Експоненцијална једначина: шта су и како решити (са примерима)

Једначина је експоненцијална када је непозната (непозната вредност) у експоненту степена. Дакле, математичка реченица која укључује једнакост између два члана, где се непознато појављује у најмање једном експоненту, назива се експоненцијална једначина.

Потенција је резултат производа њене основе сам по себи, онолико пута колико је одређено експонентом.

У експоненцијалној једначини одређујемо колико се фактора помножи, односно колико пута се помножи база, да би се добио одређени резултат.

Дефиниција експоненцијалне једначине:

почетни стил математичка величина 18пк равно б на степен правог к једнако право до крајњег стила

Где:

б је база;
к је експонент (непознато);
а је моћ.

На шта права б није једнака 1 равном размаку и права б већа од 0 То је равно а није једнако 0 .

Пример експоненцијалне једначине:

Непозната променљива је у експоненту. Морамо одредити колико пута ће се 2 помножити да би се добило 8. Као 2. 2. 2 = 8, к = 3, пошто 2 мора да се помножи три пута да би се као резултат добило 8.

Како решити експоненцијалне једначине

Експоненцијалне једначине се могу писати на различите начине и за њихово решавање користићемо једнаке степене са једнаким основама, које такође морају имати исте експоненте.

instagram story viewer

Како је експоненцијална функција ињективна, имамо:

права б на степен правог к са 1 индексним крајем експоненцијала једнаким правој б на степен правог к са 2 индексним крајем од експоненцијални простор двострука стрелица лево и десно размак равно к са 1 индексом једнако је право к са 2 претплаћени

То значи да ће два степена са истом основом бити једнака ако и само ако су и њихови експоненти једнаки.

Дакле, једна стратегија за решавање експоненцијалних једначина је изједначити основе моћи. Када су базе исте, можемо их елиминисати и упоредити експоненте.

Да бисмо изједначили основе степена у експоненцијалној једначини, користимо математичке алате као што су факторизација и својства потенцирања.

Примери решавања експоненцијалних једначина

Пример 1
2 на степен правог х једнако 64

То је експоненцијална једначина, јер реченица укључује једнакост (једначина) и непозната променљива к је у експоненту (експоненцијална).

Да бисмо одредили вредност непознатог к, изједначавамо основе степена, користећи факторизацију од 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 или 2 на степен од 6

Замена у једначину:

2 на степен правог х једнако је 2 на степен 6

Занемарујемо основе, остављајући само једнакост између експонената.

к = 6

Дакле, к = 6 је резултат једначине.

Пример 2
9 на степен правог х плус 1 крај експоненцијала једнак 81

Изједначавамо базе користећи факторизацију.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Замена у једначину:

отворене заграде 3 на квадрат затворене заграде на степен к плус 1 крај експоненцијала једнак 3 на степен 4

Користећи својство степена степена, множимо експоненте на левој страни.

3 на степен 2 к плус 2 крај експоненцијала једнак 3 на степен 4

Са једнаким основама, можемо их одбацити и изједначити експоненте.

2 право к плус 2 једнако 4 2 право к једнако 4 минус 2 2 право к једнако 2 равно к једнако 2 преко 2 једнако 1

Дакле, к = 1 је резултат једначине.

Пример 3

0 зарез 75 на степен правог х једнако 9 на 16 размаку

Основу 0,75 трансформишемо у центезимални разломак.

отворене заграде 75 преко 100 затворите заграде на степен правог х једнако 9 на 16 размаку

Поједностављујемо центезимални разломак.

отворене заграде 3 преко 4 затворите заграде на степен правог х једнако 9 на 16 размаку

Фактори 9 и 16.

отворене заграде 3 преко 4 затворите заграде на степен правог х једнако 3 на квадрат на 4 на квадрат

Изједначавајући основе, имамо х = 2.

отворене заграде 3 преко 4 затворите заграде на квадратни степен к једнак отвореним заградама 3 преко 4 затворите заграде на квадрат

к = 2

Пример 4

Преображавамо корен у моћ.

4 на степен к једнак 32 на степен 1 трећег краја експоненцијала

Узимамо у обзир базе моћи.

отворене заграде 2 затворене заграде на квадрат на степен к једнако отворене заграде 2 на степен од 5 затворене заграде на степен 1 трећег краја експоненцијала

Множењем експонента изједначавамо основе.

2 на степен 2 к крај експоненцијала једнак 2 на степен од 5 преко 3 краја експоненцијала

Стога, морамо да:

2 право х једнако 5 преко 3 право х једнако бројиоцу 5 преко имениоца 2.3 крај разломка је 5 на 6

Пример 5

Факторинг 25

отворене заграде 5 на квадрат затворене заграде на степен правог к минус 6,5 на степен правог к плус 5 једнако је 0

Преписујемо степен од 5² на к. Промена редоследа експонената.

отворене заграде 5 на степен к затворите заграде на квадрат минус 6,5 на степен правог к плус 5 једнако је 0

Користимо помоћну променљиву, коју ћемо назвати и.

5 на степен праве х је једнако право и (задржите ову једначину, користићемо је касније).

Замена у претходну једначину.

право и на квадрат минус 6. право и плус 5 једнако је 0 право и на квадрат минус 6 право и плус 5 једнако 0

Решавајући квадратну једначину, имамо:

прираст је једнак б на квадрат минус 4. Тхе. ц прираст је једнак левој загради минус 6 десна заграда на квадрат минус 4.1.5 прираст је једнак 36 минус 20 прираст је једнак 16

право и са 1 индексом једнако је бројиоцу минус право б плус квадратни корен прираштаја преко имениоца 2. право на крај правог разломка и са 1 индексом једнаким бројиоцу минус лева заграда минус 6 десна заграда плус квадратни корен од 16 преко имениоца 2.1 крај правог разломка и са 1 индексом једнак бројиоцу 6 плус 4 преко имениоца 2 крај разломка једнак 10 преко 2 једнако 5

равно и са 2 индекса једнако је бројиоцу минус право б минус квадратни корен прираштаја преко имениоца 2. право на крај разломка равно и са 2 индекса једнако бројиоцу 6 минус 4 преко имениоца 2 крај разломка једнак 2 преко 2 једнако 1

Скуп решења за квадратну једначину је {1, 5}, међутим, ово није решење експоненцијалне једначине. Морамо се вратити на променљиву к, користећи 5 на степен праве х је једнако право и.