Ојлерова релација: темена, лица и ивице

Ојлерова релација је једнакост која повезује број темена, ивица и лица у конвексним полиедрима. Каже да је број лица плус број темена једнак броју ивица плус два.

Ојлерова релација је дата са:

Где,
Ф је број лица,
В број врхова,
ТХЕ број ивица.

Можемо користити Ојлерову релацију да одредимо или потврдимо непознате вредности В, Ф или А, кад год је полиедар конвексан.

Полиедар	Ф	В	ТХЕ	Ф+В	А + 2
Цубе	6	8	12	6 + 8 = 14	12 + 2 = 14
троугласта пирамида	4	4	6	4 + 4 = 8	6 + 2 = 8
Пентагонална базна призма	7	10	15	7 + 10 = 17	15 + 2 = 17
правилан октаедар	8	6	12	8 + 6 = 14	12 + 2 = 14

Пример
Конвексни полиедар има 20 лица и 12 врхова. Одредите број ивица.

Коришћење Ојлерове релације и изоловање А:

Замена вредности Ф и В:

Лица, врхови и ивице

Полиедри су чврсти, тродимензионални геометријски облици без заобљених страна. Ове странице су лица (Ф) полиедра.

Састанак лица називамо ивицама (А).

Врхови су тачке у којима се састају три или више ивица.

конвексни полиедри

Конвексни полиедри су геометријска тела која не представљају конкавност, па стога ни на једној њиховој страни нема унутрашњих углова већи од 180º.

Конвексни полиедар: сви унутрашњи углови лица мањи од 180º.

Неконвексни полиедар: има најмање један унутрашњи угао већи од 180°.

У овом полиедру унутрашњи угао означен плавом бојом има више од 180º, тако да није конвексан полиедар.

Видите више о полиедри.

Вежбе о Ојлеровој релацији

Вежба 1

Пронађите број лица у полиедру са 9 ивица и 6 врхова.

види одговор

Тачан одговор: 5 лица.

Користећи Ојлерову релацију:

Ф + В = А + 2
Ф = А + 2 - В
Ф = 9 + 2 - 6
Ж = 11 - 6
Ф = 5

Вежба 2

Додекаедар је платонско тело са 12 лица. Знајући да има 20 врхова, одредите му број ивица.

види одговор

Прави одговор:

Користећи Ојлерову релацију:

Ф + В = А + 2
Ф + В - 2 = А
12 + 20 - 2 = А
32 - 2 = А
30 = А

Вежба 3

Како се зове полиедар са 4 врха и 6 ивица у односу на број његових страна, где су лица троуглови?

види одговор

Одговор: Тетраедар.

Морамо одредити његов број лица.

Ф + В = А + 2
Ф = А + 2 - В
Ф = 6 + 2 - 4
Ж = 8 - 4
Ф = 4

Полиедар који има 4 лица у облику троуглова назива се тетраедар.

Ко је био Леонхард Пол Ојлер?

Леонхард Пол Ојлер (1707-1783) био је један од најискуснијих математичара и физичара у историји, као и допринос проучавању астрономије. Швајцарац који је говорио немачки, био је професор физике на Санкт Петербургској академији наука, а касније и на Берлинској академији. Објавио је неколико студија о математици.

Такође научите:

• Геометријска тела
• Спатиал Геометри
• Геометријски облици
• Призма - Геометријска фигура
• пирамида
• Калдрма
• Цубе