Питагорина теорема: формула и вежбе

О. Питагорина теорема наводи дужину страница правоуглог троугла. Ова геометријска фигура је формирана унутрашњим углом од 90 °, који се назива правим углом.

Изјава ове теореме је:

"Збир квадрата ногу одговара квадрату ваше хипотенузе."

Формула Питагорине теореме

Према изјави Питагорине теореме, формула је представљена на следећи начин:

Тхе² = б² + ц²

Бити,

Тхе: хипотенуза
Б.: цатето
ц: цатето

ТХЕ хипотенуза је најдужа страница правоуглог троугла и страница супротна правом углу. Остале две стране су ноге. Угао који чине ове две странице има меру једнаку 90º (прави угао).

Такође смо идентификовали ноге, према референтном углу. То јест, страна се може назвати суседном страном или супротном страном.

Када је нога близу референтног угла, назива се а суседни, с друге стране, ако је против овог угла, то се зове супротно.

Испод су три примера примене Питагорине теореме на метричке односе правоуглог троугла.

Пример 1: израчунати меру хипотенузе

Ако правоугли троугао као мере ногу има 3 цм и 4 цм, која је хипотенуза овог троугла?

instagram story viewer

равно а квадрат на квадрат једнако је простору равно прав б на квадрат простор плус право ц на квадрат равно а квадрат на квадрат једнако простору 4 на квадрат простор плус простор 3 а квадрат равно квадрат на квадрат једнако 16 размаку плус размак 9 равно квадрат на квадрат једнако 25 равном простору свемир једнак простору квадрат квадратном корену 25 равно правцу простору једнак простор 5

Према томе, странице правоуглог троугла су 3 цм, 4 цм и 5 цм.

Пример 2: израчунати меру једне од ногу

Одредите меру катета који је део правоуглог троугла, чија је хипотенуза 20 цм, а друга катета 16 цм.

равно а квадрат на квадрат једнак простору Размак б на квадрат више равни простор ц на квадрат простор двострука стрелица удесно право б квадрат на простору једнак простору равно а квадрат на квадрат минус простор праволинија ц на квадрат равно б на квадрат простор једнако је простор 20 на квадрат простор минус простор 16 на квадрат равно б на квадрат простор једнак простору 400 простор минус простор 256 раван б квадратни простор једнак 144 равном б простор једнак простору квадратни корен од 144 правих б простор једнак простору 12

Стога су мере страница правоуглог троугла 12 цм, 16 цм и 20 цм.

Пример 3: проверите да ли је троугао правоугаоник

Троугао има странице димензија 5 цм, 12 цм и 13 цм. Како знати да ли је то правоугли троугао?

Да би се доказало да је правоугли троугао тачан, мерења његових страница морају се покоравати Питагориној теореми.

равно а квадрат на квадрат једнако је правом простору б квадрат на квадрат плус празан простор ц на квадрат 13 на квадрат простор је једнако простор 12 на квадрат простор плус простор 5 на квадрат 169 простор једнако је простору 144 простор плус простор 25 169 простор је једнако 169

Како дате мере задовољавају Питагорину теорему, тј. Квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата катета, онда можемо рећи да је троугао правоугаоник.

Прочитајте такође: Метрички односи у правоугаоном троуглу

Питагорин троугао

Када се мере странице а Право троугао су позитивни цели бројеви, троугао се назива питагорејским троуглом.

У овом случају, ноге и хипотенуза називају се „питагорејско одело“ или „питагорејски трио“. Да бисмо проверили да ли три броја чине питагорејски трио, користимо везу са²= б² + ц².

Најпознатији питагорејски трио представљен је бројевима: 3, 4, 5. Хипотенуза је једнака 5, већи крак једнак 4 и мањи крак једнак 3.

Имајте на уму да су површине квадрата нацртане на свакој страни троугла повезане баш као и Питагорина теорема: површина квадрата на дугачкој страни одговара збиру површина друге две квадрат.

Занимљиво је да вишекратници ових бројева такође чине питагорејско одело. На пример, ако трио 3, 4 и 5 помножимо са 3, добићемо бројеве 9, 12 и 15 који такође чине питагорејско одело.

Поред одела 3, 4 и 5, постоји мноштво других одела. Као пример можемо навести:

5, 12 и 13
7, 24, 25
20, 21 и 29
12, 35 и 37

Прочитајте такође: Тригонометрија у правоугаоном троуглу

Ко је био Питагора?

према историји Питагора са Самоса (570 а. Ц. - 495 а. Ц.) је био грчки филозоф и математичар који је основао Питагорину школу, смештену у јужној Италији. Такође названо Питагорино друштво, обухватало је студије математике, астрономије и музике.

Иако су метричке односе правоуглог троугла већ познавали Вавилонци, који су живели много пре Питагоре, верује се да је први доказ да је ову теорему применио на било који правоугли троугао Питагора.

Питагорина теорема је једна од најпознатијих, најважнијих и коришћених теорема у математици. Од суштинске је важности у решавању проблема у аналитичкој геометрији, равнинској геометрији, просторној геометрији и тригонометрији.

Поред теореме, други важни доприноси Питагориног друштва за математику били су:

Откривање ирационалних бројева;
Својства целих бројева;
ММЦ и МДЦ.

Прочитајте такође: Математичке формуле

Докази Питагорине теореме

Постоји неколико начина за доказивање Питагорине теореме. На пример, књига Питагорин предлог, објављено 1927. године, представило је 230 начина да се то демонстрира, а друго издање, издато 1940, повећало се на 370 демонстрација.

Погледајте видео испод и погледајте неке демонстрације Питагорине теореме.

Колико начина постоји за доказивање питагорејске теореме? - Бетти Феи

Коментарисане вежбе на питагорејску теорему

Питање 1

(ПУЦ) Збир квадрата три странице правоуглог троугла једнак је 32. Колико је дуга хипотенуза троугла?

а) 3
б) 4
ц) 5
д) 6

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) 4.

Из података у изјави знамо да² + б² + ц² = 32. С друге стране, према Питагориној теореми морамо² = б² + ц² .

Замена вредности б²+ ц²од² у првом изразу налазимо:

Тхе² + тхе² =32 ⇒ 2. Тхе² = 32 ⇒ до² = 32/2 ⇒ до² = 16 ⇒ а = √ 16
а = 4

За више питања погледајте: Питагорина теорема - вежбе

питање 2

(И било)

На горњој слици, која представља дизајн степеништа са 5 степеница исте висине, укупна дужина рукохвата је једнака:

а) 1,9 м
б) 2,1 м
ц) 2,0 м
д) 1,8 м
е) 2,2 м

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) 2,1 м.

Укупна дужина рукохвата биће једнака збиру два истегнућа дужине једнака 30 цм са истезањем за које не знамо меру.

На слици можемо уочити да непознати пресек представља хипотенузу правоуглог троугла чија је мера једног од калема једнака 90 цм.

Да бисмо пронашли меру друге ноге, морамо додати дужину од 5 корака. Према томе, имамо б = 5. 24 = 120 цм.

Да бисмо израчунали хипотенузу, применимо Питагорину теорему на овај троугао.

Тхе² = 90² + 120² до² = 8100 + 14 400 ⇒ до² = 22 500 ⇒ а = √ 22 500 = 150 цм

Имајте на уму да смо могли да користимо идеју питагорејских одела за израчунавање хипотенузе, јер су ноге (90 и 120) вишеструке од 3, 4 и 5 одела (множећи све појмове са 30).

На овај начин, укупна мера рукохвата биће:

30 + 30 + 150 = 210 цм = 2,1 м

Проверите своје знање помоћу Вежбе тригонометрије

питање 3

(УЕРЈ) Милор Фернандес је у прелепом признању за математику написао песму из које издвајамо фрагмент у наставку:

На толико листова књиге из математике,
Квоцијент се једног дана дивље заљубио
од Непознатог.
Гледао ју је својим небројеним погледом
и видео је од врха до базе: необична фигура;
ромбоидне очи, трапезоидна уста,
правоугаоно тело, сфероидне груди.
Учинио свој живот паралелним њеном,
док се нису срели у Бескрају.
"Ко си ти?" - питао је у радикалној стрепњи.
„Ја сам збир квадрата ногу.
Али можеш ме назвати хипотенузом.”

(Милор Фернандес. Тридесет година себе.)

Инцогнита је погрешила што је рекла ко је то био. Да би се задовољила питагорејска теорема, требало би урадити следеће

а) „Ја сам квадрат збира ногу. Али зовите ме квадрат хипотенузе. “
б) „Ја сам збир ногу. Али можете ме назвати хипотенузом. “
в) „Ја сам квадрат збира катета. Али можете ме назвати хипотенузом. “
г) „Ја сам збир квадрата ногу. Али зовите ме квадрат хипотенузе. “

Погледајте одговор

Алтернатива г) „Ја сам збир квадрата ногу. Али зовите ме квадрат хипотенузе. “

Сазнајте више о теми: