Аналитичка геометрија проучава геометријске елементе у координатном систему у равни или простору. Ови геометријски објекти су одређени њиховом локацијом и положајем у односу на тачке и осе овог система оријентације.
Од древних народа, попут Египћана и Римљана, идеја о координатама се већ појавила у историји. Али тек у 17. веку, са делима Ренеа Декарта и Пјера де Фермаа, ова област математике је систематизована.
Декартов ортогонални систем
Ортогонални картезијански систем је референтна база за лоцирање координата. Састављен је, у равни, од две управне осе једна на другу.
- О(0,0) почетак овог система је пресек ових оса.
- Кс оса је апсциса.
- Оса и је ордината.
- Четири квадранта су у супротном смеру казаљке на сату.
наручени пар
Било која тачка на равни има координате П(к, и).
к је апсциса тачке П и представља растојање од њене ортогоналне пројекције на осу к до почетка.
и је ордината тачке П и растојање од њене ортогоналне пројекције на и осу до почетка.
растојање између две тачке
Растојање између две тачке на Декартовој равни је дужина сегмента који спаја ове две тачке.
Формула за растојање између две тачке и
било који.
Координате средње тачке
Средња тачка је тачка која дели сегмент на два једнака дела.
Бити средишња тачка сегмента
, његове координате су аритметичке средине апсцисе и ординате.
и
Услов поравнања у три тачке
С обзиром на поене: .
Ове три тачке ће бити поравнате ако је детерминанта следеће матрице једнака нули.
Пример
Угаони коефицијент праве
нагиб праве је тангента њеног нагиба
у односу на осу к.
Да бисте добили нагиб из две тачке:
Ако је м > 0, права је растућа, у супротном, ако је м < 0, права је опадајућа.
општа једначина праве
Где Тхе,Б и ц су константни реални бројеви и, Тхе и Б нису истовремено нулте.
Пример
Правна једначина која зна тачку и нагиб
дат поен и нагиб
.
Једначина праве ће бити:
Пример
Редуковани облик праве једначине
Где:
м је нагиб;
н је линеарни коефицијент.
не је наређено тамо где права сече и осу.
Пример
Погледај Линија једначина.
Релативни положај између две паралелне праве у равни
Две различите праве су паралелне када су им нагиби једнаки.
ако правац р има нагиб , и равно с има нагиб
, ове су паралелне када:
За ово, ваше склоности морају бити једнаке.
Тангенте су једнаке када су углови једнаки.
Релативни положај између две конкурентске праве у равни
Две праве су истовремене када су њихови нагиби различити.
Заузврат, нагиби се разликују када су њихови углови нагиба у односу на к осу различити.
управне линије
Два остатка су окомита када је производ њихових нагиба једнак -1.
две праве р и с, изразито, са нагибима и
, су окомите ако, и само ако:
или
Други начин да сазнате да ли су две праве управне је из њихових једначина у општем облику.
Једначине правих р и с су:
Две праве окомите на њега када:
Погледај Перпендицулар Линес.
Обим
Обим је геометријско место у равни где су све тачке П(к, и) на истом растојању р из његовог центра Ц(а, б), где је р је мера полупречника.
Једначина обима у редукованом облику
Где:
р је полупречник, растојање између било које тачке на вашем луку и центра. Ц.
Тхе и Б су координате центра Ц.
општа једначина круга
Добија се развијањем квадрата чланова редуковане једначине обима.
Веома је уобичајено да се у вежбама прикаже општи облик једначине обима, познат и као нормални облик.
конусни
Реч конус долази од конуса и односи се на криве добијене његовим пресецањем. Елипса, хипербола и парабола су криве које се називају конус.
Елипса
Елипса је затворена крива која се добија пресецањем правог кружног конуса равнином косом на осу, која не пролази кроз врх и није паралелна са његовим генератрисама.
У равни, скуп свих тачака чији је збир растојања до две унутрашње фиксне тачке константан.
Елементи елипсе:
- Ф1 и Ф2 су фокуси елипсе;
- 2ц је жижна даљина елипсе. То је растојање између Ф1 и Ф2;
- Поента О то је центар елипсе. То је средина између Ф1 и Ф2;
- А1 и А2 су темена елипсе;
- сегменту
велика оса и једнака 2а.
- сегменту
мала оса је једнака 2б.
- Ексцентричност
где је 0 < и < 1.
Једначина редуковане елипсе
Размотримо тачку П(к, и) која се налази у елипси где је к апсциса, а и ордината ове тачке.
Центар елипсе у почетку координатног система и велика оса (АА) на к-оси.
Центар елипсе у почетку координатног система и велика оса (АА) на и оси.
Редукована једначина елипсе са осама паралелним са координатним оса
с обзиром на тачку као порекло картезијанског система и, тачка
као центар елипсе.
АА главна оса, паралелна са к осом.
АА велика оса, паралелна са и осом.
Хипербола
Хипербола је скуп тачака на равни где разлика између две фиксне тачке Ф1 и Ф2 резултира константном позитивном вредношћу.
Елементи хиперболе:
- Ф1 и Ф2 су жаришта хиперболе.
- 2ц =
је жижна даљина.
- Центар хиперболе је поента О, Просек сегмента Ф1Ф2.
- А1 и А2 су темена.
- 2а = А1А2 је реална или попречна оса.
- 2б = Б1Б2 је имагинарна или коњугована оса.
-
је ексцентричност.
Кроз троугао Б1ОА2
Хипербола редукована једначина
Са реалном осом око к осе и центром у почетку.
Са реалном осом на оси и и центром у почетку.
Једначина хиперболе са осама паралелним са координатним осама
АА реална оса паралелна са к осом и центром .
Реална оса АА паралелна и оси и центар .
Парабола
Парабола је место где је скуп тачака П(к, и) на истој удаљености од фиксне тачке Ф и праве д.
Елементи параболе:
- Ф је фокус параболе;
- д је права линија;
- Оса симетрије је права линија кроз фокус Ф и окомита на смерницу.
- В је врх параболе.
- п је сегмент исте дужине између фокуса Ф и темена В е, између темена и директиве д.
Редуковане једначине параболе
Са врхом у почетку и осом симетрије на оси и.
Ако је п>0 конкавност нагоре.
Ако је п<0 конкавност надоле.
Са врхом у почетку и осом симетрије на оси к.
Ако је п>0 конкавност удесно.
Ако је п<0 конкавност лево.
Са осом симетрије паралелном са и осом и теменом .
Са осом симетрије паралелном са к осом и теменом .
вежбајте са Вежбе из аналитичке геометрије.
Сазнајте више на:
Картезијански план
растојање између две тачке
конусни
Израчунавање угаоног коефицијента
