เชิงผสม

การจัดการกับการทำซ้ำคืออะไร?

มีการจัดเรียงซ้ำๆ กันในการผลิตแผ่นป้ายทะเบียนรถ [1]

ในชีวิตประจำวันของเรา เราเจอสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับและการจัดกลุ่ม ซึ่งปรากฏใน เลือกรหัสผ่านจากโซเชียลเน็ตเวิร์กหรือธนาคาร และในหมายเลขโทรศัพท์หรือสถานการณ์ที่เกี่ยวข้อง คิว อย่างไรก็ตาม เราถูกรายล้อมไปด้วยสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการจัดกลุ่มเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น บนแผ่นป้ายทะเบียนซึ่งประกอบด้วยตัวอักษรสามตัวและตัวเลขสี่ตัวมี a สตริงเฉพาะตามสถานะที่ระบุรถแต่ละคัน ในกรณีนี้ เรากำลังทำงานด้วย การเตรียมการ เมื่อสามารถทำซ้ำองค์ประกอบได้ เรากำลังทำงานกับการจัดเรียงที่สมบูรณ์หรือการจัดเรียงด้วยการทำซ้ำ

ให้ชุดกับ ไม่ องค์ประกอบ เรารู้ว่าเป็นการจัดเรียงด้วยการทำซ้ำ ทุกกลุ่มที่เราสร้างได้ด้วย k องค์ประกอบของสิ่งนี้ ชุดซึ่งองค์ประกอบสามารถทำซ้ำได้มากกว่าหนึ่งครั้ง บนแผ่นป้ายทะเบียนรถ เช่น จำนวนแผ่นป้ายทะเบียนที่เป็นไปได้ที่เราสามารถสร้างได้ โดยนำ โดยคำนึงถึงว่าพวกเขามีสามตัวอักษรและสี่ตัวเลขและตัวอักษรและตัวเลขสามารถทำซ้ำได้

ในการคำนวณจำนวนการจัดเรียงซ้ำที่เป็นไปได้ เราใช้สูตรง่ายๆ

สูตรการจัดเรียงที่มีการทำซ้ำ

เพื่อหาจำนวนเงินที่จัดเรียงเต็มของ ไม่ องค์ประกอบที่แตกต่างนำมาจาก k ใน

โอ้ ในสถานการณ์ที่อนุญาตให้ทำซ้ำองค์ประกอบ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

แอร์_ไม่,_k = ไม่^k

AR → จัดเรียงด้วยการทำซ้ำ
ไม่ → จำนวนองค์ประกอบในชุด
k → จำนวนองค์ประกอบที่จะเลือก

ดูด้วย: การรวมกันอย่างง่าย - นับชุดย่อยทั้งหมดของเซตที่กำหนด given

วิธีการคำนวณจำนวนการจัดเรียงซ้ำ

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการใช้สูตรการจัดเรียงซ้ำ ดูตัวอย่างด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 1:

รหัสผ่านธนาคารมีห้าหลักที่ประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น จำนวนรหัสผ่านที่เป็นไปได้คือเท่าใด

เรารู้ว่ารหัสผ่านเป็นสตริงห้าหลักและไม่มีการจำกัดการทำซ้ำ ดังนั้นเราจะใช้สูตรการจัดเรียงที่มีการทำซ้ำ ผู้ใช้ต้องเลือกจากตัวเลข 10 หลัก ซึ่งจะประกอบแต่ละห้าหลักของรหัสผ่านนี้ นั่นคือ เราต้องการคำนวณการจัดเรียงด้วยการทำซ้ำ 10 องค์ประกอบทุกๆ ห้า

แอร์_10,5 = 10⁵ = 10.000

ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้ 10,000 รหัสผ่าน

ตัวอย่าง 2:

เมื่อรู้ว่าป้ายทะเบียนรถประกอบด้วยตัวอักษรสามตัวและตัวเลขสี่ตัว คุณสามารถสร้างป้ายทะเบียนได้กี่ป้าย?

ตัวอักษรของเราประกอบด้วยตัวอักษร 26 ตัว และมีตัวเลขที่เป็นไปได้ 10 ตัว ดังนั้น ให้แบ่งออกเป็นสองอาร์เรย์ที่สมบูรณ์และค้นหาจำนวนอาร์เรย์ที่เป็นไปได้สำหรับตัวอักษรและตัวเลข

แอร์_26,3 = 26³ = 17.576
แอร์₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

ดังนั้น ยอดรวมของการเตรียมการที่เป็นไปได้คือ:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

ความแตกต่างระหว่างการจัดเรียงอย่างง่ายและการจัดเรียงซ้ำ

การแยกความแตกต่างของการจัดเรียงอย่างง่ายจากการจัดเรียงที่มีการทำซ้ำเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการแก้ปัญหาในหัวข้อ สิ่งสำคัญสำหรับการสร้างความแตกต่างคือการตระหนักว่าเมื่อเราจัดการกับสถานการณ์ที่มีการจัดกลุ่มใหม่ที่มีลำดับความสำคัญเป็น ของข้อตกลง และหากการจัดกลุ่มใหม่เหล่านี้อนุญาตให้มีการทำซ้ำระหว่างเงื่อนไข เป็นการจัดเรียงที่มีการทำซ้ำ หรือที่เรียกว่าการจัดเตรียม เสร็จสมบูรณ์ เมื่อการจัดกลุ่มใหม่ไม่อนุญาตให้ทำซ้ำ มันเป็นเรื่องของ การจัดแบบง่ายๆ.

สูตรสำหรับการจัดเรียงอย่างง่ายนั้นแตกต่างจากสูตรที่เราใช้สำหรับการจัดเรียงซ้ำ

เราได้เห็นตัวอย่างการจัดเรียงซ้ำแล้ว คราวนี้มาดูตัวอย่างการจัดเรียงอย่างง่าย

ตัวอย่าง:

เปาโลต้องการจะวางหนังสือเรียน 3 เล่มจากทั้งหมด 10 เล่มบนหิ้ง ต่างกันทั้งหมด เขาจะจัดระเบียบหนังสือเหล่านี้ได้กี่วิธี?

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ ลำดับมีความสำคัญ แต่ไม่มีการทำซ้ำ เนื่องจากเป็นการจัดเรียงที่เรียบง่าย ในการหาจำนวนการจัดกลุ่มที่เป็นไปได้ เราต้อง:

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการจัดกลุ่มรูปแบบอื่นที่ใช้ในการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน โปรดอ่านข้อความ: THEจัดแบบง่ายๆ simple.

แก้ไขแบบฝึกหัด:

คำถามที่ 1 - (ศัตรู) ธนาคารแห่งหนึ่งขอให้ลูกค้าสร้างรหัสผ่านส่วนตัวหกหลัก ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 เท่านั้น เพื่อเข้าถึงบัญชีเช็คผ่านอินเทอร์เน็ต อย่างไรก็ตาม ผู้เชี่ยวชาญด้านระบบความปลอดภัยอิเล็กทรอนิกส์แนะนำให้ฝ่ายบริหารของธนาคารลงทะเบียนผู้ใช้ใหม่ โดยขอให้ แต่ละตัวการสร้างรหัสผ่านใหม่ที่มีตัวเลขหกหลักตอนนี้อนุญาตให้ใช้ตัวอักษร 26 ตัวนอกเหนือจากตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9. ในระบบใหม่นี้ อักษรตัวพิมพ์ใหญ่แต่ละตัวมีความแตกต่างจากตัวพิมพ์เล็ก นอกจากนี้ ห้ามใช้อักขระประเภทอื่น

วิธีหนึ่งในการประเมินการเปลี่ยนแปลงในระบบรหัสผ่านคือการตรวจสอบค่าสัมประสิทธิ์การปรับปรุง ซึ่งเป็นสาเหตุของความเป็นไปได้ของรหัสผ่านจำนวนใหม่ที่เกี่ยวข้องกับรหัสผ่านเก่า ค่าสัมประสิทธิ์การปรับปรุงของการเปลี่ยนแปลงที่แนะนำคือ:

ความละเอียด

ทางเลือก A

รหัสผ่านเก่าเป็นอาร์เรย์ที่มีการซ้ำซ้อน เนื่องจากสามารถประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด ดังนั้นจึงเป็นอาร์เรย์ขององค์ประกอบ 10 ตัวที่นำมาใช้ทุกๆ หก

แอร์_10,6 = 10⁶

รหัสผ่านใหม่สามารถประกอบด้วยตัวเลข 10 หลักและตัวพิมพ์ใหญ่ (26 ตัวอักษร) และ ตัวพิมพ์เล็ก (26 ตัวอักษร) ดังนั้นรหัสผ่านสำหรับแต่ละหลักมีทั้งหมด 10 + 26 + 26 = 62 ความเป็นไปได้ เนื่องจากมีตัวเลขหกหลัก เราจะคำนวณการจัดเรียงโดยทำซ้ำ 62 องค์ประกอบทุกๆ หก

แอร์_62,6 = 62⁶

THE เหตุผล ของความเป็นไปได้ของรหัสผ่านใหม่เมื่อเทียบกับรหัสผ่านเก่าจะเท่ากับ62⁶/10⁶.

คำถามที่ 2 - (Enem 2017) บริษัทจะสร้างเว็บไซต์และหวังว่าจะดึงดูดลูกค้าได้ประมาณหนึ่งล้านคน ในการเข้าถึงหน้านี้ คุณจะต้องใช้รหัสผ่านที่มีรูปแบบที่บริษัทกำหนด โปรแกรมเมอร์มีตัวเลือกรูปแบบให้เลือกห้าแบบตามที่อธิบายไว้ในตาราง โดยที่ "L" และ "D" แทนตัวพิมพ์ใหญ่และตัวเลขตามลำดับ

ตัวอักษรในจำนวนที่เป็นไปได้ 26 ตัว เช่นเดียวกับตัวเลข จาก 10 ตัวที่เป็นไปได้ สามารถทำซ้ำในตัวเลือกใดก็ได้

บริษัทต้องการเลือกตัวเลือกรูปแบบที่มีจำนวนรหัสผ่านที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้มากกว่า จำนวนลูกค้าที่คาดไว้ แต่จำนวนนี้ไม่เกินสองเท่าของจำนวนที่คาดไว้ ลูกค้า.

ความละเอียด

ทางเลือก E

โดยการคำนวณความเป็นไปได้แต่ละอย่าง เราต้องการค้นหารหัสผ่านที่มีความเป็นไปได้มากกว่าหนึ่งล้านรายการและมีความเป็นไปได้น้อยกว่าสองล้านรายการ

ฉัน → LDDDDD

26 ·10⁵ มากกว่าสองล้านบาท จึงไม่เป็นไปตามคำขอของบริษัท

II → DDDDDD

10⁶ เท่ากับหนึ่งล้านจึงไม่เป็นไปตามคำขอของบริษัท

III → LLDDDD

26² · 10⁴ มากกว่าสองล้านบาท จึงไม่เป็นไปตามคำขอของบริษัท

IV → DDDDD

10⁵ น้อยกว่าหนึ่งล้าน จึงไม่เป็นไปตามคำขอของบริษัท

V → LLLDD

26³ ·10² อยู่ระหว่างหนึ่งล้านถึงสองล้าน ดังนั้นเทมเพลตรหัสผ่านนี้จึงเหมาะ

เครดิตภาพ

[1] Rafael Berlandiland / Shutterstock

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm